После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними.
Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.
Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.
Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.
Опр.2.3.1. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х |хÎА и хÎВ}. Обозначается, А∩В.
Примеры. 1) Пусть A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда A ∩ B = {2; 3}, A ∩ D = Æ.
2) А = {2n: n Î N } - множество чисел, делящихся на 2, B = {3n: n Î N} - множество чисел, делящихся на 3, тогда A ∩ B = {6n | n Î N} - множество чисел, делящихся на 6.
3) А - отрезок , В - отрезок , тогда A ∩ B - отрезок .
4) Студент, сдавший все экзамены на «отлично» получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех экзаменов. Пусть Аi – множество студентов, сдавших i -й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3,4), тогда:
I – множество студентов, получающих повышенную стипендию.
Опр. 2.3.2. Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х |хÎА или хÎВ}. Обозначается, А UВ.
Примеры. 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A U B == {1; 2; 3; 4; 5}.
2) A = (–∞, 2], B = (1, +∞), тогда C = A U B = R .
3) А = , В = , тогда A U B = .
3) Если А – множество студентов, не сдавших первый экзамен, В – второй, то А U В – множество студентов – задолжников после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).
Опр.2.3.3. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х | х Î А и х Ï В}. Обозначается, А\В.
Примеры 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда А\В={1}, В\А={4, 5}.
2) R \ Q – множество иррациональных чисел.
3) Q \ R = Æ.
Опр.2.3.4 . Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В и всех элементов множества В, не принадлежащих множеству А: С={х | (х Î А и х Ï В) или (х Î В и х Ï А) }. Обозначается, А∆В.
Пример. А={1,2,3,4,5}, В={4,5,6,7}, А∆В= {1,2,3,6,7}
В каждом отдельном случае мы рассматриваем всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.
Опр.2.3.5. Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, Е (или U в разной литературе).
При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.
Опр.2.3.6. Дополнением множества А называется разность Е \А. Обозначается, А’ или и читается «не-А». Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.
Примеры. 1) Е ={ множество студентов в группе}, A ={ множество студентов, сдавших первый экзамен}, то А’ ={ множество студентов, не сдавших первый экзамен}.
2) Е={буквы русского алфавита}, А={множество гласных букв}, тогда
А’={множество согласных букв и букв ь и ъ}.
3) Пусть Е – множество сотрудников школы, A – множество сотрудников старше 30 лет, B – множество сотрудников мужского пола, C – множество сотрудников занимающих должности вспомогательного персонала.
Тогда В ’ – множество женщин; А’ÇВÇC – множество мужчин занимающих должности вспомогательного персонала младше 30 лет; А È(В ÇС ’) – множество сотрудников старше 30 лет или мужчин не занимающих должности вспомогательного персонала; B \C – множество мужчин, не являющихся вспомогательным персоналом; C \B – множество сотрудников вспомогательного персонала – женщин.
4) Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8, 16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти АUВ, СUD, В∩С, А∩D, А\С, D\В, АUВUС, А∩В∩С, ВUD∩С, А∩С\D.
Решение : Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность.
Получим АUВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16};
СUD={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20};
А\С={2, 3, 5, 8};
АUВUС={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16};
А∩В∩С=Æ;
ВUD∩С={1, 3, 4, 8, 16};
А∩С\D={13, 15}.
5) Пусть Е={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через заданные множества A, B, C, D следующие множества: 1) К={1,2,3,4,5,7,8}, 2) L={4, 7 ,8}, 3) F={2, 5}, 4) G={5, 7, 9}.
Решение : 1) K={1,2,3,4,5,7,8}=AUD.
2) L={4, 7 ,8}=D\A.
б) A\(C\D)={2, 5}.
б) AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8},
в) (AUB)’={7, 9},
г) (A∩D)U((AUB)’)={5, 7, 9}.
Свойства операций над множествами:
Таблица 2.3.1.
