Рассматриваемый
метод так же, как и метод половинного
деления, предназначен для уточнения
корня на интервале
принимает значения разных знаков.
Очередное приближение в отличие от
метода половинного деления берем не в
середине отрезка, а в точке
,
где пересекает ось абсцисс прямая линия
(хорда), проведенная через точкиА
иВ
(рис. 2.6).
Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А иВ :
.
Для
точки пересечения прямой с осью абсцисс
(
)
получим уравнение
.
(2.13)
В
качестве нового интервала для продолжения
итерационного процесса выбираем тот
из двух
и
,
на концах которого функция
принимает значения разных знаков. Для
рассматриваемого случая (рис. 2.6) выбираем
отрезок
,
так как
.
Следующая итерация состоит в определении
нового приближения
как точки пересечения хорды
с осью абсцисс и т.д.
Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.
(2.14)
или при выполнении условия (2.12).
Ø
Замечание. Метод
половинного деления и метод хорд очень
похожи, в частности, процедурой проверки
знаков функции на концах отрезка. При
этом второй их них в ряде случаев дает
более быструю сходимость итерационного
процесса. Однако в некоторых случаях
метод хорд может сходится существенно
медленнее метода половинного деления.
Такая ситуация показана на рис. 2.7. Оба
рассмотренных метода не требуют знания
дополнительной информации о функции
.
Например, не требуется, чтобы функция
была дифференцируема. Даже для разрывных
функций рассмотренные методы обладают
гарантированной сходимостью. Более
сложные методы уточнения корня используют
дополнительную информацию о функции
,
прежде всего свойство дифференцируемости.
Как результат они обычно обладают более
быстрой сходимостью, но в то же время,
применимы для более узкого класса
функций, и их сходимость не всегда
гарантирована. Примером такого метода
служит метод Ньютона.<
Метод Ньютона (метод касательных)
Пусть
нам известно начальное приближение к
корню
(вопрос выбора начального приближение
будет подробно рассмотрен ниже). Проведем
в этой точке касательную к кривой
(рис. 2.8). Эта касательная пересечет ось
абсцисс в точке
,
которую будем рассматривать в качестве
следующего приближения. Значение
легко найти из рисунка:
,
выражая
отсюда
,
получим
.
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k +1-го приближения имеет вид
,
(2.15)
Из
формулы (2.15) вытекает условие применимости
метода: функция
должна быть дифференцируемой и
в окрестности корня не должна менять
знак.
Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (2.12) или (2.14).
ØЗамечание 1. В
методе Ньютона, в отличие от предыдущих
методов, не обязательно задавать отрезок
,
содержащий корень уравнения, а достаточно
найти некоторое начальное приближение
корня
.<
ØЗамечание 2.
Формула метода Ньютона может быть
получена и из других соображений.
Зададимся некоторым начальным приближением
корня
.
Заменим функциюf
(x
)
в окрестности точки
отрезком ряда Тейлора:
и
вместо нелинейного уравнения
решим линеаризованное уравнение
рассматривая его решение как следующее (первое) приближение к искомому значению корня. Решение этого уравнение очевидно:
Повторяя это процесс приходим к формуле Ньютона (2.15).<
Сходимость
метода Ньютона
. Выясним основные
условия сходимости последовательности
значений
,
вычисляемых по формуле (2.15), к корню
уравнения (2.1). Предполагая, что
дважды непрерывно дифференцируема,
разложим
в ряд Тейлора в окрестностиk
-го
приближения
Разделив
последнее соотношение на
и перенеся часть слагаемых из левой
части в правую, получим:
.
Учитывая,
что выражение в квадратных скобках
согласно (2.15) равно
,
переписываем это соотношение в виде
.
.
(2.16)
Из (2.16) следует оценка
,
(2.17)
где
,
.
Очевидно, что ошибка убывает, если
.
(2.18)
Полученное условие означает, что сходимость зависит от выбора начального приближения.
Оценка (2.17) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.
В
ыбор
начального приближения в методе Ньютона.
Как следует из условия (2.18) сходимость
итерационной последовательности,
получаемой в методе Ньютона, зависит
от выбора начального приближения
.
Это можно заметить и из геометрической
интерпретации метода. Так, если в качестве
начального приближения взять точку
(рис. 2.9), то на сходимость итерационного
процесса рассчитывать не приходится.
Если
же в качестве начального приближения
выбрать точку
,
то получим сходящуюся последовательность.
