Математический анализ, функциональный анализ

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды.

Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ.

М.: Физматлит, т.1 - 2015, 444с.; т.2 - 2005, 424с.

В первом томе излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.

Во втором томе излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, гармонический анализ. В конце тома помещен краткий исторический очерк развития понятий математического анализа. Нумерация параграфов и рисунков продолжает нумерацию первого тома.

Том 1.

Формат: pdf (2015 , 4-е изд., перераб., 444с.)

Размер: 3,8 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf (2005 , 3-е изд., перераб., 400с.)

Размер: 1,7 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu / zip

Размер: 2 ,7 Мб

/ Download файл

Том 2 .

Формат: pdf ( 2005 , 3-е изд., перераб., 424с.)

Размер: 1,8 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu / zip

Размер: 2 ,9 Мб

/ Download файл

Том 1. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Функции и множества 11
1.1. Множества (11). 1.2. Функции (13).
§ 2. Числа 15
2.1. Действительные числа (15). 2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности (19). 2.3. Комплексные числа (20). 2.4. Перестановки и сочетания (29). 2.5. Формула бинома Ньютона (31).
§ 3. Элементарные функции 32
3.1. Числовые функции (32). 3.2. Понятие элементарной функции (33). 3.3. Многочлены (34). 3.4. Разложение многочленов на множители (37). 3.5. Рациональные дроби (40) 3.6. Графики рациональных функций (45). 3.7. Степенная функция (48). 3.8. Показательная и логарифмическая функции (50). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (51). 3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (54).
§ 4. Числовые множества 55
4.1. Ограниченные и неограниченные множества (55). 4.2. Верхняя и нижняя грани (56). 4.3*. Арифметические свойства верхних и нижних граней (58). 4.4. Принцип Архимеда (61). 4.5. Принцип вложенных отрезков (61). 4.6*. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел (63).
§ 5. Предел числовой последовательности 67
5.1. Определение предела числовой последовательности (67). 5.2. Единственность предела последовательности (71). 5.3. Переход к пределу в неравенствах (71). 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей (74). 5.5. Бесконечно малые последовательности (75). 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (77). 5.7. Монотонные последовательности (80). 5.8. Принцип компактности (83). 5.9. Критерий Коши (86). 5.10*. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (88). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (94).
§ 6. Предел и непрерывность функций 95
6.1. Первое определение предела функции (95). 6.2. Определение непрерывности функции (100). 6.3. Второе определение предела функции (101). 6.4. Условие существования предела функции (103). 6.5. Предел функции по объединению множеств (104). 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность (105). 6.7. Свойства пределов функций (107). 6.8. Бесконечно малые (110). 6.9. Непрерывные функции (111). 6.10. Классификация точек разрыва (114). 6.11. Пределы монотонных функций (115). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (118). 6.13. Предел и непрерывность композиции функций (119). 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента (120).
§ 7. Свойства непрерывных функций 122
7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений (122). 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций (123). 7.3. Обратные функции (124). 7.4. Равномерная непрерывность (128).
§ 8. Непрерывность элементарных функций 130
8.1.Многочлены и рациональные функции (130). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (131). 8.3. Степенная функция (138). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (139). 8.5. Элементарные функции (140).
§ 9. Сравнение функций 140
9.1. Замечательные пределы (140). 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки (143). 9.3. Эквивалентные функции (146).
§ 10. Производная и дифференциал 148
10.1. Определение производной (148). 10.2. Дифференциал функции (150). 10.3. Геометрический смысл производной и дифференциала (152). 10.4. Физический смысл производной и дифференциала (154). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (155). 10.6. Производная обратной функции (157). 10.7. Производная и дифференциал сложной функции (158). 10.8. Гиперболические функции и их производные (160). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (160).
§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков 161
11.1. Производные высших порядков (161). 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически (163). 11.3. Дифференциалы высших порядков (164).
§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем 165
12.1. Теорема Ферма (165). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (167).
§13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 172
13.1. Неопределенности вида jj (172). 13.2. Неопределенности вида ^ (173).
§ 14. Формула Тейлора 178
14.1. Вывод формулы Тейлора (178). 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора (182). 14.3*. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов (185).
§ 15. Исследование функций 186
15.1. Признак монотонности функций (186). 15.2. Локальные экстремумы функций (187). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (194). 15.4. Асимптоты (198). 15.5*. Построение графиков функций (200).
§ 16. Векторные функции 201
16.1.Предел и непрерывность векторной функции (201). 16.2. Производная и дифференциал векторной функции (205).
§ 17. Длина кривой 211
17.1. Понятие кривой (211). 17.2. Касательная к кривой (216). 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (218).
§ 18. Кривизна кривой 223
18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (223). 18.2. Формула для кривизны (224). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (225). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (228). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (229).
ГЛАВА 2
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла 233
19.1.Первообразная и неопределенный интеграл (233). 19.2. Основные свойства интеграла (235). 19.3. Табличные интегралы (237). 19.4. Формула замены переменной (238) 19.5. Формула интегрирования по частям (241).
§ 20. Интегрирование рациональных дробей 242
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (242). 20.2. Общий случай (244).
§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей 244
21.1. Рациональные функции от функций (244). 21.2. Интегралы виДа/Я(^МГ"-"(^Г) <М245)- 21.3* Интегралы от дифференциального бинома (246).
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 247
22.1. Интегралы f R(sinx, cos ж) dx (247). 22.2. Интегралы J sinm x cosn x dx (248). 22.3. Интегралы J sin ax cos f3x dx, J sin ax sin f3xdx, J cos ax cos f3x dx (249). 22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям (250).
§ 23. Определенный интеграл 251
23.1.Определенный интеграл Римана (251). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (253). 23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу (255). 23.4. Нижний и верхний интегралы (258). 23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций (259). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (260).
§ 24. Свойства интегрируемых функций 262
24.1.Основные свойства определенного интеграла (262). 24.2. Интегральная теорема о среднем (271).
§ 25. Определенный и неопределенный интегралы 274
25.1. Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования (274). 25.2. Существование первообразной (276).
§ 26. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле 278
26.1. Формула замены переменной (278). 26.2. Формула интегрирования по частям (279).
§ 27. Площади и объемы 282
27.1. Понятие площади плоского множества (282). 27.2*. Пример неограниченного множества положительной конечной пло¬щади (283). 27.3. Понятие объема (285).
§ 28. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 286
28.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций (286). 28.2. Вычисление площадей в полярных координатах. (288). 28.3. Вычисление длины кривой (290). 28.4. Площадь поверхности вращения (290). 28.5. Объем тел вращения (294). 28.6*. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей (294).
§ 29. Несобственные интегралы 299
29.1. Определение несобственных интегралов (299). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (304). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (307). 29.4. Критерий Коши (312). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (313). 29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля (316). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента (319).
ГЛАВА 3

