Математика, которая мне нравится. Большие числа: за гранью разума

Если очень долго всматриваться в бездну,

можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Как только ребенок (а это происходит где–то года в три–четыре) понимает, что все числа делятся на три большие группы "один, два и много", он тут же пытается выяснить, насколько много бывает много , чем много отличается от очень много , и может ли оказаться так много, что больше не бывает . Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника , то он всегда выигрывал, на каждый "миллион" отвечая "два миллиона", а на "миллиард" — "два миллиарда" или "миллиард плюс один".

Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать "плюс один" и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки из цифр сами по себе ничего не значат. Все этитриллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого–то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой–то образной мере, занимается тем, что вытаскивает из этой необозримой бездны совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма , хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать "на слуху" у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно — дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе и космосе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами — открывает дорогу к шизе. Не стоит чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!

Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках . Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет считать сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе большого значения не имеют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной "1 564 861 615 140 168 357 973", а может "9 384 684 643 798 468 483 745". А то и "3 333 333 333 333 333 333 333", почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10 21 . Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над числом 10 вот тут), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по–простецки, знаками подряд, а не по–научному. У некоторых чисел существуют "человеческие названия", например 10 3 мы называем "тысяча", 10 6 — "миллион", а 10 9 — "миллиард", а у некоторых нет. Скажем у 10 59 нет общепринятого названия. А у 10 21 , кстати, есть — это "секстиллион".

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером ? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в тот же момент, когда выбрался из... ну... откуда там люди выбираются... начать считать раз в секунду "один, два, три, четыре..." и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что миллиард секунд примерно составляют 32 оборота Земли вокруг Солнца.

7 миллиардов — количество людей планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течении человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

100 миллиардов (10 11) — столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продала компания Макдональдс к 1998му году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце — одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейтронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.

Триллион (10 12) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. Во всех океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано в когда–либо опубликованных книгах человечества.

Квадриллион (10 15 , миллион миллиардов) — столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали "квадриллион чего–то"?

Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.

Секстиллион (10 21) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь планеты. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал.

10 секстиллионов (10 22) — количество молекул в грамме воды.

10 24 — масса Земли в килограммах.

10 26 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то более другого, чем метры.

10 51 атомов составляют планету Земля.

10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.

10 100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.

10 122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.

10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 –35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того — наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Или слышали про теорию струн, согласно которой может существовать около 10 500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.

Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объем числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.

Упомяну лишь известный широкой публике гуголплекс . Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать "нано–ручкой" прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, затем образно и на пальцах™ (та–дам!) опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика .

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре точки, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт ? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

Даже не стану объяснять, что такое четырехмерный куб, надеюсь все знают? У четырехмерного куба 16 вершин. И не нужно пыжить мозг и пытаться представить четырехмерный куб. Это же чистая математика. Посмотрел на количество измерений, подставил в формулу, получил количество вершин, ребер, граней и так далее. Ну, или в Википедии подглядел, если формулы не помнишь. Итак у четырехмерного куба 16 вершин и 120 отрезков их соединяющих. Количество комбинаций раскраски в четырехмерном случае гораздо больше, чем в трехмерном, но и тут не сильно сложно посчитать, разделить, сократить и так далее. Короче выяснить, что в четырехмерном пространстве можно так исхитриться с раскраской отрезков у гиперкуба, что все линии одного цвета, соединяющие 4 точки, не будут лежать в одной плоскости.

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и так далее. Но данное "и так далее", оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали "числом Грэма".

То есть существует какая–то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство Рональда Грэма.

А теперь определение того, что я расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.

Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимающих о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как "самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве" на тот момент.

Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Помните, что самое большое число, могущее иметь физический смысл 10 185 , а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что–то соизмеримое с гуголплексом .

Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем равно гуголпрексу, буду называть его "дохулион ". Тааак, разговорчики тут, счетоводец! Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10 185 цифр, его можно изобразить как 10 10 185 .

дохулион = 10 10 185

Продолжаем набирать высоту. Помните инфляционную теорию ? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов . Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры... Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию "флип ". Такое несерьезное слово–междометие, как–будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как будто гранат чистишь, корочку так отгибаешь, внутри зернышки, а в зернышках гранаты, почему бы и нет. Честно, тоже на ходу придумалось, с дохулионом ведь прокатило.

