В статье рассмотрены такие понятия, как критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Упор сделан преимущественно на первый. Критерий Гурвица подробно описан как с алгебраической точки зрения, так и с позиции принятия решения в условиях неопределенности.

Стоит начать с определения понятия устойчивости. Оно характеризует способность системы возвращаться к равновесному состоянию по окончании возмущения, которое нарушило сформировавшееся ранее равновесие.

Важно отметить, что его оппонент - неустойчивая система - постоянно удаляется от своего равновесного состояния (совершает колебания вокруг него) с возвращающей амплитудой.

Критерии устойчивости: определение, виды

Это свод правил, которые позволяют судить о существующих знаках корней характеристического уравнения без поиска его решения. А последние, в свою очередь, предоставляют возможность судить об устойчивости конкретной системы.

Как правило, они бывают:

  • алгебраическими (составление по конкретному характеристическому уравнению алгебраических выражений с применением специальных правил, которые характеризуют устойчивость САУ);
  • частотными (объект изучения - частотные характеристики).

Критерий устойчивости Гурвица с алгебраической точки зрения

Им выступает алгебраический критерий, подразумевающий рассмотрение определенного характеристического уравнения в виде стандартной формы:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0 .

Посредством его коэффициентов формируется матрица Гурвица.

Правило составления матрицы Гурвица

В направлении сверху вниз по порядку выписываются все коэффициенты соответствующего характеристического уравнения, начиная от aᵥ₋₁ до a0. Во всех столбцах вниз от главной диагонали указывают коэффициенты возрастающих степеней оператора p, затем вверх - убывающих. Недостающие элементы заменяются нулями.

Принято считать, что когда все имеющиеся диагональные миноры рассматриваемой матрицы положительны. Если главный определитель равен нулю, то можно говорить о нахождении ее на границе устойчивости, причем аᵥ=0. В случае соблюдения остальных условий рассматриваемая система располагается на границе новой апериодической устойчивости (предпоследний минор приравнивается к нулю). При положительном значении оставшихся миноров - на границе уже колебательной устойчивости.

Принятие решения в ситуации неопределенности: Гурвица, Сэвиджа

Они являются критериями выбора наиболее целесообразной вариации стратегии. Критерий Сэвиджа (Гурвица, Вальда) применяется в ситуации, когда имеют место неопределенные априорные вероятности состояний природы. Их основа - анализ либо платежной матрицы. В случае неизвестности распределения вероятностей будущих состояний вся имеющаяся информация сводится к списку ее возможных вариантов.

Итак, стоит начать с максиминного критерия Вальда. Он выступает критерием крайнего пессимизма (осторожного наблюдателя). Данный критерий можно сформировать и для чистых, и для смешанных стратегий.

Свое название он получил на основании предположения статиста касательно того, что природа может реализовать состояния, в рамках которых величина выигрыша приравнена к наименьшему значению.

Этот критерий тождественен пессимистическому, который применяется в ходе решения матричных игр, чаще всего в чистых стратегиях. Так, сначала необходимо выбрать из каждой строки минимальное значение элемента. Затем выделяется стратегия ЛПР, которая соответствует максимальному элементу среди уже отобранных минимальных.

Выбранные посредством рассматриваемого критерия варианты лишены риска, так как ЛПР не сталкивается с более плохим результатом, чем тот, который выступает ориентиром.

Итак, самой приемлемой, согласно критерию Вальда, признана чистая стратегия, так как она в худших условиях гарантирует максимально предельный выигрыш.

Далее стоит рассмотреть критерий Сэвиджа. Здесь при выборе 1-го из доступных решений на практике, как правило, останавливаются на таком, который приведет к минимальным последствиям в случае, если выбор все же окажется ошибочным.

Согласно данному принципу, всякое решение характеризуется некой величиной дополнительных потерь, возникающих в ходе его осуществления, по сравнению с правильным при имеющимся состоянии природы. Очевидно, что правильное решение не может нести дополнительные потери, ввиду чего их величина приравнена к нулю. Так, в роли наиболее целесообразной принимается стратегия, величина потерь в которой минимальна при худшем стечении обстоятельства.

Критерий пессимизма-оптимизма

Так по-другому называется критерий Гурвица. В процессе выбора решения, в ходе оценки сложившейся ситуации вместо двух крайностей придерживаются так называемой промежуточной позиции, которая учитывает вероятность как благоприятного, так и наихудшего поведения природы.

Данный компромиссный вариант предложил Гурвиц. Согласно ему, для всякого решения понадобится установить линейную комбинацию min и max, далее выбрать стратегию, которая соответствует их наибольшему значению.

Когда оправдано применение рассматриваемого критерия?

Использовать критерий Гурвица целесообразно в ситуации, характеризующейся следующими признаками:

  1. Существует необходимость взятия во внимание наихудшего из вариантов.
  2. Отсутствие знаний касательно вероятностей состояний природы.
  3. Допустим некоторый риск.
  4. Реализуется достаточно малое число решений.

Заключение

Напоследок будет нелишне напомнить, что в статье были рассмотрены критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Критерий Гурвица подробно описан с различных точек зрения.

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году - полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

Каждая строка дополняется коэффициентами

с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

должны быть больше

нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе - границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. У р а в н е н и е третьего поря д к а

Для этого уравнения получаем условия

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

пятого поря д к а

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости но критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического управления. При этом в случае неустойчивости системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

Электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя. Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь управления состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К> О, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов

К неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при

этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления к, при котором система еще остается устойчивой.

Измеряется датчиком угла (нотенциометрическим, индукционным или др.), установленным на гиростабилизированной платформе. Передаточная функция датчика

Для формирования алгоритма управления дополнительно устанавливается датчик угловой скорости (ДУС). Напряжение на его выходе пропорционально производной от отклонения. Передаточная функция ДУС в идеальном случае

суммируются:

И производной от отклонения (см. § 2.2). Передаточная функция усилительно-преобразовательного устройства

Критерии устойчивости

Определение устойчивости АСУ по корням характеристического уравнения сопряжено с большими трудностями, связанными с решением дифференциального уравнения и большим объемом вычислений. Поэтому в практике ТАУ для определения устойчивости чаще используют критерии устойчивости.

Критерием устойчивости называется совокупность правил, методов или алгоритмов, которые позволяют судить об устойчивости АСУ без решения характеристического уравнения, используя другие признаки. Все критерии можно разделить на две группы: алгебраические критерии устойчивости и частотные критерии устойчивости. К алгебраическим критериям устойчивости относятся:

1) критерий устойчивости Вишнеградского;

2) критерий устойчивости Гурвица;

3) критерий устойчивости Рауса.

К частотным критериям устойчивости относятся:

4) частотный критерий устойчивости Найквиста;

5) частотный критерий устойчивости Михайлова.

Критерий устойчивости Гурвица можно сформулировать в форме, предложенной автором:

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение которого имеет вид:

то для того, чтобы она была устойчива, т.е. чтобы все действительные корни и действительные части комплексных корней характеристического уравнения были бы отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения имели бы один и тот же знак, а диагональный детерминант порядка п-1 , составленный из коэффициентов уравнения, и все его диагональные миноры были бы положительными.

Диагональный детерминант составляется следующим образом: по диагонали определителя выписывают коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a n -1 по а 1 . Таким образом, получается матрица, содержащая n-1 строку и n-1 столбец. Столбцы заполняют следующим образом: вверх выписывают коэффициенты с убывающими индексами, а вниз – с возрастающими. При достижении нулевого или n -го индекса далее ставят нули.

(8.6)

Таким образом, получается квадратная матрица размером (n-1 )* (n-1 ), на главной диагонали которой расположены коэффициенты от a n -1 по a 1 .

Каждый диагональный минор получают из предыдущего минора путем вычеркивания последней строки и последнего столбца.

(8.7)

(8.8)

(8.9)

D 1 =a n -1 (8.10)

Для решения вопроса об устойчивости АСУ выполняется анализ матрицы по следующим правилам:

1) если определители матрицы и всех диагональных миноров положительны, то АСУ устойчива;

2) если определитель или хотя бы один минор равен нулю, то АСУ находится на границе устойчивости;

3) если определитель или хотя бы один минор отрицательны, то АСУ неустойчива.



Рассмотрим конкретные примеры исследования систем на устойчивость с помощью критерия Гурвица.

Пример №1. АСУ включает статический объект второго порядка с передаточной функцией и интегральный регулятор с передаточной функцией . Определить при каком значении коэффициента передачи регулятора система будет устойчивой.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы, при этом неважно по какому каналу будет записана передаточная функция, так как нас будет интересовать только знаменатель передаточной функции.

(811)

Знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю, является характеристическим уравнением, т.е.

(8.12)

Подставим в уравнение (8.12) значения передаточных функций:

(8.13)

Приводя уравнение (8.13) к общему знаменателю и приравнивая числитель к нулю, получим характеристическое уравнение для системы

Составим главный детерминант, который для данного случая имеет второй порядок:

(8,15)

Из последнего равенства получим

(8.16)

В уравнении (8.16) слева записан параметр настройки регулятора, а справа параметры объекта. Чтобы система была более устойчивой, необходимо иметь как можно меньшее значение коэффициента передачи регулятора. Но в этом случае регулятор будет медленно воздействовать на объект. Поэтому приходится принимать компромиссное решение: чтобы система была устойчивой и регулятор достаточно быстро воздействовал на объект.

Если в уравнении (8.16) поставить знак равенства, т.е. , то система окажется на границе устойчивости. Если , то система будет неустойчивой. Поскольку параметры объекта изменяются довольно медленно, то воздействовать на характер переходного процесса можно, изменяя параметры регулятора.

Коэффициент передачи регулятора, при котором система оказывается на границе устойчивости, называется критическим.

Условие (8.17) можно записать и так

(8.18)

Уравнение (8.18) перепишем в форме

Уравнение (8.19) является уравнением гиперболы Вышнеградского, который сформулировал критерий устойчивости для систем, описываемых уравнениями не выше третьего порядка.

При переходе от уравнения (8.18) к уравнению (8.19) необходимо соблюдать следующие правила:

1) параметры X и Y должны быть безразмерными;

2) параметр X должен быть пропорционален коэффициенту передачи регулятора.

(8.20)

Построим гиперболу Вышнеградского в полученных координатах (рис. 8.4).

Рисунок 8.4 – Гипербола Вышнеградского для систем третьего порядка

Пример №2. Рассмотрим задачу, сформулированную в примере №1, но для случая, когда объект имеет передаточную функцию вида

Приравняв в уравнении (8.14) Т 2 к нулю, получим характеристическое уравнение

(8.22)

Составим главный детерминант, который для данного случая имеет первый порядок:

Получено условие, которое выполняется при любых параметрах системы.

Системы, которые при определенных значениях своих параметров могут быть устойчивыми, называются структурно-устойчивыми.

Пример №3. АСУ включает астатический объект второго порядка с передаточной функцией и интегральный регулятор с передаточной функцией . Определить, при каком значении коэффициента передачи регулятора система будет устойчивой.

Используя уравнение (8.13) и подставляя в него значения передаточных функций, получим

(8.23)

(8.24)

Перепишем уравнение (8.24) следующим образом:

Тогда главный детерминант примет вид:

В данном случае главный детерминант отрицательный, т.е. система неустойчивая, при этом она неустойчивая при любых своих параметрах. О таких системах говорят, что она структурно-неустойчивая.

Из последнего примера можно сделать вывод: что интегральный регулятор нельзя устанавливать на астатическом объекте, так как в любом случае мы получим неустойчивую систему.

Несмотря на простоту применения критерия Гурвица, он обладает рядом недостатков:

1) необходимо рассматривать передаточную функцию замкнутой системы, которая получается достаточно сложной;

2) с помощью критерия можно анализировать системы, у которых в знаменателе передаточной функции стоит рациональный многочлен.

Действительно, если передаточная функция объекта , а регулятора , то характеристическое уравнение имеет вид:

С помощью критерия устойчивости Гурвица эту систему исследовать нельзя. В этом случае нужны другие критерии.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны. По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а 1 , а 2 , а 3 , ... ,а n), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз - с убывающим индексом.

Например, для третьего коэффициента в главной диагонали а 3 вверх записываются а 4 , а 5 (индекс возрастает), а вниз - а 2 , а 1 , а 0 . На остальные оставшиеся места вписываются нули.

Д
ля проверки правильности заполнения определителя Гурвица необхо­димо учесть, что по строкам чередуются коэффициенты с нечётными и чёт­ными индексами. Так первая строка - нечётные а 1 а 3 а 5 а 7 ..., вторая строка - четные а 0 а 2 а 4 а 6 и т.д.

Покажем вычисление миноров в определителе Гурвица для системы 6-го порядка.

Последний определитель обычно не рассчитывается. В данном случае
. Если выполняется первое необходимое условие устойчивости (все а>0), то при>0всегда положителен.

Пусть необходимо определить устойчивость системы пятого порядка. Тогда а 6 =0 >0 неравенства принимают вид:


Если необходимо определить устойчивость системы четвертого порядка, то

неравенства принимают вид:



Для устойчивости системы третьего порядка достаточно

.

Для систем седьмого порядка определение устойчивости по Гурвицу обычно не делают из-за громоздкости расчетов.

ПРИМЕР 1. Определить устойчивость САУ по критерию Гурвица по следующему характеристическому уравнению:

Решение. 1. Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит необходимое условие устойчивости выполняется.

2. Составляется определитель Гурвица

Определяют значения миноров согласно неравенствам:

Ответ. Все миноры определителя Гурвица положительны, значит вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, САУ устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Для устойчивости систем необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Таблица Рауса составляется по правилам:

а) в первой строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а 0, а 2, а 4 ….;

б) во второй строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а 1, а 3, а 5 ….;

в) коэффициенты третьей строки таблицы Рауса вычисляются по формулам:

г) коэффициенты четвертой строки таблицы Рауса определяются по формулам:

д) коэффициенты n-й строки таблицы Рауса вычисляются по формулам

где i – номер столбца; j – номер строки.

ПРИМЕР 2. Определить устойчивость САУ по критерию Рауса по характеристическому уравнению примера 1.

Решение. 1. Вычисляют третью строку таблицы Рауса:

2. Определяют четвертую строку:

3. Вычисляют пятую строку:

4. Определяют шестую строку:

По результатам расчета составляют таблицу Рауса.

Таблица 1

Таблица Рауса

№ строки

1 столбец

2 столбец

3 столбец

  • Его представители находятся в невыгодном положении в сравнении с большей частью населения вследствие дискриминации, которая, как правило, не декларируется.
  • Иногда права проксенов давались всем гражданам дружественного государства. Как правило, звания ксенов и проксенов были наследственными.
  • Как правило, сложные белки классифицируют по небелковому компоненту.
  • Келейное правило, заповеданное преподобным Серафимом инокиням Дивеевского монастыря
  • Краткое молитвенное правило преподобного Серафима для мирян.

    • Критерий MAXIMAX не учитывает при принятии инвестиционного решения риска, связанного с неблагоприятным развитием внешней среды.

    В соответствии с этим правилом правила максимакс и максимин сочетаются связыванием максимума минимальных значений альтернатив. Это правило называют ещё правилом оптимизма – пессимизма. Оптимальную альтернативу можно рассчитать по формуле:

    а* = maxi [(1-α) minj Пji+ α maxj Пji]

    где α- коэффициент оптимизма, α =1…0 при α =1 альтернатива выбирается по правилу максимакс, при α =0 – по правилу максимин. Учитывая боязнь риска, целесообразно задавать α =0,3. Наибольшее значение целевой величины и определяет необходимую альтернативу.

    Правило Гурвица применяют, учитывая более существенную информацию, чем при использовании правил максимин и максимакс.

    Таким образом, при принятии управленческого решения в общем случае необходимо:

    · спрогнозировать будущие условия, например, уровни спроса;

    · разработать список возможных альтернатив

    · оценить окупаемость всех альтернатив;

    · определить вероятность каждого условия;

    · оценить альтернативы по выбранному критерию решения.

    Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица устанавливает баланс между критерием MAXIMIN и критерием MAXIMAX посредством выпуклой линейной комбинации. При использовании этого метода из всего множества ожидаемых сценариев развития событий в инвестиционном процессе выбираются два, при которых ИПj достигает минимальной и максимальной эффективности. Выбор оптимального ИП по показателю NPV осуществляется по формуле:

    где - коэффициент пессимизма-оптимизма, который принимает значение в зависимости от отношения ЛПР к риску, от его склонности к оптимизму или к пессимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности λ = 0,5. При λ = 0 (точка Вальда) критерий Гурвица совпадает с максиминым критерием, при λ = 1 - с максимаксным критерием.

    Общий недостаток рассмотренных выше методов теории игр состоит в том, что предполагается ограниченное количество сценариев развития (конечное множество состояний окружающей среды).

    При выборе решения из двух крайностей, связанных с пессимистической стратегией по критерию Вальда и чрезмерным оптимизмом по критерию Сэвиджа можно выбрать некоторую промежуточную позицию, граница которой определяется показателем пессимизма-оптимизма х, находящимся в пределах 0 ≤ х ≤ 1. Такой критерий называется критерием Гурвица. Как частный случай при х=1 из него следует максиминный критерий Вальда, а при х=0 – минимаксный критерий Сэвиджа.



    В соответствии с критерием Гурвица для каждой стратегии выбирается линейная сумма взвешенных минимального и максимального выигрышей по формуле:

    где g ij – размер прибыли (убытков) от спроса (продаж) (табл. 1), i – строка, j – столбец.

    Положим х=0,8 (близкий к пессимистическому критерий) и рассчитаем G i для трех стратегий S 1 , S 2 , S 3 по данным табл. 1

    G 1 =0,8(1020)+(1-0,8)4200=1656 д.е.

    G 2 =0,8(-60)+(1-0,8)6300=1212 д.е.

    G 3 =0,8(-1140)+(1-0,8)8400=768 д.е.

    Затем выбирается такая стратегия, для которой величина G i получается наибольшей, т.е. S i опт →G imax . В нашем примере G imax =G 1 , следовательно S опт =S 1 , т.е. как по критерию Вальда. Если выбрать х близким к нулю, то получим S опт =S 2 , т.е. как по критерию Сэвиджа.