РЯДЫ
§ 30. Числовые ряды 321
30.1. Определение ряда (321). 30.2. Свойства сходящихся рядов (322). 30.3. Критерий Коши (324). 30.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (325). 30.5. Знакочередующиеся ряды (332). 30.6. Абсолютно сходящиеся ряды (334). 30.7. Условно сходящиеся ряды (338). 30.8*. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля (342). 30.9. Исследование сходимости рядов методом выделения главной части ряда (345). 30.10. Суммирование рядов методом средних арифметических (347).
§ 31. Функциональные последовательности и ряды 349
31.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов (349). 31.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (351). 31.3*. Специальные признаки равномерной сходимости рядов (359). 31.4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов (362).
§ 32. Степенные ряды 369
32.1. Радиус сходимости и круг сходимости (369). 32.2. Аналитические функции в действительной области (376). 32.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора (378). 32.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (383). 32.5. Формула Стир-линга (393).
Предметный указатель 395

Том 2. ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 33. Многомерные пространства 7
33.1. Определение n-мерного пространства (7). 33.2. Сходимость последовательностей точек в n-мерном пространстве (12). 33.3. Различные типы множеств (20). 33.4. Компакты (27).
§ 34. Предел и непрерывность отображений 34
34.1. Функции многих переменных (34). 34.2 Предел отображений (35). 34.3. Непрерывность отображений в точке (39). 34.4. Свойства пределов отображений (41). 34.5. Предел и непрерывность композиции отображений (42). 34.6. Повторные пределы (44).
§ 35. Непрерывные отображения множеств 45
35.1. Непрерывные отображения компактов. Равномерная непрерывность отображений (45). 35.2. Непрерывное отображение линейно связных множеств (48). 35.3. Непрерывные отображения: общие свойства (50).
§ 36. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 52
36.1. Частные производные (52). 36.2. Дифференцируемость функций многих переменных (53). 36.3. Дифференцирование сложной функции (61). 36.4. Инвариантность формы первого дифференциала (63). 36.5. Геометрический смысл частных производных и дифференциала (64). 36.6. Производная по направлению. Градиент (66).
§ 37. Частные производные и дифференциалы высших порядков.... 69 37.1 Частные производные высших порядков (69). 37.2. Дифференциалы высших порядков (71).
§ 38. Формула Тейлора для функций многих переменных 72
38.1. Формула Тейлора для функций двух переменных (72). 38.2. Формула Тейлора для функций любого числа переменных (75).
§ 39. Экстремумы функций многих переменных 78
39.1. Необходимые условия экстремума (78). 39.2. Достаточные условия экстремума (79).
§ 40. Неявные функции. Отображения 85
40.1. Неявные функции задаваемые одним уравнением (85). 40.2. Декартово произведение множеств (92). 40.3. Неявные функции, задаваемые системой уравнений (93). 40.4. Свойства якобианов отображений (97). 40.5. Непрерывно дифференцируемые отображения (98).
§41. Условный экстремум 103
41.1. Прямой метод отыскания точек условного экстремума (103). 41.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (105). 41.3. Достаточные условия для условного экстремума (107).
ГЛАВА 5
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§42. Кратные интегралы 112
42.1. Объем (мера) в n-мерном пространстве (112). 42.2. Множества меры нуль (128). 42.3. Разбиение измеримых множеств (131). 42.4. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла (134). 42.5. Неполные интегральные суммы (136). 42.6. Существование кратного интеграла (139). 42.7. Свойства кратных интегралов (141)
§ 43. Сведение кратного интеграла к повторному 148
43.1. Сведение двойного интеграла к повторному (148). 43.2. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному (153). 43.3. Объем n-мерного шара (155). 43.4. Независимость меры от выбора системы координат (156). 43.5*. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора (158).