К чему я клоню? А стоит ли останавливаться? Хопа, и еще один флип ! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И еще раз флип. И четвертый, и пятый. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов . Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который... эээ... ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь число станет, предположим, "дохулиард ".

дохулиард = флип флипов

Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет "брынза".

Так вот. Все эти дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины... ну... как бы это так, помягче выразить... недостойной упоминания . Вот, смягчал, как мог.

Число g 1 равно "три, четыре стрелочки, три". Это что такое, что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута .

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени, но неочевидные хитрости поджидают нас тут как тут.

22 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 7 триллионов цифр

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 в степени числа, в котором 7 триллионов цифр — гуголплекс сосет

Короче говоря, "число стрелочка стрелочка другое число" показывает, какая высота степеней (математики говорят башня) выстраивается из первого числа. 59 означает башню из девяти пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком современном компьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет "высоту башни высоты башни"? Какой–там! Так будет только если стрелочки заканчиваются на 2, скажем 32. Если они заканчиваются на 3, мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его "безбашней "). Как–то так:

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга, именуемые мною "безбашней"? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана... ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты . И мы помним, что первые пять троек в этой башне покрывают число гуголплекс, вычисление первого дециметра сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров троек уже просто в открытую насмехаются над читателем.

На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни — все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней... и так до самозабвения.

Расчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету.

Где количество троек в каждой башне, указывается предыдущей башней.

Вот, что такое число g 1 , вот что такое 33.

Передохнули? Теперь от g 1 с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. В g 1 четыре стрелки между тройками. И мы уже знаем, что может скрываться за этой нарочитой невинностью. А представляете себе пять стрелок? Шесть? Семь? Миллион? Если представляете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Все, что было написано до сих пор, все эти расчеты, степени и башни не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы указать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g 2 . Тут уже не нужно ничего считать, можно просто рассмеяться и махнуть рукой.

Не буду скрывать, есть еще g 3 , в котором g 2 стрелок. Кстати, все еще понятно, что g 3 , это не g 2 "в степени" g 2 , а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту... и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной. Здесь можно начинать плакать.

Ведь совершенно верно. Есть число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть еще g 5 , есть g 6 , g 7 , g 17 , g 43 .

Короче их 64 штуки этих g. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так целомудренно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

А расписывают так:

Все, теперь можно расслабиться по–честному. Нет больше необходимости ничего представлять и рассчитывать. Если вы дочитали до этого места, уже как бы все должно встать на свои места. Или не встать. Или не на свои.

Да, опытный читатель с прокачанными предохранителями, не нужно упреков, вы абсолютно правы. Число Грэма — надуманная и высосанная из пальца фигня. Все эти безразмерные гиперкубы и абстрактные плоскости, дьявол их раздери, кому они нужны? Где килограммы, где электроны, где то, что можно измерить? Что за пустые разглагольствования ни о чем? Соглашусь. Можно сказать, что сегодняшний пост на пальцах™ максимально, на сколько это было возможно, далек от реальной науки, почти весь целиком парит в каких–то заумных математических фантазиях, в то время как ученым не хватает денег на приборы, не решена мировая энергетическая проблема, а у кого–то все еще туалет во дворе. А у кого и в поле.

Но знаете, есть такая теория, тоже весьма эфемерная и философская, может слышали — все, что человек мог себе представить или вообразить обязательно когда–нибудь воплотится.

Никто не знает, что ждет нас в будущем. У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид какой может прилететь, динозавры не дадут соврать. Развитие человечества может остановиться само собой, вдруг есть такой закон, что по достижению определенного уровня развитие просто прекращается и все. Или прилетят представители межгалактического союза и остановят это развитие силой.

Но есть все–таки, и не маленький, шанс, что развитие человечества продолжится без остановки. Пусть даже не такое головокружительно быстрое, как в последние 100 лет, главное, что движение вперед, главное, что поступательное.

200 лет назад ковер–самолет (обычный самолет), волшебное зеркало (скайп–видео) или тридевятое царство (поверхность планеты Марс) казались несбыточной сказкой, 2000 лет назад было полагалось только богам, 20 000 лет такого вообще представить не могли, способностей воображения не хватало. Вы можете себе представить, что будет доступно человеку через 200 лет? Через 2000, через 20000 лет? У природы есть один закон, известный нам с самой давней древности. Как бы ни было, что бы ни случилось, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим — пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.