В
общем случае, если задан отрезок
,
содержащий корень, и известно, что
функция
монотонна на этом отрезке, то в качестве
начального приближения
можно выбрать ту границу отрезка
,
где совпадают знаки функции
и второй производной
.
Такой выбор начального приближения
гарантирует сходимость метода Ньютона
при условии монотонности функции на
отрезке локализации корня.
Пусть на отрезке функция непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная f "(x) сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 1).
Рис. 1.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом хорд.
Исходные данные: f (x) - функция; е - требуемая точность; x 0 - начальное приближение.
Результат: xпр - приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
Рис. 2. f "(x) f ""(x)>0 .
Рассмотрим случай, когда f "(x) и f ""(x) имеют одинаковые знаки (рис. 2).
График функции проходит через точки A 0 (a,f(a)) и B 0 (b,f(b)) . Искомый корень уравнения (точка x* ) нам неизвестен, вместо него возьмет точку х 1 пересечения хорды А 0 В 0 с осью абсцисс. Это и будет приближенное значение корня.
В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2) : .
Тогда уравнение хорды А 0 В 0 запишется в виде: .
Найдем значение х = х 1 , для которого у = 0 : . Теперь корень находится на отрезке . Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки A 1 (x 1 ,f(x 1 )) и B 0 (b,f(b)) , и найдем х 2 - точку пересечения хорды А 1 В 0 с осью Ох : x 2 =x 1 .
Продолжая этот процесс, находим
x 3 =x 2 .
Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню
x n+1 =x n .
В этом случае конец b отрезка остается неподвижным, а конец a перемещается.
Таким образом, получаем расчетные формулы метода хорд:
x n+1 =x n ; x 0 =a . (4)
Вычисления очередных приближений к точному корню уравнения продолжается до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие: |x n+1 -x n |< , где - заданная точность.
Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. f "(x) f ""(x)<0 . (рис. 3).
Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая f "(x) f ""(x)<0 .
Соединим точки A 0 (a,f(a)) и B 0 (b,f(b)) хордой А 0 В 0 . Точку пересечения хорды с осью Ох будем считать первым приближение корня. В этом случае неподвижным концом отрезка будет являться конец а .
Уравнение хорды А 0 В 0 :. Отсюда найдем x 1 , полагая y = 0 : x 1 =b . Теперь корень уравнения x . Применяя метод хорд к этому отрезку, получим x 2 =x 1 . Продолжая и т.д., получим x n+1 =x n .
Расчетные формулы метода:
x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)
Условие окончания вычислений: |x n+1 -x n |< . Тогда хпр = xn+1 с точностью Итак, если f "(x) f ""(x)>0 приближенное значение корня находят по формуле (4), если f "(x) f ""(x)<0 , то по формуле (5).
Практический выбор той или иной формулы осуществляется, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.
Пример. Проиллюстрировать действие этого правила на уравнении
(x-1)ln(x)-1=0 , если отрезок изоляции корня .
Решение. Здесь f(x)=(x-1)ln(x)-1 .
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)= .
Вторая производная в этом примере положительна на отрезке изоляции корня : f ""(x)>0 , f(3) >0, т.е. f(b) f""(x)>0 . Таким образом, при решении данного уравнения методом хорд для уточнения корня выбираем формулы (4).
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;
begin e:=0.0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x ;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
if (ya*yb < 0) and (f1*f2 > 0)
then begin x1:=a; while abs(x2 - x) > e do
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2)
end elsebegin x1:=b;
while abs(x2 - x) > e do
begin x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2);
Метод простых итераций
Рассмотрим уравнение f(x)=0 (1) с отделенным корнем X . Для решения уравнения (1) методом простой итерации приведем его к равносильному виду: x=ц(x). (2)
Это всегда можно сделать, причем многими способами. Например:
x=g(x) · f(x) + x ? ц(x) , где g(x ) - произвольная непрерывная функция, не имеющая корней на отрезке .
Пусть x (0) - полученное каким-либо способом приближение к корню x (в простейшем случае x (0) =(a+b)/2). Метод простой итерации заключается в последовательном вычислении членов итерационной последовательности:
x (k+1) =ц(x (k) ), k=0, 1, 2, ... (3)
начиная с приближения x (0) .
УТВЕРЖДЕНИЕ: 1 Если последовательность {x (k) } метода простой итерации сходится и функция ц непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x=ц(x)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть. (4)
Перейдем к пределу в равенстве x (k+1) =ц(x (k) ) Получим с одной стороны по (4), что а с другой стороны в силу непрерывности функции ц и (4) .