§ 44. Замена переменных в кратных интегралах 161
44.1. Линейные отображения (161). 44.2. Дифференцируемые отображения (165). 44.3 Формула замены переменного в кратном интеграле (174). 44.4 Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения (181). 44.5. Криволинейные координаты. (182).
§ 45. Криволинейные интегралы 186
45.1. Криволинейный интеграл первого рода (186). 45.2. Криволинейный интеграл второго рода (188). 45.3*. Интеграл Стилтьеса (193). 45.4*. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода (202). 45.5. Формула Грина (205). 45.6. Формула для площадей (210). 45.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области (211).
§ 46. Элементы теории поверхностей 214
46.1. Основные определения (214). 46.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (218). 46.3. Первая квадратичная форма поверхности (221). 46.4. Длина кривых на поверхности (222). 46.5. Площадь поверхности (223). 46.6. Ориентация поверхности (225).
§ 47. Поверхностные интегралы 228
47.1. Определения поверхностных интегралов (228). 47.2. Формулы для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла (231). 47.3. Некоторые специальные случаи поверхностных интегралов второго рода (232).
§ 48. Скалярные и векторные поля 235
48.1. Основные понятия (235). 48.2. Формула Гаусса-Остроградского (238). 48.3. Геометрическое определение дивергенции (241). 48.4. Формула Стокса (242). 48.5. Геометрическое определение вихря (246). 48.6. Соленоидальные векторные поля (247). 48.7. Потенциальные векторные поля (249).
§ 49. Интегралы, зависящие от параметра 254
49.1. Равномерная сходимость по параметру семейства функций (254). 49.2. Свойства интегралов, зависящих от параметра (257).
§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 261
50.1. Равномерно сходящиеся интегралы (261). 50.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра (267). 50.3. Интегралы Эйлера (270). 50.4*. Интеграл Дирихле (271).
ГЛАВА 6

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§51. Тригонометрические ряды Фурье 274
51.1. Основные понятия (274). 51.2. Приближение функций ступенчатыми функциями (277). 51.3. Теорема Римана. Стремление коэффициентов Фурье к нулю (281). 51.4. Интеграл Дирихле. Принцип локализации (283). 51.5. Сходимость ряда Фурье в точке (287). 51.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических (292). 51.7. Приближение непрерывных функций многочленами (296).

§ 52. Функциональные пространства 299

52.1. Метрические пространства (299). 52.2. Линейные пространства (309). 52.3. Нормированные и полунормированные пространства (310). 52.4. Гильбертовы пространства (317). 52.5. Фактор-пространства (327). 52.6. Пространство Li (331). 52.7. Пространство L\ (339).
§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах 341
53.1. Ортогональные системы (341). 53.2. Полные системы (345). 53.3. Ряды Фурье (349). 53.4. Дифференцирование тригонометрических рядов Фурье и порядок убывания их коэффициентов (360). 53.5. Скорость сходимости тригонометрических рядов (362). 53.6*. Ряды Фурье функций с произвольным периодом (364). 53.7*. Запись рядов Фурье в комплексной форме (365).
§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 366
54.1. Представление функций интегралом Фурье (366). 54.2. Главное значение интеграла (372). 54.3. Преобразование Фурье (373). 54.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций (377).
§ 55. Обобщенные функции 381
55.1. Пространства D и D" (381). 55.2. Дифференцирование обобщенных функций (385). 55.3. Пространство S (388). 55.4. Преобразование Фурье обобщенных функций (391).
Краткий очерк развития математического анализа 396
Предметный указатель 420

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "

Четвертое издание «Краткого курса математического анализа для втузов» выпускается в значительно переработанном виде. Главная цель переработки заключалась в том, чтобы привести «Курс» в соответствие с программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г.

