Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био - Савара - Лапласа.
-в векторной форме, (15.6)
- в скалярной форме. (15.7)
Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био - Савара - Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.
Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .
Применим формулу 
для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:
Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:
.
Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:
.
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: 
. (15.8)
Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :
. (15.9)
Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока
Рассмотрим индукции 
, создаваемых двумя элементами контура dl 1 и dl 2 . Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.
Закон Био - Савара - Лапласа для двух элементов:
Выбрав dl 1 =dl 2 и принимая, что r 1 =r 2 , получим:
Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на 
получим:
(15.10)
В частности, при x=0 имеем:
(15.11)
магнитная индукция в центре кругового тока
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:
(15.12)
Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:
(15.13)
Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.
Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.
Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:
Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.
Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что:
Здесь В - магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.
Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, - сила тока в соленоиде. Поэтому согласно:
Откуда: 
(15.14)
а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:
(15.15)
Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:
.
Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри - всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).
Произведение называется числом ампер - витков на метр.
Тесты к лекции №15
Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…
£ 
£ 
£ 
£ 
Тест 15.2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…
£
£
£
£
Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.
£ магнитное поле
£ магнитная индукция
£ пробный контур
£ магнитный момент
Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.
£ контур, вносящий помехи в исходное поле.
£ контур, усиливающий исходное поле.
£ контур, ослабляющий исходное поле.
£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.
Тест 15.5.Формула 
выражает:
£ вектор магнитной индукции
£ напряженность магнитного поля
£ магнитную индукцию
£ магнитный момент
Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона
16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток
16.2. Сила Ампера
16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
16.4. Сила Лоренца
16.5. Определение удельного заряда электрона
Магнитное поле в центре кругового проводника с током.
dl
R dB, B
Легко понять, что все элементы тока создают в центре кругового тока магнитное поле одинакового направления. Поскольку все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору, из-за чего sinα = 1, и находятся от центра на одном и том же расстоянии R , то из уравнения 3.3.6 получаем следующее выражение
B = μ 0 μI/2R . (3.3.7)
2. Магнитное поле прямого тока бесконечной длины. Пусть ток течет сверху вниз. Выберем на нем несколько элементов с током и найдем их вклады в суммарную магнитную индукцию в точке, отстоящей от проводника на расстоянии R . Каждый элемент даст свой вектор dB , направленный перпендикулярно плоскости листа «к нам», также будет направлении и суммарный вектор В . При переходе от одного элемента к другому, которые располагаются на разной высоте проводника, будет изменяться угол α в пределах от 0 до π. Интегрирование даст следующее уравнение
B = (μ 0 μ/4π)2I/R . (3.3.8)
Как мы говорили, магнитное поле ориентирует определенным образом рамку с током. Это происходит потому, что поле оказывает силовое воздействие на каждый элемент рамки. И поскольку токи на противоположных сторонах рамки, параллельных ее оси, текут в противоположных направлениях, то и силы, действующие на них, оказываются разнонаправленными, вследствие чего и возникает вращающий момент. Ампер установил, что сила dF , которая действует со стороны поля на элемент проводника dl , прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl на магнитную индукцию В :
dF = I [dl , B ]. (3.3.9)
Выражение 3.3.9 называют законом Ампера . Направление вектора силы, которая называется силой Ампера , определяют по правилу левой руки: если ладонь руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца направить вдоль тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление вектора силы. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле
dF = IBdlsinα , (3.3.10)
где α – угол между векторами dl и B .
Пользуясь законом Ампера, можно определить силу взаимодействия двух токов. Представим себе два бесконечных прямолинейных тока I 1 и I 2 , текущих перпендикулярно плоскости рис. 3.3.4 в сторону наблюдателя, расстояние между которыми равно R . Понятно, что каждый проводник создает в пространстве вокруг себя магнитное поле, которое по закону Ампера действует на другой проводник, находящийся в этом поле. Выберем на втором проводнике с током I 2 элемент dl и рассчитаем силу dF 1 , с которой магнитное поле проводника с током I 1 действует на этот элемент. Линии магнитной индукции поля, которое создает проводник с током I 1 , представляют собой концентрические окружности (рис. 3.3.4).
