Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт даёт право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий, с которыми приходится иметь дело.
Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя пунктами оказалось, что оно равно 5340м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше (или меньше) 20м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать что расстояние действительно равно 5340м. Таким образом, в данном примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несущественным (практически невозможным) и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже ещё меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидроэлектростанции, требующей огромных материальных затрат и человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть обязательно учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере.
Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или иные события практически невозможными или практически достоверными.
В то же время необходимо заметить, что любое событие, имеющее положительную вероятность, пусть даже близкую к нулю, может произойти. И если число испытаний, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице. Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду.
Из сказанного понятно, что в практической деятельности, да и в общетеоретических задачах, большое значении имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю. Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице; при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных фактов.
Действительно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.
Наличие связи между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин, проявляемой в большом числе опытов, позволяет предугадывать результаты массовых случайных явлений долей уверенности. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в ряде предельных теорем, одна группа которых объединена под общим названием «Закон больших чисел», другая же – под общим названием «Центральная предельная теорема».
Закон больших чисел состоит из теорем Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы), в которых доказывается приближение при определённых условиях среднего арифметического случайных величин к некоторым случайным характеристикам. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.
В другой же группе
предельных теорем, объединённых под
общим названием «Центральная предельная
теорема», устанавливается факт приближения
при определённых условиях закона
распределения суммы
случайных величин к нормальному закону
распределения. Математически это
выражается в виде условий, которые
должны выполняться для рассматриваемых
случайных величин, то есть необходимо
выполнение некоторых условий для
случайных величин
,
при которых суммарная случайная величина
распределена по нормальному закону.
Таким образом, закон больших чисел и центральная теорема составляют две группы предельных теорем теории вероятностей, которые в совокупности позволяют вполне обоснованно осуществлять прогнозы в области случайных явлений, давая при этом оценку точности производимых прогнозов.
Теорема Чебышева
Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.
НЕРАВЕНСТВО
Чебышева
1:
Вероятность того, что отклонение
случайной величины Х
,
имеющей конечную дисперсию
,
от её математического ожидания по
абсолютной величине на меньше любого
положительного числа
,
ограничена сверху величиной
,
то есть, справедливо неравенство:
.
Доказательство : По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать
.
-окрестность
точки
(см. рис.). Заменим теперь интегрирование
по всей оси интегралом по переменнойх
на множестве
.
Так как под знаком интеграла стоит
неотрицательная функция 2 ,
то результат интегрирования в результате
может только уменьшиться, то естьИнтеграл в правой
части полученного неравенства – это
вероятность того, что случайная величина
Х
будет принимать значения вне интервала
.
Значит
Неравенство доказано.
Замечание
.
Неравенство Чебышева имеет для практики
ограниченное значение, поскольку часто
даёт грубую, а иногда и тривиальную
(не представляющую интереса)
оценку. Например, если
и, следовательно,
;
таким образом, в этом случае неравенство
Чебышева указывает лишь на то, что
вероятность отклонения находится в
пределах от нуля до единицы, а это и без
того очевидно, так как любая вероятность
удовлетворяет этому условию.
Теоретическое же
значение неравенства Чебышева весьма
велико. Оценка, полученная Чебышевым,
является универсальной, она справедлива
для любых случайных величин, имеющих
и
.
ПРИМЕР
.Найти
вероятность выхода случайной величины
Х
,
имеющей математическое ожидание
и дисперсию
,
за трёхсигмовые границы.
Решение . Воспользуемся неравенством Чебышева:
Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:
Нетрудно сделать ВЫВОД : случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.
ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М (Х ), и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:
.
Доказательство
.
Применим к случайной величине 
неравенство
Чебышева:
.
Заметим (по условиям
теоремы), что для дисперсии
справедливы соотношения:
То есть
.
Тогда, согласно неравенству Чебышева
.
Переходя к пределу
при
получаем
.
А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.
ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х n – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство:
.