«Элементарная» и «высшая» математика.
Говоря о курсе математики, изучаемом в высших учебных заведениях, часто называют его «курс высшей математики». Соответственно те разделы математики, которые изучают в школе, обычно объединяются названием «курс элементарной математики». Сразу подчеркнем, что это разделение математики на «высшую» и «элементарную» весьма условно; нельзя указать никаких точных признаков, согласно которым такое разделение можно произвести.

Следует все же отметить, что те разделы математики, которые мы относим к «элементарной», возникли и существуют уже очень давно. Любому школьнику известны имена греческих ученых Пифагора и Евклида, - первый из которых жил за пятьсот, а второй за триста лет до нашей эры. Именно в то время была создана та система элементарной геометрии, которая лишь с небольшими изменениями изучается в школе и сейчас.

Несколько позже оформилась как самостоятельный раздел математики алгебра; ее рождение относят к VIII веку н. э., когда хорезмский ученый Моххамед Аль-Хорезми изложил ее основы в трактате «Альджебр аль-мукабала», из первого слова названия которого и произошло само слово «алгебра». Разумеется, правила арифметических и алгебраических действий, а также способы решения простейших уравнений были известны значительно раньше.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Краткий курс математического анализа для ВТУЗов, Бермант А.Ф., Араманович И.Г., 1967 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Краткий курс математического анализа, Учебник для вузов, Бермант А.Ф., Араманович И.Г., 2005
• Функции комплексного переменного, Операционное исчисление, Теория устойчивости, Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э., 1968
• Уравнения математической физики, Араманович И.Г., Левин В.И., 1969

Следующие учебники и книги.

КУДРЯВЦЕВ Лев Дмитриевич −

доктор физико-математических наук, член-корреспондент Российской академии наук, действительный член Академии педагогических и социальных наук.

Широко известны его учебники по математическому анализу “Курс математического анализа” и “Краткий курс математического анализа”, созданные на основе лекций,

в течение 35 лет читаемых Львом Дмитриевичем

в Московском физико-техническом институте.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЮБИЛЕЙНОМУ (ЧЕТВЕРТОМУ)

Уважаемые читатели!

У Вас в руках электронная версия четвертого издания классического учебника в двух томах члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук, выдающегося математика и педагога Льва Дмитриевича Кудрявцева «Краткий курс математического анализа» - последний труд автора, начатый им в 2010 г. Это издание приурочено к 90-летнему юбилею Л. Д. Кудрявцева, который широко отмечается российской и зарубежной математической общественностью на Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» 25–29 марта 2013 г. в РУДН.

Все доклады, пленарные и секционные (в 9 секциях), охватывают современные достижения в основных областях научных, педагогических и общественных интересов Льва Дмитриевича. Участники конференции - первые читатели данной версии учебника, частично переработанного и дополненного по сравнению с предыдущим третьим изданием.

В настоящем издании автором существенно переработан параграф 52, а также совместно с сыном Николаем Львовичем Кудрявцевым, доцентом кафедры математического анализа МГУ, исправлены замеченные опечатки. Кроме того, в отличие от предыдущих изданий, в конце каждого тома добавлены контрольные вопросы к каждому параграфу. Вопросы к параграфам 49–55 взяты из «Рекомендуемых вопросов по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленных Львом Дмитриевичем и изданных МФТИ в 1994 г.; вопросы к остальным параграфам составлены Н. Л. Кудрявцевым.

Выходу в свет электронной версии юбилейного издания способствовали усилия члена-корреспондента РАН, ректора МФТИ Н. Н. Кудрявцева; профессора, зав. кафедрой высшей математики МФТИ Е. С. Половинкина; зам. председателя НМС по математике

Министерства образования и науки РФ, зам. председателя Оргкомитета, профессора МГУ А. Г. Яголы; генерального директора издательства «ФИЗМАТЛИТ» М. Н. Андреевой и всего коллектива этого издательства. Большой труд вложен Н. Л. Кудрявцевым.

Оргкомитет конференции выражает большую признательность всем, способствовавшим выходу этого издания, и призывает читателей присылать свои отзывы, замечания и пожелания для дальнейших изданий учебника по адресу [email protected].

Зам. председателя Оргкомитета конференции, ученый секретарь НМС по математике Министерства образования и науки РФ,

профессор МИРЭА

С. А. Розанова

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

УДК 517 ББК 22.161.1

К 88

К у д р я в ц е в Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Диф-

ференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 444 с. - ISBN 978-5-9221-1453-0.

Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.

Предыдущее 3-е, переработанное издание учебника вышло в 2005 г. В 4-м издании переработан параграф, посвященный функциональным пространствам, добавлены контрольные вопросы и исправлены найденные опечатки. В список контрольных вопросов включены «Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленные Л.Д. Кудрявцевым и изданные МФТИ в 1994 г. По остальным темам вопросы подготовлены Н.Л. Кудрявцевым.

Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.

Р е це н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, академик В. А. Ильин ; профессор МФТИ, академикС. М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1453-0		c ФИЗМАТЛИТ, 2005, 2008, 2009, 2013
ISBN 978-5-9221-1452-3
		c Н. Л. Кудрявцев, Д. Л. Кудрявцев, 2013

Г л а в а 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. . . . . . . . . . . 17

§ 1. Функции и множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.1. Множества (17). 1.2. Функции (19).

§ 3. Элементарные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 3.1. Числовые функции (39). 3.2. Понятие элементарной функции (40). 3.3. Многочлены (41). 3.4. Разложение многочленов на множители (44). 3.5. Рациональные дроби (46). 3.6. Графики рациональных функций (52). 3.7. Степенная функция (55).

3.8. Показательная и логарифмическая функции (57). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (58). 3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (60).

	Числовые множества. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
	4.1. Ограниченные и неограниченные множества (62). 4.2. Верх-
	няя и нижняя грани (63).	4.3. Арифметические свойства
	верхних и нижних граней (65).	4.4. Принцип Архимеда (67).
	4.5. Принцип вложенных отрезков (68).		4.6. Счетность
	рациональных чисел. Несчетность действительных чисел (70).
	Предел числовой последовательности. . . . . . . .

5.1. Определение предела числовой последовательности (74).

5.2. Единственность предела последовательности (77). 5.3. Переход к пределу в неравенствах (78). 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей (81). 5.5. Бесконечно малые

последовательности (82). 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (84). 5.7. Монотонные последовательности (87). 5.8. Принцип компактности (90). 5.9. Критерий Коши (93).

5.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (95). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (101).

§ 6. Предел и непрерывность функций. . 102

6.1. Первое определение предела функции (102). 6.2. Определение непрерывности функции (108). 6.3. Второе определение предела функции (109). 6.4. Условие существования предела функции (111). 6.5. Предел функции по объединению множеств (112). 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность (112). 6.7. Свойства пределов функций (114).

6.8. Бесконечно малые (118). 6.9. Непрерывные функции (119).

6.10. Классификация точек разрыва (122). 6.11. Пределы монотонных функций (123). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (126). 6.13. Предел и непрерывность сложных функций (127). 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента (128).

§ 7. Свойства непрерывных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130

7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений (130). 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций (131). 7.3. Обратные функции (133).

7.4. Равномерная непрерывность (136).

§ 8. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1. Многочлены и рациональные функции (139). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (140). 8.3. Степенная функция (147). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (148). 8.5. Элементарные функции (149).

§ 9. Сравнение функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149

9.1. Замечательные пределы (149). 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки (152). 9.3. Эквивалентные функции (155).

§ 10. Производная и дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157

10.1. Определение производной (157). 10.2. Дифференциал функции (159). 10.3. Геометрический смысл производной

и дифференциала (161). 10.4. Физический смысл производной

и дифференциала (163). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (164). 10.6. Производная обратной функции (166). 10.7. Производная

и дифференциал сложной функции (167). 10.8. Гиперболические функции и их производные (169). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (169).

§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . 170

11.1. Производные высших порядков (170). 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций

и функций, заданных параметрически (172). 11.3. Дифференциалы высших порядков (173).

§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.1. Теорема Ферма (174). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (176).

§ 13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. . . . . . . . 181 13.1. Неопределенности вида0 0 (181). 13.2. Неопределенности вида∞ ∞ (182).

§ 14. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 14.1. Вывод формулы Тейлора (187). 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора (191). 14.3. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов (193).

§ 15. Исследование функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 15.1. Признак монотонности функций (195). 15.2. Локальные экстремумы функций (196). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (203). 15.4. Асимптоты (207). 15.5. Построение графиков функций (208).

§ 16. Векторные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210

17.1. Понятие кривой (220). 17.2. Касательная к кривой (225). 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (227).

§ 18. Кривизна кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232

18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (232).

18.2. Формула для кривизны (233). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (235). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (238). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (238).

Г л а в а 2. Интегральное исчисление функций одной пере-

менной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242

§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла. . . . . . . . . 242 19.1. Первообразная и неопределенный интеграл (242). 19.2. Основные свойства интеграла (244). 19.3. Табличные интегралы (246). 19.4. Формула замены переменной (247). 19.5. Формула интегрирования по частям (251).

§ 20. Интегрирование рациональных дробей. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (251). 20.2. Общий случай (253).

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей. . . . . . . . . . . . 254 21.1. Рациональные функции от функций (254). 21.2. Интегра-

	R x,	ax + b			, ...,	ax + b				(254). 21.3. Инте-
		cx + d				cx + d

гралы от дифференциального бинома (256).