Выживет ли человечество, будет ли это вообще человечество с приставкой "чело–", а может к тому времени и этап Искусственного Интеллекта закончится, порождая какие–то эфирные энергетические сущности особой категории осознанности.

А если пройдет миллион лет? А ведь он пройдет, куда денется. Считаю, что число Грэма, и вообще все, о чем человек только способен задуматься, представить, вытащить из небытия и сделать пусть не осязаемой, но имеющей какой–то смысл вещью — обязательно когда–нибудь воплотится. Просто потому, что сегодня у нас хватило сил развиться до способности осознания подобного.

Сегодня, завтра, когда будет возможность — запрокиньте голову в ночное небо. Помните этот момент ощущения собственной ничтожности? Чувствуете, какой человек крошечный, пылинка, атом по сравнению с безбрежной Вселенной, которая звезд полна, коим числа нет, ну, и бездна, соотвественно, тоже не маленькая.

В следующий раз попробуйте ощутить, какая Вселенная песчинка по сравнению с тем, что происходит в голове. Какая пучина открывается, какие неизмеримые концепции рождаются, как Вселенная флипается наизнанку одним только движением мысли, как и насколько живая, разумная материя отличается от мертвой и неразумной.

Я верю, что через какое–то время человек дотянется до числа Грэма, дотронется до него рукой, или что у него к тому времени будет вместо руки. Это не обоснованная, научно доказанная мысль, это действительно всего лишь надежда, то, что меня воодушевляет. Не Вера с большой буквы, не религиозный экстаз, не учение и не духовная практика. Это то, чего я жду от человечества и чему сам стремлюсь, в меру сил, помочь. Хоть и продолжаю из осторожности причислять себя к агностикам.

Речь в ней шла о числах-гигантах, имеющих хоть какой-то физический смысл. И заканчивается она упоминанием числа Грэма. Того числа, которое будет точкой отсчета сегодняшней статьи. Чтобы представить себе масштабы бедствия я настоятельно рекомендую предварительно прочитать , в которое объясняется о числе Грэма на пальцах TM - там автор очень красочно и последовательно рассказывает о границах восприятия, в которые мы себя зажимаем, когда говорим о больших числах.

Внимание, дисклеймер!

Я не являюсь профессиональным математиком. Поэтому ошибки в специальной терминологии практически неизбежны, учитывая полное отсутствие материалов на русском языке. Более того, я даже не уверен, что те слова, которые я использую для перевода с английского, вообще используются русскоязычными математиками. С другой стороны, я попытался всё это понять и объяснить языком, доступным для обычных читателей. Любые замечания просьба отписывать в личку - будем улучшать текст вместе.

Для начала, чтобы предотвратить возможные комментарии в стиле «а нафига оно надо, это ведь всё равно не имеет ровным счетом никакого практического смысла» - ответ в

знаменитой картинке:

Вы думаете, что Бауэрс на этом остановился? Как бы не так. Ну вот что, ЧТО еще можно придумать в записи массивов? А можно обратить внимание, что там есть запятые… Которые пусть обозначают элементы одномерного массива. А если поставить между числами (1), то это переход на следующую строку, (2) - переход на следующую плоскость.
Квадрат из троек («дутритри») записывается как {3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}.
Куб из троек («диментри») - {3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}.

Вот так незатейливо мы перешли от плоскостных массивов к объемным (и заметьте, это всего лишь запись некого числа, которая из-за своих масштабов потребовала выйти из плоскости просто в своем написании!). Разумеется, дальше мы вводим новые обозначения для четырехмерных, пятимерных «объектов» (простите, называть эти монструозные контрукции числами уже сложно). Например, & означает «массив из»: {10,100,2} & 10. То есть {10,100,2}-массив десяток, или же 10100-массив десяток. Ну то есть нужно 100 раз возвести десять в десятую степень, построить решетку с таким количеством ячеек (причем она будет находиться в стозмерении, то есть измерении измерений измерений… измерений (слово повторено сто раз)), затем заполнить все ячейки десятками - и только тогда можно приниматься решать этот массив.

Вот как можно нарисовать число трилатри {3,3,2}&3:

Думаете хотя бы на этом всё? Неа. Обозначим «легион» прямым слэшем (/). В массиве {a,b,c,.../2} двойка находится во втором легионе. Сначала мы должны решить первый легион (слева от косой черты), а затем взять такое количество элементов в цепочке «массив из… массив из… массив из...», которое получилось при решении: {3,3 / 2} = 3 & 3 & 3 = {3,3,3} & 3. А вот если взять {3,3,3 / 3} = {3 & 3 & 3 / 2}. На этот раз тритри - это не количество элементов в массиве, а количество элементов в цепочке 3 & 3 &… & 3 & 3.
Еще одно расширение Бауэрс сделал добавив символ @ (a@b обозначает «легионный массив размера a из b») и обратный слэш \ (лу гион). Ну тут уже всё понятно: {a,b \ 2} = a @ a @ a… a @ a @ a (где а повторяется b раз).

Понятно, что процесс придумывания новых наименований для каких-то операций не может быть бесконечным (за легионами и лугионами идут лагионы, лэгионы и лигионы, но очевидно, что это ничто, учитывая наш размах), поэтому Бауэрс сделал проще - определил L как прогрессию из легионов, лугионов, лагионов, лэгионов и лигионов: L1, L2, L3… И далее число опередляется индексами.
Например для «вычисления» (смешно, конечно, говорить о вычислениях на таких масштабах) {L100,10} 10,10 нужно взять сотый член в прогрессии «легионы, лугионы, лагионы...» и составить из него массив в 10 измерениях. Затем нужно убирать по одному члену, каждый раз добавляя цепочку из «10 % 10 %… %10» (где % - L100-гионный массив из на то количество десяток, которое получилось на предыдущем этапе. И только после того, как все сотые члены (а также L99, L98 и иже с ними, вплоть до \ и /) закончатся, мы сможем, собственно, начать решать первый массив в сумасшедшей прогрессии массивов.

Кстати, для 340 больших чисел Бауэрс ввел собственные наименования, многие из которых по своей безумности полностью соответствуют алгоритмам расчета. Встречайте, МЕАМЕАМЕАЛОККАПУВА УМПА: {{L100,10} 10,10 & L,10} 10,10 .

Примечание для нердов:
Разумеется, Бауэрс определил строгий набор правил совершения операций над массивами.
Определения:
- первый запись в массиве называется «базой» (base) - b;
- вторая запись в массиве называется «начальной» (prime) - p;
- первая неединичная запись после начальной называется «пилотом» («pilot»);
- запись массива, которая следует сразу за пилотом называется «вторым пилотом». Она не существует, если пилот является первой записью в своем ряду;
- структура - это часть массива, которая состоит из групп меньшей размерности. Это может быть запись (Х 0), ряд (Х 1), плоскость (Х 2), область (Х 3) и т.д., не говоря уже о структурах большей размерности (Х 5 , Х 6 и т.д.) и тетрационных структурах, например, X3. Можно также продолжить пентационными, гексационными и т.п. структурами.
- «предыдущей записью» (previous entry) называется запись, которая образуется перед пилотом, но в том же ряду, что и остальные предыдущие записи. «Предыдущим рядом» называется ряд, который появляется перед пилотным рядом, но в той же плоскости, что и все остальные предыдущие ряды и т.д.
- «начальный блок» (prime block) структуры S вычисляется заменой всех вхождений Х на p. Например, если S = Х 3 , то начальным блоком будет p 3 или куб со стороной длины p. Начальным блоком Х х -структуры будет p p , p-гиперкуб с длиной стороны p.
- «самолёт» включает в себя пилота, все предыдущие записи, а также начальный блок всех предыдущих структур;
- «пассажиры» - это записи в самолете, которые не являются пилотом или вторым пилотом;
- значение массива записывается как v(A) , где А - это массив.
Правила вычисления:
1. Если p = 1, v(A) = b
2. Если нет пилота, то v(A) = b p
3. Если первое и второе не применяется, то:
- пилот уменьшается на 1;
- второй пилот принимает значение оригинального массива с начальным значением, уменьшенным на 1;
- каждый пассажир становится b;
- остальная часть массива не изменяется
Все примеры, описанные выше, подчиняются этим незатейливым правилам.

Как уже говорилось выше, BEAF по своей мощи значительно превосходит цепочки Конвея, не говоря уже о нотации Кнута… Интересно, что дальше?

А дальше мы вступаем на поле скорее философии, нежели собственно математики. Все описанные выше нотации представляют собой вычислимые функции или функции, которые могут быть реализованы на машине Тьюринга.

Во второй части мы рассмотрим невычислимые функции : задачу усердных бобров, сигма-функцию Радо Σ(n), число Райо, BIG FOOT и другие, а также рассмотрим быстрорастущую иерархию, чтобы понять, есть ли предел этому математическому безумию.

Использованные материалы:
1. Главный сайт по гугологии:

эпиграф
Если долго всматриваться в бездну,
можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Как только ребенок (а это происходит где-то года в три-четыре) понимает, что все числа делятся на три группы "один, два и много", он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много, чем много отличается от очень много, и может ли оказаться так много, что больше не бывает. Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника, то он всегда выигрывал, на каждый "миллион" отвечая "два миллиона", а на "миллиард" — "два миллиарда" или "миллиард плюс один".

Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать "плюс один" и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого-то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой-то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что-то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать "на слуху" у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно — дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами — открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!

Пальцы:

Прежде чем переходить к числам-монстрам, потренируемся для начала на кошках. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной "1 564 861 615 140 168 357 973", а может "9 384 684 643 798 468 483 745". А то и "3 333 333 333 333 333 333 333", почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10 21 . Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10 вот тут), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по-простецки, знаками подряд, а не по-научному. У некоторых чисел существуют "человеческие названия", например 10 3 мы называем "тысяча", 10 6 — "миллион", а 10 9 — "миллиард", а у некоторых нет. Скажем у 10 59 нет общепринятого названия. А у 10 21 , кстати, есть — это "секстиллион".

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду "один, два, три, четыре..." и не спать, не пить, не есть, а только считать-считать-считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

100 миллиардов (10 11) — столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998му году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце — одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.
Триллион (10 12) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда-либо опубликованных книгах.

Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.
Секстиллион (10 21) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал.

10 секстиллионов (10 22) — количество молекул в грамме воды.

10 24 — масса Земли в килограммах.

10 26 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.
Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся-вся-вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда-нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое-какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран .

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего-то другого, чем метры.

10 51 атомов составляют планету Земля.

10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.
10 100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.

10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 -35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что-то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того — наибольшее число, которое в принципе может что-то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10 500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.
Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.
Упомяну лишь известный многим гуголплекс. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100 (редактор не позволяет сделать еще одну итерацию степени, придеться картинкой, или буду ставить слэш (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать "нано-ручкой" прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.
За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.
Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем "рамсея" тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями-отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое-кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика .
6

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:
7

Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих — 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.
А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт ? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?
8

Даже не стану объяснять, что такое четырехмерный куб, все знают? У четырехмерного куба 16 вершин. И не нужно пыжить мозг и пытаться представить четырехмерный куб. Это же чистая математика. Посмотрел на количество измерений, подставил в формулу, получил количество вершин, ребер, граней и так далее. Итак у четырехмерного куба 16 вершин и 120 отрезков их соединяющих. Количество комбинаций раскраски в четырехмерном случае гораздо больше, чем в трехмерном, но и тут не сильно сложно посчитать, разделить, сократить и тому подобное. Короче выяснить, что в четырехмерном пространстве тоже можно так исхитриться с раскраской отрезков у гиперкуба, что все линии одного цвета, соединяющие 4 вершины, не будут лежать в одной плоскости.
В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.
А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное "и так далее", оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали "числом Грэма".
То есть существует какая-то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.
А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.
Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?
В 1971м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.
С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число-монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как "самое большое число, когда-либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве" на тот момент.
Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой-то физический смысл 10 185 , а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что-то соизмеримое с гуголплексом .
9

Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них — цифры, цифры, цифры размером много меньше протона. Существовать такая Вселенная, конечно, долго не сможет, тут же в черную дыру схлопнется. Припоминаете, сколько информации можно теоретически уместить во Вселенную? Я ведь рассказывал.
Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его " дохулион ". Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10 185 цифр, его можно изобразить как 10 10 185 .
дохулион = 10 10 185
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные-вселенные и в них цифры-цифры-цифры... Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.
Для удобства назовем подобную операцию " флип ". Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным-полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.
К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?
Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов. Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который... эээ... ну, вы следите? Где-то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, " дохулиард ".
дохулиард = флип флипов
Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп-слово будет "брынза".
Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины... ну... как бы это так, помягче выразить... недостойной упоминания. Вот, смягчал, как мог.
Теперь давайте немного отвлечемся, передохнем. Мы читали, мы считали, наши глазоньки устали. Забудем про число Грэма, до него еще ползти и ползти, расфокусируем взгляд, расслабимся, помедитируем на гораздо меньшее, прямо-таки миниатюрнейшее число, которое назовем g 1 , и запишем всего шестью знаками:
g 1 = 33
Число g 1 равно "три, четыре стрелочки, три". Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута.
Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами.
Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/ 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)
34 = 3333 = 3 3/ 3/ 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 в степени числа, в котором 3 триллиона цифр — гуголплекс уже сосет
Короче говоря, "число стрелочка стрелочка другое число" показывает, какая высота степеней (математики говорят "башня ") выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.
Короче говоря, "число стрелочка стрелочка другое число" показывает, какая высота степеней (математики говорят " башня ") выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет "высоту башни высоты башни"? Какой-там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его " безбашней "). Как-то так: 11

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые "безбашней"? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана... ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты . Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно и невозможно.
12

Теперь понятно, что 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 в степени безбашни, а "три стрелочка стрелочка безбашня"(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.
На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.
Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни — все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней... и так до самозабвения.

Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Никакие аналогии на пальцах™ неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие-то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная — невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что-то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Марса, как-то с чем-то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может. Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Марса, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще... Бескрайнее поле башень уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде. И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башень, чтобы получить высоту башень... чтобы через невообразимое количество времени и итераций получить само число.
Вот, что такое g 1 , вот что такое 33.
Передохнули? Теперь от g 1 с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = башня, высотой от Земли до Марса.
33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.
А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Все, что было написано до сих пор, все эти расчеты, степени и башни не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g 2 . Тут уже не нужно ничего считать, можно просто рассмеяться и махнуть рукой.
Не буду скрывать, есть еще g 3 , в котором содержится g 2 стрелок. Кстати, все еще понятно, что g 3 , это не g 2 "в степени" g 2 , а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту... и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.
Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть так же g 5 , есть g 6 и g 7 и g 17 и g 43 ...
Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

Был старик, застенчивый как мальчик,
Неуклюжий, робкий патриарх…
Кто за честь природы фехтовальщик?
Ну, конечно, пламенный Ламарк.
Осип Мандельштам

В дополнение к описанию числа Грэма и множества других интересных чисел предлагаю обсудить еще пару чисел. Сейчас спешно расшифровывают геном человека. На мой взгляд от этого будет мало толку, как от любых экспериментальных данных, к которым нет хоть какой-нибудь теории (непонятно а что собственно меряют-то) Но по крайней мере стало известно, что человеческий геном состоит из 3.1 миллиарда оснований (всякие тимин с гуанином и прочими урацилами)Каждое живое существо с точки зрения теории эволюции Дарвина считается тестом на выживаемость данной комбинации оснований, и главное столкновение религии с Дарвиновской теорией происходит, когда Дарвиновская теория, или вернее ее современная интерпретация, заявляет, что этот перебор происходит случайным образом. Вне этого заявления никакого противоречия эволюционной теории и картины, описанной например в иудео-христианском Генезисе нет, что бы там не утверждали креационисты.

Например если предположить, что у самого первого живого существа в самом первом ДНК была запрограммирована вся эволюция от этого самого первого существа до современного человека, то эта картина, которую можно считать современной интерпретацией эволюции Ламарка, ну ничем не отличается от Генезиса, а самое первое живое существо в этом мысленном эксперименте следует называть не Адамом Бродского, а архетипом Ламарка. Просто слова "Бог сотворил" из Генезиса в данном контексте означает Бог записал в программу архетипа Ламарка. Кстати и эту программу и сам способ програмирования придумал тоже Он.

Допустим, что комбинация пар оснований этого самого первого живого существа единственная, тогда мы можем оценить снизу темп эволюции Дарвина. Начнем с того, что недавно было найдено самое маленькое живое существо (вирусы по идее еще меньше, но их нельзя считать полноценно живыми существами, так как им для воспроизводства нужен чужой клеточный механизм - всякие митохондрии и т.д. и т.п.) Представим, что вся вселенная (10 в степени 26 метров) доверху заполнена этими живыми существами размеров 0,009 кубических микрона которые непрерывно тестируют комбинации ДНК, причем у каждового свое уникальное тестовое задание исключающее дублирование тестирования ДНК разными живыми существами, а если появляется что то удачное, то об этом мгновенно узнают все живые существа вселенной и меняют свое тестовое задание, так что все комбинации на основе неудачного теста выбраковываются из последующего тестирование. Назовем числом Дарвина общее количество геномов, которые таким образом надо протестировать, а если умножить число Дарвина на минимальное время жизни тестирующего существа - Планковское время которое вляется минимальным квантом времени, - и разделить на общее количество таких существ, то можно определить некое характерное время такой эволюции, которое я предлагаю называть временем Дарвина. А если разделить время Дарвина на максимальный возраст нашей вселенной то можно получить число, которое я предлагаю назвать числом Уильяма из Оккама, так как он был первым, кто доказал, что научными методами нельзя доказать наличие Бога, но нельзя доказать и его отсутствие. Действительно число Оккама показывает в рамках теории Дарвина максимальное количество входов в Дарвиновскую эволюцию в нашей Вселенной, то есть отделяет те комбинации ДНК, которые могут быть геномом живого существа, от тех, которые заведомо фатальны. То есть это число показывает разницу между жизнью и смертью в нашей Вселенной.

Естественно отношение числа Оккама к числу Грэма я предлагаю назвать числом Бродского, а всю эту процедуру я предлагаю назвать парадоксом Бродского.

Originally posted by lyubimica_mira at Число Грэма на пальцах™

Оригинал взят у sly2m в Число Грэма на пальцах™

эпиграф
Если долго всматриваться в бездну,
можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Как только ребенок (а это происходит где–то года в три–четыре) понимает, что все числа делятся на три группы "один, два и много", он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много , чем много отличается от очень много , и может ли оказаться так много, что больше не бывает . Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника , то он всегда выигрывал, на каждый "миллион" отвечая "два миллиона", а на "миллиард" - "два миллиарда" или "миллиард плюс один".

Уже к первому классу школы каждый знает - чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать "плюс один" и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого–то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество . Наука, в какой–то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма , хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать "на слуху" у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение ). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно - дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами - открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!
Пальцы:
Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках . Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной "1 564 861 615 140 168 357 973", а может "9 384 684 643 798 468 483 745". А то и "3 333 333 333 333 333 333 333", почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10 21 . Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10 вот тут), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по–простецки, знаками подряд, а не по–научному. У некоторых чисел существуют "человеческие названия", например 10 3 мы называем "тысяча", 10 6 - "миллион", а 10 9 - "миллиард", а у некоторых нет. Скажем у 10 59 нет общепринятого названия. А у 10 21 , кстати, есть - это "секстиллион".

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером ? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду "один, два, три, четыре..." и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

7 миллиардов - количество людей планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течении человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

100 миллиардов (10 11) - столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998му году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце - одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.

Триллион (10 12) - число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда–либо опубликованных книгах.
Квадриллион (10 15 , миллион миллиардов) - столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали "квадриллион чего–то"?
Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) - столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.
Секстиллион (10 21) - это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал .
10 секстиллионов (10 22) - количество молекул в грамме воды.
10 24 - масса Земли в килограммах.
10 26 - диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет .

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.
Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран .

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.
10 51 атомов составляют планету Земля.
10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.
10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.
10 100 - гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.
10 122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.
10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 –35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того - наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука здесь, конечно же, не заканчивается, но дальше уже идут вольные теории, догадки, а то и просто околонаучный чес и гон. Например, вы наверняка слышали про инфляционную теорию, согласно которой, возможно, наша Вселенная лишь часть более общей Мультивселенной, в которой этих вселенных как пузырей в океане шампанского.

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10 500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.

Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.
Упомяну лишь известный многим гуголплекс . Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем "рамсея" тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика .

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два - красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих - 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.
А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт ? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.
Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

В 1971м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.
С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как "самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве" на тот момент.

Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой–то физический смысл 10 185 , а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что–то соизмеримое с гуголплексом .

Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них - цифры, цифры, цифры размером много меньше протона. Существовать такая Вселенная, конечно, долго не сможет, тут же в черную дыру схлопнется. Припоминаете, сколько информации можно теоретически уместить во Вселенную? Я ведь рассказывал .

Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его "дохулион ". Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10 185 цифр, его можно изобразить как 10 10 185 .
дохулион = 10 10 185
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию ? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами - получим дохулион дохулионов . Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры... Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию "флип ". Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.
К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип ! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов . Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который... эээ... ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, "дохулиард ".
дохулиард = флип флипов
Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет "брынза".
Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины... ну... как бы это так, помягче выразить... недостойной упоминания . Вот, смягчал, как мог.

Теперь давайте немного отвлечемся, передохнем. Мы читали, мы считали, наши глазоньки устали. Забудем про число Грэма, до него еще ползти и ползти, расфокусируем взгляд, расслабимся, помедитируем на гораздо меньшее, прямо–таки миниатюрнейшее число, которое назовем g 1 , и запишем всего шестью знаками:
g 1 = 33
Число g 1 равно "три, четыре стрелочки, три". Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута .
Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами. Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр

Короче говоря, "число стрелочка стрелочка другое число" показывает, какая высота степеней (математики говорят "башня ") выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.
5 5 5 5 5 5 5 5
Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет "высоту башни высоты башни"? Какой–там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его "безбашней "). Как–то так:

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые "безбашней"? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта - 3 - высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана... ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты . Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

Теперь понятно, что 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 в степени безбашни, а "три стрелочка стрелочка безбашня"(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.
На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни - все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней... и так до самозабвения.

Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Никакие аналогии на пальцах™ неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие–то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная - невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что–то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Марса, как–то с чем–то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может.
Теперь от g 1 с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = башня, высотой от Земли до Марса.
33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть так же g 5 , есть g 6 и g 7 и g 17 и g 43 ...
Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:
а расписывают так:

Но знаете, есть такая теория, тоже весьма эфемерная и философская, может слышали - все, что человек мог себе представить или вообразить обязательно когда–нибудь воплотится. Потому что развитие цивилизации определяется по тому, насколько она смогла воплотить в реальность фантазии прошлого.

Никто не знает, что ждет нас в будущем. У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид какой может прилететь, динозавры не дадут соврать. Но у природы есть один незыблимый закон, известный нам с самой давней древности. Как бы ни было, что бы ни случилось, что бы мы себе ни думали, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим, с нами или без - пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.

А если пройдет миллион лет? А ведь он пройдет, куда денется. Число Грэма, и вообще все, о чем человек способен задуматься, представить, вытащить из небытия и сделать пусть не осязаемой, но хотя бы имеющей какой–то смысл сущностью - обязательно рано или поздно воплотится. Просто потому, что сегодня у нас хватило сил развиться до способности осознания подобного.

Сегодня, завтра, когда будет возможность - запрокиньте голову в ночное небо. Помните этот момент ощущения собственной ничтожности? Чувствуете, какой человек крошечный? Пылинка, атом по сравнению с безбрежной Вселенной, которая звезд полна, коим числа нет, ну, и бездна, соотвественно, тоже не маленькая.

В следующий раз попробуйте ощутить, какая Вселенная песчинка по сравнению с тем, что происходит в голове. Какая пучина открывается, какие неизмеримые концепции рождаются, какие миры строятся, как Вселенная флипается наизнанку одним только движением мысли, как и насколько живая, разумная материя отличается от мертвой и неразумной.

Я верю, что через какое–то время человек дотянется до числа Грэма, дотронется до него рукой, или что у него к тому времени будет вместо руки. Это не обоснованная, научно доказанная мысль, это действительно всего лишь надежда, то, что меня вдохновляет. Не Вера с большой буквы, не религиозный экстаз, не учение и не духовная практика. Это то, чего я жду от человечества. В чем стремлюсь, в меру сил, помочь. Хоть и продолжаю из осторожности причислять себя к агностикам.

Математика, которая мне нравится. Большие числа: за гранью разума - Перезагрузка