В 1
dF 2 dF 1
B 2
Вектор В 1 лежит в плоскости рисунка и направлен вверх (это определяется по правилу правого винта), а его модуль
B 1 = (μ 0 μ/4π)2I 1 /R . (3.3.11)
Сила dF 1 , с которой поле первого тока действует на элемент второго тока, определяется по правилу левой руки, она направлена в сторону первого тока. Поскольку угол между элементом тока I 2 и вектором В 1 прямой, для модуля силы с учетом 3.3.11 получаем
dF 1 = I 2 B 1 dl = (μ 0 μ/4π)2I 1 I 2 dl/R . (3.3.12)
Легко показать, рассуждая аналогичным образом, что сила dF 2 , с которой магнитное поле второго тока действует на такой же элемент первого тока
Движение электрического заряда означает перемещение присущего заряду электрического силового поля. Кинетика потенциального электрического поля проявляется в форме возникающего вихревого магнитного поля охватывающего ток. Для обнаружения магнитного поля в качестве индикатора может служить ферромагнитный стержень, обладающий свободой вращения (например, магнитная стрелка).
Подобно электрическому полю, магнитное также характеризуют напряженностью , однако определение этого понятия связано уже не с зарядом, как это было в случае потенциального электрического поля, а с током, т.е. движением электричества.
Направленное поступательное перемещение зарядов и вихревое магнитное поле, отображающие движение электрического поля этих зарядов, представляет собой две стороны единого электромагнитного процесса, называемое электрическим током.
Экспериментальное исследование магнитного поля токов провели в 1820 г. французские физики Ж. Био и Ф. Савар, а П. Лаплас теоретически обобщил результаты этих измерений, получив в итоге формулу (для магнитного поля в вакууме):
, (1)
где 1/4
– коэффициент пропорциональности,
зависящий от выбора единиц измерения;I
–
сила тока;
– вектор,
совпадающий с элементарным участком
тока (рис. 3);
–
вектор, проведенный от элемента тока в
ту точку, в которой определяется
Как видно из
выражения (1), вектор
направлен
перпендикулярно плоскости, проходящей
через
и точку, в
которой вычисляется поле, причем так,
что вращение вокруг
в направлении
связано с
правилом правого винта (см. рис. 3). Для
модуля dH
можно написать следующее выражение:
,
(2)
где
– угол между векторами
и
.
Р 
сводится к сложению их
модулей.
По формуле рассчитаем dH для случая /2:
.
(3)
Проинтегрируем это выражение по всему контуру, учитывая, что r R :
H
.
(4)
Если контур состоит из n витков, то напряженность магнитного поля в центре его будет равна
H
.
(5)
Описание аппаратуры и метода измерений
Целью данной работы является определение величиныH 0. Для измерения H 0 применяется прибор, называемый тангенс- гальванометром, который состоит из кольцеобразного проводника или очень плоской катушки большого радиуса. Плоскость катушки расположена вертикально, и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение.
В центре катушки укреплен компас с очень короткой магнитной стрелкой. Рис. 5 дает сечение прибора горизонтальной плоскостью проходящей через центр витка, где NS – направление магнитного меридиана, AD – сечение катушки горизонтальной плоскостью, ab – магнитная стрелка компаса.
При отсутствии тока в катушке на стрелку abдействует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается по направлению магнитного меридиана NS.
Если по катушке
пропускать ток, то стрелка отклоняется
на угол .
Теперь магнитная стрелка abнаходится
под действием двух полей: магнитного
поля Земли (
)
и магнитного поля, созданного током
(
).
В условиях совмещения
витка с плоскостью меридиана векторы
и
взаимно перпендикулярны, тогда (см. рис.
5):
;
.
(6)
Так как длина магнитной стрелки ab мала по сравнению с радиусом витка, то в пределах стрелки H можно считать постоянной (поле однородно) и равным ее значению в центре катушки, определяемого формулой (5).
Решая совместно уравнения (5) и (6), получим:
.
(7)
Этой расчетной формулой пользуются для определения H 0 в данной работе.