от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям (260).

§ 23. Определенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261 23.1. Определенный интеграл Римана (261). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (263). 23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу (265). 23.4. Нижний и верхний интегралы (268). 23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций (269). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (271).

§ 24. Свойства интегрируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

	24.1. Основные свойства определенного интеграла
	24.2. Интегральная теорема о среднем (282).
	Определенный и неопределенный интеграл. . . . . .
	25.1. Дифференцирование определенного интеграла по преде-
	лам интегрирования (286). 25.2. Существование		первообраз-
	Формулы замены переменной и	интегрирования
	в определенном интеграле. . . . . .	. . . . . . . . . . . . .
	26.1. Формула замены переменной	(290). 26.2. Формула инте-
	грирования по частям (291).
	Площади и объемы. . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
	27.1. Понятие площади плоского множества (294).
	мер неограниченного множества положительной конечной пло-
	щади (296). 27.3. Понятие объема (297).
	Геометрические и физические приложения определенного инте-
	грала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .

28.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций (298).

28.2. Вычисление площадей в полярных координатах (301).

28.3. Вычисление длины кривой (303). 28.4. Площадь поверхности вращения (304). 28.5. Объем тел вращения (307).

28.6. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей (308).

§ 29. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313 29.1. Определение несобственных интегралов (313). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (318). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (322). 29.4. Критерий Коши (327). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (328). 29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля (332). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента (335).

Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

В лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

Москва 2005.

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Лекция 1.

Двойной интеграл.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат.

Область D назовем правильной , если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.

Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.

Вспомним формулу для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений , где - «крайние» точки области D по x., - площадь сечения тела одной из параллельных плоскостей (при фиксированном x). Эта плоскость пересекается с плоскостью OXY по прямой, параллельной оси OY, соединяющей точку входа в область j(x) с точкой выхода f(x). Графики функций j(x), f(x) образуют границу области D. = - площадь криволинейной трапеции..

Подставляя в формулу для объема, получим . Это повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить, вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии . По смыслу двойного интеграла (объем цилиндрического тела)

= =

Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.

1.

= =

2.

+ = +

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна .

Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y 2 и x = y 2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..

Приложения двойного интеграла.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dm x = y dm = y r(x, y) ds,

dm y = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJ x = y 2 dm = y 2 r(x, y) ds,

dJ y = x 2 dm = x 2 r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ 0 = dJ x + dJ y .

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J 0 = J x + J y .

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

Эта формула известна в теоретической механике.

Лекция 3 Тройной интеграл.

Лекция 4. Приложения тройного интеграла.

Задача о работе силы.

Какую работу производит сила F(M) при перемещении точки M по дуге AB? Если бы дуга AB была отрезком прямой, а сила была бы постоянной по величине и направлению при перемещении точки M по дуге AB, то работу можно было бы вычислить по формуле , где - угол между векторами. В общем случае эту формулу можно использовать для построения интегральной суммы, предполагая силу постоянной на элементе дуги достаточно малой длины. Вместо длины малого элемента дуги можно взять длину стягивающей ее хорды , так как эти величины – эквивалентные бесконечно малые величины при условии (первый семестр).

1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А )

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .

4. Переходя к пределу при условии (условие В ), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):

. Часто обозначают

Теорема существования.

Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит от

Способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

Выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

Способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Лекция 6. Формула Грина.

Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.

Тогда справедлива формула Грина

.

Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей .

Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Грина равен сумме двойных интегралов по правильным областям. Криволинейный интеграл в левой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, так как криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны по знаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются при суммировании.

Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.

2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и , каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.

= = = =

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение

Полный дифференциал, а функция - потенциал.

Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

, где - потенциал.

Доказательство. В теореме о полном дифференциале доказано, что потенциал можно записать в виде . Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x 1 , y 1), (x 2 , y 2) можно провести через точку (x 0 , y 0). Поэтому = + = - = .

Лекция 8

Скалярное и векторное поля.

скалярное поле j (M), если в этой области задана скалярная функция j (M).

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле (M), если в этой области задана векторная функция (M).

Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость или силы взаимодействия частиц – векторные поля.

В интегралах первого рода:двойных, криволинейных, поверхностных мы имели дело со скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве.

В интегралах второго рода вычислялись характеристики векторных полей: работа векторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля в поверхностном интеграле.

Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.

Скалярные поля.

Линии уровня плоского поля j (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны j (x, y) = С.

Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) = 0 – уровень моря, h = 7000м – немногие горные вершины, h = - 10000м – самые глубокие океанские впадины).

Поверхности уровня пространственного поля j (x, y, z) – поверхности, на которых значения функции постоянны j (x, y, z) = С.

Например, поверхности равной температуры или давления в атмосфере. Любая линия на поверхности уровня – это линия уровня.