Свойства операции пересечения: 1) А∩А=А; 2) А∩Ø=Ø; 3) А∩А’= Ø; 4) А∩Е =А; 5) А∩В=В∩А. | Свойства операции объединения: 1) АUА=А; 2) АU Ø =А; 3) АUА’=Е ; 4) АUЕ =Е ; 5) АUВ=ВUА. |
Свойства операции разности: | |
1) А\А=Ø; 2) А\ Ø =А; 3) А\А’= А; 4) А\Е =Ø; | 5) Е \А=А’; 6) Ø \А=Ø; 7) А\В ≠ В\А. |
§ 2.4. Диаграммы Эйлера-Венна, таблицы вхождения элементов, координатная плоскость.
Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).
При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.
Таблица 2.4.1.
Объединение АВ:
| Пересечение А∩В:
|
||||||||||||||||
Разность: А\В
Примеры: Изобразить следующие множество с помощью диаграммы Венна 1) (АUВ)\(С∩А): Таблица 2.4.2.
2) А∩В∩С;
Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Это, так называемая, таблица вхождения элементов в множества , в которой рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых двух столбцах таблицы по правилу: 1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит. Получится четыре случая или четыре строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A U B , A ∩ B , A \ B , заполняются согласно определений этих операций (табл. 1).
Примеры. 1) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (А UВ) ’ = А ’ ∩В ’
2) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (В UС ) \ В = С.
На координатной прямой множества изображаются в виде отрезка, концы которого показываются кружками: закрашенным кружком, если координата конца отрезка принадлежит множеству, в противном случае – не закрашенным кружком. Например, множество A = {x: − 2 < x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так:
1) A = {x: − 5 ≤ x ≤ 6}, B = {x: − 3 < x < 8}, 2) A = {х: −3 < х ≤ 2} и B = {х: 0 ≤ х < 5}, 3) C = {х: 2 < х < 4} и D = {х: 3 ≤ х ≤ 5}, 4) E = {х: −3 ≤ х ≤ 2} и F = {х: 2 < х ≤ 5}. Найдите пересечения множеств и покажите их на координатной прямой. Решение: 1)Изобразим на координатной прямой множества А и В: D = {х: 3 ≤ х ≤ 5}: 4ÏC, з начит, пересечению множеств С и D будут принадлежать все точки полуинтервала ? Решение. Построим геометрические образы числовых множеств A
и B
: Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4)
, {−4}
, (−4, −2)
, {−2}
, (−2, 1)
, {1}
, (1, 3)
, {3}
, (3, 5)
, {5}
, (5, +∞)
. Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку. Очевидно, {−2}
входит в множество B
(так как точка с координатой −2
является внутренней точкой отрезка [−4, 3])
. Интервал (1, 3)
тоже входит в B
(над ним есть штриховка). Множество {3}
также входит в B
(точка с координатой 3
является граничной и невыколотой множества B
). А интервал (3, 5)
не входит в числовое множество B
(над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] . Ответ: {−2}∪(1, 3] . Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств. Пример. Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} . Решение. Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств: Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) . Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A
, B
и D
. Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12)
и множество {12}
. Они и составляют искомое пересечение множеств A
, B
и D
. Имеем A∩B∩D=(−3, 12]
. В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3)
(входит в A
), {−3}
(входит в A
), (−3, 12)
(входит в A
), {12}
(входит в A
), (12, 25)
(входит в B
), {25}
(входит в B
) и {40}
(входит в D
). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40}
. Ответ: A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} . В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им. (10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств. Ответ: A∩B∩D∩E=∅. Список литературы.
Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале. Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом "множество". На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества . Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове "множество" и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под "множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 - начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что "Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором". Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец "канторовскому раю". Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием "парадокс брадобрея" звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, - а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей - вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали "наивной". Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая "аксиома выбора". Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ. Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так: $$\{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я \} $$ А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким: $$\{9,10,11,12,13,14 \} $$ Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$. Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например: $$A=\{0, 5, 6, -9 \},\; B=\{\Delta, +, -5, 0\}.$$ Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел - буквой $Z$; множество рациональных чисел - буквой $Q$; множество всех действительных чисел - буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости. Множество, которое содержит конечное количество элементов, именуют конечным множеством . Если множество содержит бесконечное количество элементов, его называют бесконечным . Например, указанное выше множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ - конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ - множество простых чисел. Что такое простое число : показать\скрыть Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным. Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел - бесконечно. Под мощностью множества для конечных множеств понимают количество элементов данного множества. Мощность множества $A$ обозначается как $|A|$. Например, так как конечное множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например: $$ M=\{-9,1,0, \{ a, g\}, \varnothing \} $$ Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \{ a,\; g\}$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество - пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее. Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$. Обозначение: $A\subseteq B$. Например, рассмотрим множества $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$. Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее: $$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$ Введём ещё одно определение - универсальное множество. Универсальное множество (универсум) $U$ обладает тем свойством, что все иные множества, рассматриваемые в данной задаче, являются его подмножествами. Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее: $$ Vasilij=\{MTC, Life \} $$ Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств. Множества $A$ и $B$ называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то $A=B$. Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$. Рассмотрим пару множеств: первое будет $\{\Delta, k \}$, а второе - $\{k, \Delta\}$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\{\Delta, k \}=\{k, \Delta\}$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет. Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\{k, \Delta, k, k,k \}$ и $Y=\{\Delta, k \}$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\{k, \Delta, k, k, k \}=\{\Delta, k \}$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\{1,5,9\}$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества . В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются. Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества. Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$. Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным . Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$. Например, для рассмотренных выше множеств $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$. Примечание относительно терминологии : показать\скрыть Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств. Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$ и $A\neq \varnothing$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$. Множества $B$ и $\varnothing$ именуются несобственными подмножествми множества $B$. Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии - дело вкуса. Множество всех подмножеств некоего множества $A$ называют булеаном или степенью множества $A$. Обозначается булеан как $P(A)$ или $2^A$. Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е. $$ \left| P(A) \right|=2^{n},\;\; n=|A|. $$ Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий. Пример №1 Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.
Ответ : Утверждения в пунктах №1, №2, №4 - истинны. Пример №2 Записать булеан множества $A=\{-5,10,9\}$. Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы: $$ \varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} $$ Напомню, что подмножество $\{-5, 10, 9 \}$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества - собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак: $$ P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\} $$ Булеан найден, остаётся лишь записать ответ. Ответ : $P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\}$. Способы задания множеств.Первый способ - это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так: $$ \{1,2,3\} $$ Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений. Второй способ - задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде: $$\{x| P(x)\}$$ Запись $\{x| P(x)\}$ читается так: "множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно". Что именно значит словосочетание "характеристическое условие" проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание: $$P(x)="x\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$ Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим: $$P(27)="27\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$ Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac{2}{5}$: $$P\left(\frac{2}{5}\right)="\frac{2}{5}\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$ Это высказывание ложно, так как $\frac{2}{5}$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых - истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3). Третий способ - задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4). Пример №3 Записать множество $A=\{x| x\in Z \wedge x^2 < 10\}$ перечислением элементов. Множество $A$ задано с помощью характеристического условия. Характеристическое условие в данном случае выражено записью "$x\in Z \wedge x^2 < 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е. $$ A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\} $$ Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов. Ответ : $A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\}$. Пример №4 Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:
Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3\in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3\cdot 3\in M$, т.е. $9\in M$. Так как $9\in M$, то согласно пункту №2 получим: $3\cdot 9\in M$, т.е. $27\in M$. Так как $27\in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81\in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее - это натуральные степени числа 3. $$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$ Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: $\{3,9,27,81,\ldots \}$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество? Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 - натуральное, посему $3\in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1=\{1,3,5,7,9,11, \ldots\}$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество $\{3,9,27,81,\ldots \}$? |