В результате получаем x * =ц(x * ). Следовательно, x * - корень уравнения (2), т.е. X=x * .
Чтобы пользоваться этим утверждением нужна сходимость последовательности {x (k) }. Достаточное условие сходимости дает:
ТЕОРЕМА 1: (о сходимости) Пусть уравнение x=ц(x) имеет единственный корень на отрезке и выполнены условия:
- 1) ц(x) C 1 ;
- 2) ц(x) " x ;
- 3) существует константа q > 0: | ц "(x) | ? q . Tогда итерационная последовательность {x (k) }, заданная формулой x (k+1) = ц(x (k) ), k=0, 1, ... сходится при любом начальном приближении x (0) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим два соседних члена последовательности {x (k) }: x (k) = ц(x (k-1) ) и x (k+1) = ц(x (k) ) Tак как по условию 2) x (k) и x (k+1) лежат внутри отрезка , то используя теорему Лагранжа о средних значениях получаем:
x (k+1) - x (k) = ц(x (k) ) - ц(x (k-1) ) = ц "(c k )(x (k) - x (k-1) ), где c k (x (k-1) , x (k) ).
Отсюда получаем:
| x (k+1) - x (k) | = | ц "(c k ) | · | x (k) - x (k-1) | ? q | x (k) - x (k-1) | ?
? q (q | x (k-1) - x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) | ? ... ? q k | x (1) - x (0) |. (5)
Рассмотрим ряд
S ? = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k+1) - x (k) ) + ... . (6)
Если мы докажем, что этот ряд сходится, то значит сходится и последовательность его частичных сумм
S k = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k) - x (k-1) ).
Но нетрудно вычислить, что
S k = x (k)) . (7)
Следовательно, мы тем самым докажем и сходимость итерационной последовательности {x (k) }.
Для доказательства сходимости pяда (6) сравним его почленно (без первого слагаемого x (0) ) с рядом
q 0 | x (1) - x (0) | + q 1 |x (1) - x (0) | + ... + |x (1) - x (0) | + ..., (8)
который сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (так как по условию q < 1 ). В силу неравенства (5) абсолютные величины ряда (6) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (8) (то есть ряд (8) мажорирует ряд (6). Следовательно ряд (6) также сходится. Tем самым сходится последовательность {x (0) }.
Получим формулу, дающую способ оценки погрешности |X - x (k+1) |
метода простой итерации.
X - x (k+1) = X - S k+1 = S ? - S k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) - x (k+2) ) + ... .
Следовательно
|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) - x (k+2) | + ... ? q k+1 |x (1) - x (0) | + q k+2 |x (1) - x (0) | + ... = q k+1 |x (1) - x (0) | / (1-q).
В результате получаем формулу
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (1) - x (0) | / (1-q). (9)
Взяв за x (0) значение x (k) , за x (1) - значение x (k+1) (так как при выполнении условий теоремы такой выбор возможен) и учитывая, что при имеет место неравенство q k+1 ? q выводим:
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (k+1) - x (k) | / (1-q) ? q|x (k+1) - x (k) | / (1-q).
Итак, окончательно получаем:
|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) - x (k) | / (1-q). (10)
Используем эту формулу для вывода критерия окончания итерационной последовательности. Пусть уравнение x=ц(x) решается методом простой итерации, причем ответ должен быть найден с точностью е, то есть
|X - x (k+1) | ? е.
С учетом (10) получаем, что точность е будет достигнута, если выполнено неравенство
|x (k+1) -x (k) | ? (1-q)/q. (11)
Таким образом, для нахождения корней уравнения x=ц(x) методом простой итерации с точностью нужно продолжать итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше числа е(1-q)/q.
ЗАМЕЧАНИЕ 1: В качестве константы q обычно берут оценку сверху для величины
Геометрическая интерпретация
Рассмотрим график функции. Это означает, что решение уравнения и - это точка пересечения с прямой:
Рисунок 1.
И следующая итерация - это координата x пересечения горизонтальной прямой точки с прямой.
Рисунок 2.
Из рисунка наглядно видно требование сходимости. Чем ближе производная к 0, тем быстрее сходится алгоритм. В зависимости от знака производной вблизи решения приближения могут строится по разному. Если, то каждое следующее приближение строится с другой стороны от корня:
Рисунок 3.