Пример. Задано поле . При С > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.

Линии или поверхности различных уровней не пересекаются.

Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня, тем интенсивнее изменение поля.

Градиент поля – вектор .

Утверждение . Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня .

Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 при вариациях переменных. Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можно дифференцировать.

Вектор (x, y, z) - это вектор, касательный в точке (x, y, z) к любой кривой, лежащей на поверхности уровня, проходящей через эту точку. Поэтому в точке (x, y, z) вектор градиента ортогонален всем касательным к линии уровня, проходящим через эту точку. Следовательно, он ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня и направлен по нормали к поверхности уровня.

Производная скалярного поля по направлению определяется как . Известно из теории функций многих переменных (выпуск V учебника), что производная по направлению есть проекция градиента на данное направление

.

Пример. Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 3 по направлению {1,3,2} в точке (1,0,4)

Векторное поле.

Векторная линия - линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней.

Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля и касательной

.

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля

Линии уровня – окружности (С>0).

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.

Свойства дивергенции.

1) Линейность.

.

2) , где - постоянное векторное поле.

3) , где - скалярное поле.

= = .

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля вектор

Свойства ротора.

1) Линейность

= +

= .

2) - постоянное векторное поле.

+ = .

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей .

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива формула Стокса

Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

представляет собой вектор

Отсюда видно, что . Вспомним еще, что .

(на поверхности , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности )

=

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде

. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P . Продолжаем равенство дальше.

= .

В самом деле, на контуре , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интегралом векторного поля по дуге L называется криволинейный интеграл .

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

.

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим

Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором ). Левая часть – это проекция ротора на это направление.

Если направление совпадает с направлением ротора и - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

Векторное поле линейной скорости .

,

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона .

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Гармоническое поле.

Скалярное поле называется гармоническим, если

- уравнение Лапласа .

Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное (), а потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. .

Теорема. Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .

Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.

Свойства сходящихся рядов.

1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.

Доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна . По теореме о предельном переходе в равенстве .

2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.

Сгруппируем члены ряда, например, так

Видно, что частичные суммы группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.

3. В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов . Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B.

Запишем частичные суммы второго ряда . По теореме о предельном переходе в равенстве .

Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов, называется остатком ряда и обозначается

4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).

Мы должны были бы по свойству 5 получить сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится. . , а по необходимому признаку сходимости ряда ряды Дирихле» . Название взято в кавычки, так неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

. Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при P<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

.

Интересно, что ряд , интегралы расходятся (проверьте по интегральному признаку).

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Признаки сравнения рядов.

сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пример. Ряд с расходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