Движение электрического заряда означает перемещение присущего заряду электрического силового поля это приводит к возникновению вихревого магнитного поля. Подобно электрическому полю магнитное поле также характеризуется напряжённостью , однако определение этого понятия связано уже не с зарядом, как это было в случае потенциального электрического поля, а с током, т. е. с движением электрических зарядов.
Направленное поступательное перемещение зарядов и вихревое магнитное поле, отображающее движение электрического поля этих зарядов, представляют собой две стороны единого электромагнитного процесса, называемого электрическим током.
Экспериментальное исследование магнитного поля токов провели в 1820 г. французские физики Ж. Био и Ф. Савар, а П. Лаплас 1 теоретически обобщил результаты этих измерений, получив в итоге формулу (для магнитного поля в вакууме):
(1)
где J - сила тока; - вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный по току (рис.3); - вектор, проведённый от элемента тока в точку, в которой определяется
R - модуль этого вектора.
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
1 Био Жан Батист (1774-1862) - французский физик. Работы посвящены оптике, электромагнетизму, акустике, истории науки.
Савар Феликс (1791 - 1841) - французский физик. Работы относятся к оптике, электромагнетизму, акустике, гидромеханике.
Лаплас Пьер Симон (1749 - 1827) - французский математик, физик и астроном. Физические исследования относятся к молекулярной физике, акустике, электричеству, оптике.
Как видно из выражения (1) , вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, его направление определяется по вращению головки правого винта поступательное движение которого совпадает с направлением . Для модуля dH можно написать следующее выражение:
(2)
где a - угол между векторами и .
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиусом R (круговой ток). Определим напряжённость магнитного поля в центре
кругового тока (рис. 4). Каждый элемент тока создаёт в центре напряжённость, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение элементов сводится к сложению их модулей. По формуле (2)
рассчитаем dH для случая a=p/2:
Проинтегрируем это выражение по всему контуру:
(3)
Если контур состоит из n витков, то напряжён ость магнитного поля в центре будет равна:
Описание аппаратуры и метода измерений
Целью данной работы является определение величины . Для измерения применяется прибор, называемый тангенс-гальванометром , который состоит из кольцеобразного проводника или плоской катушки большого радиуса. Плоскость катушки расположена вертикально и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение. В центре катушки укреплён компас с магнитной стрелкой. Рис. 5 даёт сечение прибора горизонтальной плоскостью, проходящей через центр витка, NS - направление магнитного меридиана, A и D - сечения катушки, NS - магнитная стрелка компаса.
Шкала лимба разделена на градусы.
При отсутствии тока в катушке на стрелку NS действует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается по направлению магнитного меридиана NS.
Поворотом около вертикальной оси совмещают плоскость катушки с плоскостью магнитного меридиана.
Если после такой установки катушки по ней пропустить ток, то стрелка отклонится на угол a . Теперь магнитная стрелка находится под действием двух полей: магнитного поля Земли () и магнитного поля, созданного током (). При условии совмещения плоскости витка с плоскостью меридиана векторы и взаимно перпендикулярны, тогда (см.рис.5)
; = (5)
Так как длина магнитной стрелки мала по сравнению с радиусом витка, то в пределах стрелки можно считать постоянной величиной (поле однородно) и равной ее значению в центре катушки, определяемой формулой (4).
Решая совместно уравнения (4) и (5), получим
где m – число витков катушки.
Формулой (6) можно воспользоваться для определения H 0 в данной работе
Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений
1. Собрать установку по схеме (рис. 6) и, не включая тока, поворачивать подставку тангенс-гальванометра так, чтобы витки его катушки оказались в плоскости магнитного меридиана (см. выше).
2. Включить установку и установить реостатом ток J, подбирая определённый угол отклонения стрелки (в пределах 35 0 -55 0). Дождавшись, когда стрелка придёт в положение равновесия, отсчитать угол её отклонения от плоскости рамки a 1 . Данные значения J и a 1 заносятся в табл. 1.
3. Не изменяя ток по величине, изменить его направление переключателем П, измерить и записать в таблицу значение угла a 2 .
4. Проверить нулевую установку прибора и повторить измерения при том же токе ещё раз.
Вычислить среднее арифметическое значение угла a при заданном токе J (из четырёх измерений):
5. Проделать ещё несколько аналогичных опытов (3 - 5) при различных токах, выбирая углы отклонения стрелки в тех же пределах (35 0 -55 0); результаты занести в таблицу.
6. Для каждого опыта по формуле (6) вычислить H i , (принять a= ), и рассчитать среднее значение , которое заносится в таблицу (n – количество опытов при разном токе)
7. Произвести оценку погрешностей измерений H. Для этого необходимо определить среднее квадратическое отклонение по формуле
s ср = 
.
D / = DJ/J +DR/R+D(tga)/tga
Последний член этого выражения показывает, что относительная погрешность есть функция угла, имеющая наименьшее значение при a=45 0 (поэтому угол отклонения a следует брать в пределах 35 0 -55 0).Отсюда
Цель работы : изучить свойства магнитного поля, ознакомиться с понятием магнитной индукции. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока.
Теоретическое введение. Магнитное поле. Существование в природе магнитного поля проявляется в многочисленных явлениях, простейшими из которых являются взаимодействие движущихся зарядов (токов), тока и постоянного магнита, двух постоянных магнитов. Магнитное поле векторное . Это означает, что для его количественного описания в каждой точке пространства необходимо задать вектор магнитной индукции. Иногда эту величину называют просто магнитной индукцией . Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением магнитной стрелки, находящейся в рассматриваемой точке пространства и свободной от других воздействий.
Так как магнитное поле является силовым, то его изображают с помощью линий магнитной индукции – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции в этих точках поля. Принято через единичную площадку, перпендикулярную , проводить количество линий магнитной индукции, равное величине магнитной индукции. Таким образом, густота линий соответствует величине В . Опыты показывают, что в природе отсутствуют магнитные заряды. Следствием этого является то, что линии магнитной индукции замкнуты. Магнитное поле называется однородным, если векторы индукции во всех точках этого поля одинаковы, то есть, равны по модулю и имеют одинаковые направления.
Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции : магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом.
В однородном магнитном поле на прямолинейный проводник действует сила Ампера :
где – вектор, равный по модулю длине проводникаl и совпадающий с направлением тока I в этом проводнике.
Направление силы Ампера определяется правилом правого винта (векторы , и образуют правовинтовую систему): если винт с правой резьбой расположить перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами и , и вращать его от к по наименьшему углу, то поступательное движение винта укажет направление силы .В скалярном виде соотношение (1) можно записать следующим образом:
F = I×l ×B ×sin a или (2).
Из последнего соотношения вытекает физический смысл магнитной индукции : магнитная индукция однородного поля численно равна силе, действующей на проводник с током 1 А, длиной 1 м, расположенный перпендикулярно направлению поля.
Единицей измерения магнитной индукции в СИ является Тесла (Тл) : .
Магнитное поле кругового тока. Электрический ток не только взаимодействуют с магнитным полем, но и создает его. Опыт показывает, что в вакууме элемент тока создает в точке пространства магнитное поле с индукцией
(3) ,
где – коэффициент пропорциональности, m 0 =4p×10 -7 Гн/м – магнитная постоянная, – вектор, численно равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с элементарным током, – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в рассматриваемую точку поля, r – модуль радиуса-вектора. Соотношение (3) было экспериментально установлено Био и Саваром, проанализировано Лапласом и поэтому называется законом Био-Савара-Лапласа . Согласно правилу правого винта, вектор магнитной индукции в рассматриваемой точке оказывается перпендикулярным элементу тока и радиус-вектору .
На основе закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции проводится расчет магнитных полей электрических токов, текущих в проводниках произвольной конфигурации, путем интегрирования по всей длине проводника. Например, магнитная индукция магнитного поля в центре кругового витка радиусом R , по которому течет ток I , равна:
Линии магнитной индукции кругового и прямого токов показаны на рисунке 1. На оси кругового тока линия магнитной индукции является прямой. Направление магнитной индукции связано с направлением тока в контуре правилом правого винта . В применении к круговому току его можно сформулировать так: если винт с правой резьбой вращать по направлению кругового тока, то поступательное движение винта укажет направление линий магнитной индукции, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором магнитной индукции.