Заключение
Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов - сред и языков программирования.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель нахождения корней уравнения методами простой итерации, Ньютона, хорд и половинного деления. Данная модель применима к детерминированным задачам, т.е. погрешностью экспериментального вычисления которых можно пренебречь. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
Проведя исследования по теме курсовой работы "Численные методы. Решение нелинейных уравнений", я добилась поставленных во введении целей. Были подробно рассмотрены методы уточнения корней. К каждому определению и теореме были приведены несколько примеров. Все теоремы доказаны.
Использование различных источников дало возможность полностью раскрыть тему.
Численные методы 1
Решение нелинейных уравнений 1
Постановка задачи 1
Локализация корней 2
Уточнение корней 4
Методы уточнения корней 4
Метод половинного деления 4
Метод хорд 5
Метод Ньютона (метод касательных) 6
Численное интегрирование 7
Постановка задачи 7
Метод прямоугольников 8
Метод трапеций 9
Метод парабол (формула Симпсона) 10
Численные методы
На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:
погрешность метода решения;
погрешности округлений в действиях над числами.
Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собойбесконечный процесс , которыйв пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.
Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.
Решение нелинейных уравнений Постановка задачи
Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.
В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:
f (x ) = 0 ,
где f (x ) – некоторая непрерывная функция аргументаx .
Всякое число x 0 , при которомf (x 0 ) ≡ 0, называется корнем уравненияf (x ) = 0.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) иитерационные . Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.
При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на осиx , в пределах которых содержится один единственный корень, иуточнение корней , т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.
Локализация корней
Для отделения корней уравнения f (x ) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [a ,b ] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.
Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.
f (a ) f (b ) < 0 ,
то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень.
Рис 1. Отделение корней. Функция f (x ) не монотонна на отрезке [a ,b ].
Это условие, как видно из рисунка (1), не обеспечивает единственности корня. Достаточным дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке [a ,b ] является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием постоянства знака первой производнойf ′(x ) .
Таким образом, если на отрезке [ a ,b ] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.
Воспользовавшись этим критерием, можно отделить корни аналитическим способом, находя интервалы монотонности функции.
Отделение корней можно выполнить графически , если удается построить график функцииy =f (x ) . Например, график функции на рисунке (1) показывает, что эта функция на интервале может быть разбита на три интервала монотонности и на этом интервале у нее существуют три корня.
Отделение корней можно также выполнить табличным способом. Допустим, что все интересующие нас корни уравнения (2.1) находятся на отрезке [A, B ]. Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи.
Рис. 2. Табличный способ локализации корней.
Будем вычислять значения f (x ) , начиная с точкиx =A , двигаясь вправо с некоторым шагомh (рис. 2). Как только обнаруживается пара соседних значенийf (x ) , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргументаx можно считать границами отрезка, содержащего корень.
Надежность табличного способа отделения корней уравнений зависит как от характера функции f (x ) , так и от выбранной величины шагаh . Действительно, если при достаточно малом значенииh (h <<|B −A |) на границах текущего отрезка [x, x +h ] функцияf (x ) принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнениеf (x ) = 0 корней на этом отрезке не имеет. Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функцииf (x ) на отрезке [x, x +h ] могут оказаться корни уравнения (рис. 3а).
Рис 3а Рис 3б
Также несколько корней на отрезке [x, x +h ] могут оказаться и при выполнении условияf (x ) f (x + h ) < 0 (рис. 3б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значенияh .
Отделяя таким образом корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска (h /2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.
3. Метод хорд
Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) - непрерывная функция, имеющая в интервале (a, b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке .
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дугу кривой y = f(x) можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай (рис. 1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. f "(x)f ²(x) > 0. Тогда уравнение хорды, проходящей через точки A0 и B, имеет вид
Приближение корня x = x1, для которого y = 0, определяется как
.
Аналогично для хорды, проходящей через точки A1 и B, вычисляется следующее приближение корня
.
В общем случае формула метода хорд имеет вид:
. (2)
Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.
f "(x)f "(x) < 0,
то все приближения к корню x* выполняются со стороны правой границы отрезка , как это показано на рис. 2, и вычисляются по формуле:
. (3)
Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции f(x) и осуществляется по правилу: неподвижной является граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (2) используется в том случае, когда f(b)f "(b) > 0. Если справедливо неравенство f(a)f "(a) > 0, то целесообразно применять формулу (3).
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением:
.
Тогда условие завершения вычислений записывается в виде:
где e - заданная погрешность вычислений. Необходимо отметить, что при отыскании корня метод хорд нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.