Сущность теоремы Чебышева
Сущность доказанной
теоремы такова: хотя отдельные независимые
случайные величины могут принимать
значения далёкие от своих математических
ожиданий, среднее арифметическое
достаточно большого числа случайных
величин с большой вероятностью принимает
значения близкие к определённому
постоянному числу, а имен к числу 
(или к числу
в частном случае). Другими словами,
отдельные случайные величины могут
иметь значительный разброс, а их среднее
арифметическое рассеянно мало.
Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое.
Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины . Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.
Значение теоремы Чебышева для практики
Приведём примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.
Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х n . К этим величинам может быть применена теорема Чебышева, если: 1) они попарно независимы, 2) имеют одно и то же математическое ожидание, 3) дисперсии их равномерно ограничены.
Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных измерений.
Второе требование
выполняется, если измерения произведены
без систематических (одного знака)
ошибок. В этом случае математические
ожидания всех случайных величин одинаковы
и равны истинному размеру
.
Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определённую точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.
Если все указанные
требования выполнены, мы вправе применить
к результатам измерений теорему Чебышева
(частный случай): при достаточно большом
- числе измерений вероятность неравенства
как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.
Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применим 1 .
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемых сотнями.
В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зёрен малó сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно великó.
Уже из приведённых примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение.
1
Есть и другая формулировка: Вероятность
того, что отклонение случайной величины
Х
от её математического ожидания по
абсолютной величине меньше положительного
числа
,
не меньше чем
,
то есть справедливо неравенство
.
2
Напомним, что
R
1
Однако ошибочно думать, что увеличивая
число измерений можно достичь сколь
угодно большой точности. Дело в том,
что сам прибор даёт показания лишь с
точностью
;
поэтому каждый из результатов измерений,
а следовательно и их среднее арифметическое,
будут получены лишь с точностью, не
превышающей точности прибора.
Лекция 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Несмотря на то, что заранее нельзя предсказать, какое из возможных значений примет случайная величина в результате опыта, при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин становится закономерным. Иными словами, при очень большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых это может происходить. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел , важнейшей из которых является теорема Чебышева. Для доказательства теоремы Чебышева используется неравенство Чебышева , которое мы сейчас рассмотрим.
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем , т.е.
Пример .
Номинальное значение диаметра втулки равно 5 мм, а дисперсия, из-за погрешностей изготовления, не превосходит 0,01. Оценить вероятность того, что размер втулки будет отличаться от номинала не более чем на 0,5 мм.
Решение:
По неравенству Чебышева
Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения . Например, если мы захотим выяснить, какова вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на 3 среднеквадратических отклонения, то неравенство Чебышева даст нам верхнюю границу этого значения 1/9 @ 0,111. В то же время, например для нормального распределения вероятность такого отклонения намного меньше - 0,0027 (правило трех сигм).
Теорема Чебышева .
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число e, вероятность выполнения неравенства
будет как угодно близка к единице при достаточно большом числе n. Иначе говоря
Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что для достаточно большого числа независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство . Введем в рассмотрение новую случайную величину – среднее арифметическое случайных величин
Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания, получим
Применяя к величиненеравенство Чебышева, имеем
Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим
Так как по условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, то
Таким образом
Подставляя правую часть последнего неравенства в (1) (отчего оно может быть только усилено), получим
Отсюда, переходя к пределу при и учитывая, что вероятность не может превосходить единицы, получим доказательство:
В важном частном случае, когда случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание (обозначим его a) формула, выражающая теорему Чебышева, принимает вид
Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному
постоянному числу
или – в частном случае, к числу . Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются .
Пусть производится процесс измерения некоторой величины. Будем рассматривать результаты каждого измерения как случайные величины . Если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (т.е. величины попарно независимы), а случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание и их дисперсии ограничены, то, применяя теорему Чебышева, получим, что при достаточно большом n среднее арифметическое результатов измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины (математического ожидания a).
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.
Неравенства Чебышёва
Во введении к разделу обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821-1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решении. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений не известен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений.
Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство
Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что
. (9)
Для всех слагаемых в правой части (9) , поэтому
Из (9) и (10) следует требуемое.
Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа а справедливо неравенство
.
Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.
Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х)) 2 . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b , как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство
.
Положим b = a 2 . Событие { Y > b } совпадает с событием {| X – M (X )|> a }, а потому
что и требовалось доказать.
Пример 11 . Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.
Достаточно рассмотреть . Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1 и Р(а> a ) = 1, т.е. P (X > a ) = M (X )| a = 1.
Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.
Пример 12. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а , что первое неравенство Чебышёва является строгим.
Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное а , меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/ 2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.
Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном а .
Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины Х ? А требование положительности а ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и ее использование в математической статистике.
Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.
Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел , а другая - .
В настоящей главе рассматриваются следующие теоремы, относящиеся к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.
Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определенных условий к некоторым постоянным значениям.
1. Неравенство Чебышева .
Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числасправедливо неравенство
, (9.1)
т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет, больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату.
Запишем теперь
вероятность события
,
т. е. события, противоположного событию
.
Очевидно, что
. (9.2)
Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чем. Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности тоже уменьшается и значение случайной величины с небольшой дисперсией сосредоточиваются около ее математического ожидания.
Пример 1 . Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на . Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно.
Решение. По условию задачи имеем: ,. В нашем случае- размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получим
2. Теорема Чебышева .
При достаточно большом числе независимых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величиныи математическим ожиданием этой величиныпо абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числапри условии, что случайная величинаимеет конечную дисперсию, т. е.
где - положительное число, близкое к нулю.
Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получим
.
Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или наоборот: по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если произведено достаточно большое количество измерений определенного параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.
Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочным путем устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, т. к. вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью, большей , можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчетного, принятого за математическое ожидание веса, не более чем накг ? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно кг .
Решение. По условию
задачи имеем
,,
,
где- средний вес отливок гильзы. Если
применить к случайной величиненеравенстсво Чебышева, то получим
,
а с учетом равенств (4.4) и (4.5) -
.
Подставляя сюда данные задачи, получим
,
откуда находим .
3. Теорема Бернулли .
Теорема Бернулли устанавливает связь между частостью появления события и его вероятностью.
При достаточно большом числе независмых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между частостью появления событияв этих испытаниях и его вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа, если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .
Утверждение теоремы можно записать в виде следующего неравенства:
, (9.3)
где и- любые сколь угодно малые положительные числа.
Используя свойство математического ожидания и дисперсии, а также неравенсво Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде
, (9.4)
При решении практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений события внезависимых испытаниях. Имеем:
,
.
Используя неравенство Чебышева, в этом случае получим
.
Пример 3. Из изделий, отправляемых в сборочный цех, было подвергнуто обследованию, отобранных случайным образом изделий. Среди них оказалосьбракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более% и не менее%.
Решение. Определим вроятность изготовления бракованного изделия:
.
Наибольшее
отклонение частости появлений бракованных
изделий от вероятности
по абсолютной величине равно
;
число испытаний.
Используя формулу (9.4), находим искомую
вероятность:
,
.
4. Теорема Ляпунова.
Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Эта группа теорем носит общее название центральной предельной теоремы . Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.
Закон распределения
суммы независимых случайных величин
(
)
приближается к нормальному закону
распределения при неограниченном
увеличении,
если выполняются следующие условия:
1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:
; 
;
,
где
,
;
2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных:
.
При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются условия, перечисленные выше):
если
случайная величина
имеет конечные математическое ожиданиеи дисперсию,
то распределение средней арифметической
,
вычисленной по наблюдавшимся значениям
случайной величины внезависимых испытаниях, приприближается к нормальному закону с
математическим ожиданиеми дисперсией,
т. е
.
.
Поэтому вероятность того, что заключено в интервалеможно вычислить по формуле
(9.5)
Используя функцию Лапласа (см. приложение 2), формулу (9.5) можно записать в следующем, удобном для расчетов виде:
;
.
Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы может быть заменен нормальным.
Частным случаем предельной центральной теоремы является теорема Лапласа (см. глава 3, п. 5). В ней рассматривается случай, когда случайные величины ,, дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения:и. О применении этой теоремы в математической статистике см. п. 6 главы 3.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называют законом больших чисел? Какой смысл имеет это название?
2. Сформулируйте неравенство Чебышева и теорему Чебышева.
3. Какова роль предельных теорем в теории вероятностей?
4. Какой из законов распределения фигурирует в качестве предельного закона?
5. В чем состоит центральная предельная теорема Ляпунова?
6. Как можно истолковать теорему Лапласа в качестве предельной теоремы теории вероятностей?
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
1. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно см . Дисперсия этой величины равна . Используя нераввенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет; б) длина изделия выразится числом, заключенным междуисм .
Ответ: а) ; б).
2. Устройство состоит из независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяравна. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за времяокажется меньше.
Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство:
☺ Доказательство
проведем для дискретной СВ Х. Расположим
ее значения в порядке возрастания, из
которых часть значений
будут не более числа А, а другая часть
-
будут больше А, т.е.
Запишем выражение для математического ожидания М(Х): ,
где
- вероятности того, что СВ Х примет
значения соответственно
.
Отбрасывая первые
k неотрицательных слагаемых (напомним,
что все
),
получим:.
Заменяя в неравенстве
значения
меньшим числом А, получим более сильное
неравенство:или
.
Cумма вероятностей
в левой части полученного неравенства
представляет собой сумму вероятностей
событий
,
т.е. вероятность события Х>А. Поэтому
.☻
Т.к. события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х > А) выражением 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:
.
Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.
Пример . Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.
Решение
.
а) По условию М(Х) = 300. По формуле
:
т.е. вероятность того, что число вызовов
превысит 400, будетне
более
0,75.
б) По формуле
:
т.е.
вероятность того, что число вызовов не
более 500, будетне
менее
0,4.
Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
Теорема
.
Для любой случайной величины, имеющей
математическое ожидание и дисперсию,
справедливо неравенство Чебышева:
,
где а = М(Х), е > 0.
☺ Применим
неравенство Маркова в форме
к случайной величине
,
взяв в качестве положительного числа
.
Получим:
.
Т.к. неравенство
равносильно
неравенству
,
а
есть
дисперсия случайной величины Х, то из
неравенства получаем доказываемое
неравенство. ☻
Учитывая, что
события
и
противоположны, неравенство Чебышева
можно записать и в другой форме:
.
Неравенство Чебышева
применимо для любых случайных величин.
В форме
оно устанавливаетверхнюю
границу
,
а в форме
-нижнюю
границу
вероятности рассматриваемого события.
Запишем
неравенство Чебышева в форме
для некоторых случайных величин:
а) для СВ Х = m,
имеющей биноминальный закон распределения
с математическим ожиданием а = М(Х) = nр
и дисперсией D(X) = npq:
.
б) для частости
события в n независимых испытаниях, в
каждом из которых оно может произойти
с одной и той же вероятностью
и имеющей дисперсию
:
.
3амечание
.
Если М(Х) > А или
,
то правые части неравенств Маркова и
Чебышева в форме соответственно
и
будутотрицательными
а в форме
и
будутбольше
1
.
Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1.
Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
Теорема
.
Если дисперсии n независимых случайных
величин
ограничены одной и той же постоянной,
то при неограниченном увеличении числа
n средняя арифметическая случайных
величин сходится по вероятности к
средней арифметической их математических
ожиданий
,
т.е.
☺ По условию ,, где С - постоянное число.
Получим неравенство
Чебышева в форме
для средней арифметической случайных
величин, т.е. для
.
Найдем математическое ожидание М(Х) и оценку дисперсии D(Х):
(Здесь использованы
свойства математического ожидания и
дисперсии и, в частности, то, что случайные
величины
независимы, а следовательно, дисперсия
их суммы равна сумме дисперсий.)
Запишем неравенство
для случайной величины
:
Т.к. по доказанному
,
то
,
Следовательно .
в пределе при n →
∞ величина
стремится к нулю, и получим доказываемую
формулу. ☻
Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины, т.е. практически перестает быть случайной.
Следствие
.
Если независимые случайные величины
имеют одинаковые математические
ожидания, равные а, а их дисперсии
ограничены одной и той же постоянной,
то:
,
Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту/убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число/средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).