Предисловие
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 1. Функции
§ 1. Переменные величины
§ 2. Функции
§ 3. Область определения функции
§ 4. Функция и формула
§ 5. Геометрическое изображение функций
§ 6. Элементарные функции
Глава 2. Элементарная теория пределов
§ 7. Бесконечно малые величины
§ 8. Операции над бесконечно малыми величинами
§ 9. Бесконечно большие величины
§ 10. Величины, стремящиеся к пределам
§ 11. Операции над величинами, стремящимися к пределам
§ 12. Бесконечно малые и бесконечно большие различных порядков
Глава 3. Уточнение и расширение идеи предельного перехода
§ 13. Математическое описание процесса
§ 14. Уточнение понятия предела
§ 15. Расширение идеи предельного перехода
Глава 4. Вещественные числа
§ 16. Необходимость создания общей теории вещественных чисел
§ 17. Построение континуума
§ 18. Основные леммы
§ 19. Завершение теории пределов
Глава 5. Непрерывность функций
§ 20. Определение непрерывности
§ 21. Операции над непрерывными функциями
§ 22. Непрерывность сложной функции
§ 23. Важнейшие свойства непрерывных функций
§ 24. Непрерывность элементарных функций
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава 6. Производная
§ 25. Равномерное и неравномерное изменение функций
§ 26. Мгновенная скорость неравномерного движения
§ 27. Локальная плотность неоднородного стержня
§ 28. Определение производной
§ 29. Правила дифференцирования
§ 30. Вопросы существования и геометрическая иллюстрация
Глава 7. Дифференциал
§ 31. Определение и связь с производной
§ 32. Геометрическая иллюстрация и правила вычисления
§ 33. Инвариантный характер связи производной с дифференциалами
Глава 8. Производные и дифференциалы высших порядков
§ 34. Производные высших порядков
§ 35. Дифференциалы высших порядков и их связь с производными
Глава 9. Теоремы о средних значениях
§ 36. Теорема о конечном приращении
§ 37. Вычисление пределов отношений бесконечно малых и бесконечно больших
§ 38. Формула Тэйлора
§ 39. Остаточный член формулы Тэйлора
Глава 10. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
§ 40. Возрастание и убывание функций
§ 41. Экстремальные значения
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава 11. Обращение операции дифференцирования
§ 42. Понятие примитивной функции
§ 43. Простейшие общие приемы интегрирования
Глава 12. Интеграл
§ 44. Площадь криволинейной трапеции
§ 45. Работа переменной силы
§ 46. Общее понятие интеграла
§ 47. Верхние и нижние суммы
§ 48. Интегрируемость функций
Глава 13. Связь интеграла с примитивной функцией
§ 49. Простейшие свойства интеграла
§ 50. Связь интеграла с примитивной функцией
§ 51. Дальнейшие свойства интегралов
Глава 14. Геометрические и механические приложения интеграла
§ 52. Длина дуги плоской кривой
§ 53. Длина дуги пространственной кривой
§ 54. Масса, центр тяжести и моменты инерции материализованной плоской кривой
§ 55. Объемы геометрических тел
Глава 15. Приближенное вычисление интегралов
§ 56. Постановка задачи
§ 57. Способ трапеций
§ 58. Способ парабол
Глава 16. Интегрирование рациональных функций
§ 59. Алгебраическое введение
§ 60. Интегрирование простых дробей
§ 61. Прием Остроградского
Глава 17. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций
§ 62. Интеграция функций
§ 63. Интеграция функций
§ 64. Примитивные биномиальных дифференциалов
§ 65. Интегрирование тригонометрических дифференциалов
§ 66. Интегрирование дифференциалов, содержащих показательные функции
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Глава 18. Бесконечные ряды чисел
§ 67. Основные понятия
§ 68. Знакопостоянные ряды
§ 69. Знакопеременные ряды
§ 70. Операции над рядами
§ 71. Бесконечные произведения
Глава 19. Бесконечные ряды функций
§ 72. Область сходимости функционального ряда
§ 73. Равномерная сходимость
§ 74. Непрерывность суммы функционального ряда
§ 75. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов
Глава 20. Степенные ряды и ряды многочленов
§ 76. Область сходимости степенного ряда
§ 77. Равномерная сходимость и ее следствия
§ 78. Разложение функций в степенные ряды
§ 79. Ряды многочленов
§ 80. Теорема Вейерштрасса
Глава 21. Тригонометрические ряды
§ 81. Коэффициенты Фурье
§ 82. Приближение в среднем
§ 83. Теорема Дирихле - Ляпунова о замкнутости тригонометрической системы
§ 84. Сходимость рядов Фурье
§ 85. Обобщенные тригонометрические ряды
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава 22. Дифференцирование функций нескольких переменных
§ 86. Непрерывность функции нескольких независимых переменных
§ 87. Двумерный континуум
§ 88. Свойства непрерывных функций
§ 89. Частные производные
§ 90. Дифференциал
§ 91. Производная по любому направлению
§ 92. Дифференцирование сложных и неявных функций
§ 93. Однородные функции и теорема Эйлера
§ 94. Частные производные высших порядков
§ 95. Формула Тэйлора для функций двух переменных
§ 96. Экстремальные значения
Глава 23. Простейшие геометрические приложения дифференциального исчисления
§ 97. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
§ 98. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой
§ 99. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
§ 100. Направление выпуклости и вогнутости кривой
§ 101. Кривизна плоской кривой
§ 102. Соприкасающийся круг
Глава 24. Неявные функции
§ 103. Простейшая задача
§ 104. Общая задача
§ 105. Определители Остроградского
§ 106. Условный экстремум
РАЗДЕЛ ШЕСТОЙ. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава 25. Обобщенные интегралы
§ 107. Интегралы с бесконечными пределами
§ 108. Интегралы неограниченных функций
Глава 26. Интегралы как функции параметров
§ 109. Интегралы с конечными пределами
§ 110. Интегралы с бесконечными пределами
§ 111. Примеры
§ 112. Интегралы Эйлера
§ 113. Формула Стирлинга
Глава 27. Двойные и тройные интегралы
§ 114. Измеримые плоские фигуры
§ 115. Объемы цилиндрических тел
§ 116. Двойной интеграл
§ 117. Вычисление двойных интегралов с помощью двукратного простого интегрирования
§ 118. Замена переменных в двойном интеграле
§ 119. Тройные интегралы
§ 120. Приложения
Глава 28. Криволинейные интегралы
§ 121. Определение плоского криволинейного интеграла
§ 122. Работа плоского силового поля
§ 123. Формула Грина
§ 124. Применение к дифференциалам функций двух переменных
§ 125. Пространственные криволинейные интегралы
Глава 29. Поверхностные интегралы
§ 126. Простейший случай
§ 127. Общее определение поверхностного интеграла
§ 128. Формула Остроградского
§ 129. Формула Стокса
§ 130. Элементы теории поля
Заключение. Краткий исторический очерк
Предметный указатель