4. Метод Ньютона (касательных)
Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке , причем f "(x) и f "(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале .
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс (рис. 3). Уравнение касательной в точке C0 имеет вид
Затем проводится касательная через новую точку C1(x1, f(x1)) и определяется точка x2 ее пересечения с осью 0x и т.д. В общем случае формула метода касательных имеет вид:
В результате вычислений получается последовательность приближенных значений x1, x2, ..., xi, ..., каждый последующий член которой ближе к корню x*, чем предыдущий. Итерационный процесс обычно прекращается при выполнении условия (4).
Начальное приближение x0 должно удовлетворять условию:
f(x0) f ¢¢(x0) > 0. (6)
В противном случае сходимость метода Ньютона не гарантируется, так как касательная будет пересекать ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку . На практике в качестве начального приближения корня x0, обычно выбирается одна из границ интервала , т.е. x0 = a или x0 = b, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной.
Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости при решении уравнений, для которых значение модуля производной ½f ¢(x)½вблизи корня достаточно велико, т.е. график функции y = f(x) в окрестности корня имеет большую крутизну. Если кривая y = f(x) в интервале почти горизонтальна, то применять метод касательных не рекомендуется.
Существенным недостатком рассмотренного метода является необходимость вычисления производных функции для организации итерационного процесса. Если значение f ¢(x) мало изменяется на интервале , то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой
, (7)
т.е. значение производной достаточно вычислить только один раз в начальной точке. Геометрически это означает, что касательные в точках Ci(xi, f(xi)), где i = 1, 2, ..., заменяется прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой y = f(x) в начальной точке C0(x0, f(x0)), как это показано на рис. 4.
В заключение необходимо отметить, что все изложенное справедливо в том случае, когда начальное приближение x0 выбрано достаточно близким к истинному корню x* уравнения. Однако это не всегда просто осуществимо. Поэтому метод Ньютона часто используется на завершающей стадии решения уравнений после работы какого-либо надежно сходящегося алгоритма, например, метода половинного деления.
5. Метод простой итерации
Чтобы применить этот метод для решения уравнения (1) необходимо преобразовать его к виду . Далее выбирается начальное приближение и вычисляется x1, затем x2 и т.д.:
x1 = j(x0); x2 = j(x1); …; xk = j(xk-1); ...
нелинейный алгебраический уравнение корень
Полученная последовательность сходится к корню при выполнении следующих условий:
1) функция j(x) дифференцируема на интервале .
2) во всех точках этого интервала j¢(x) удовлетворяет неравенству:
0 £ q £ 1. (8)
При таких условиях скорость сходимости является линейной, а итерации следует выполнять до тех пор, пока не станет справедливым условие:
.
Критерий вида
может использоваться только при 0 £ q £ ½. Иначе итерации заканчиваются преждевременно, не обеспечивая заданную точность. Если вычисление q затруднительно, то можно использовать критерий окончания вида
; 
.
Возможны различные способы преобразования уравнения (1) к виду . Следует выбирать такой, который удовлетворяет условию (8), что порождает сходящийся итерационный процесс, как, например, это показано на рис. 5, 6. В противном случае, в частности, при ½j¢(x)½>1, итерационный процесс расходится и не позволяет получить решение (рис. 7).
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Заключение
Проблема повышения качества вычислений нелинейных уравнений при помощи разнообразных методов, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.
Список использованных источников
1. Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. - Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию:Практ.пособие/ -М.: Высш. шк. , 1991. - 400 с.
2. Абрамов С.А., Зима Е.В. - Начала программирования на языке Паскаль. - М.: Наука, 1987. -112 с.
3. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. - М.: Высш. шк., 1990 - 479 с.
4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. - Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.
Точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам: , (9) где – начальное приближение к точному решению. 4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2) на основе линеаризованного уравнения (7) имеет вид: 4.6 Метод наискорейшего спуска Методы...
Метод хорд (метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .
В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось - Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.
Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).
Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .
Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:
Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.
Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:
В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов - умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:
или 
.
Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.
Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.
Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.
Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд
1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации () .
2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:
3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:
Если выполняется условие 
, то искомый корень находится внутри левого отрезка положить, ;
Если выполняется условие 
, то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .
В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:
4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:
Если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:
Если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.
Пример решения уравнений методом хорд
В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .
Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .
Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).
Рис.1. Результаты расчета по методу хорд
Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .
Примечание:
Модификацией данного метода является метод ложного положения (False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.
Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:
Случай №1:
Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .
Случай №2:
