Логарифмические неравенства с логарифмом в основании. Сложные логарифмические неравенства

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

С ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}<1\)
ОДЗ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

Решение:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2 \(x>6\)
Ответ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_{0,5⁡}\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\) ⁡\({(x+1)}\)
ОДЗ: \(\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\)

Решение:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)
\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Раскрываем скобки, приводим .
\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)	Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
\(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

Ответ: \(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступим к решению.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Раскладываем левую часть неравенства на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).
\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x 2) · x 2 < 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2 < 0.

Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:

Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.

Преобразование логарифмических неравенств

Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:

Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.

Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:

Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Задача. Решите неравенство:

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Затем - нули знаменателя:

x − 1 = 0;
x = 1.

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

log 2 (x − 1) 2 < 2;
log 2 (x − 1) 2 < log 2 2 2 .

Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

(f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) < 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x 2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x 2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).

Получили два множества:

ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).

Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:

Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.

Урок одного неравенства формирует навык исследовательской работы, будит мысль учащихся, развивает сообразительность, повышает интерес учащихся к работе. Его лучше проводить, когда учениками усвоены необходимые понятия и разобран ряд частных приёмов решения логарифмических неравенств. На этом уроке ученики – активные участники поиска решения.

Тип урока

. Урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации. (Урок систематизации и обобщения изученного материала).

Цели урока

обучающие

развивающие

воспитательные

Ход урока.

1. Организационный момент.

Устная работа.

2. Проверка домашнего задания.

Записать на математическом языке предложения: “Числа a и b находятся по одну сторону от единицы”, “Числа a и b находятся по разные стороны от единицы” и доказать получившиеся неравенства. (На доске одним из учеников заранее подготовлено решение).

3. Сообщение темы урока, его целей и задач.

Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.

Наш урок – это урок одного неравенства , содержащего переменную под логарифмом и в основании логарифма, решенного разными способами. Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Действительно, вы должны уметь проверять свои решения. Лучше проверки нет, чем решение задания другим способом и получение того же ответа (можно разными способами придти к одним и тем же системам, к одним и тем же неравенствам, уравнениям). Но не только эта цель преследуется при решении заданий разными способами. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы решим только одно неравенство, но постараемся найти несколько способов для его решения.

4. Творческое применение и добывание знаний, освоение способов деятельности путем решения проблемных задач, построенных на основе ранее усвоенных знаний и умений при решении неравенства log x (x 2 – 2x – 3) < 0.

Перед вами решение этого неравенства, взятое из одной экзаменационной работы. Посмотрите внимательно на него и попробуйте проанализировать решение. (На доске заранее записано решение неравенства)

log x (x 2 – 2x – 3) < log x 1;

a) x 2 – 2x – 3 > 0; б) x 2 – 2x – 3 < 1;

x 2 – 2x – 3 = 0; x 2 – 2x – 4 < 0;

x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;

в) решение системы

Возможные объяснения учеников:

Это не уравнение, а неравенство, поэтому при переходе от логарифмического неравенства к рациональному знак неравенства будет зависеть от основания логарифма и монотонности логарифмической функции.

При таком решении возможно приобретение посторонних решений, или потеря решений, а возможно, что при неверном решении будет получен верный ответ.

Так как же надо было решать это неравенство, в котором переменная под знаком логарифма и в основании логарифма?!

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.

Первая система неравенств не имеет решений.

Решением системы неравенств будет

В предложенном решении неравенства из экзаменационной работы ответ был получен верный. Почему?

Возможные ответы учеников:

Так как область определения функции стоящей в левой части неравенства состоит из чисел больших 3, следовательно, функция y = log x t – возрастающая. Поэтому ответ получился верный.

Как же можно было записать математически грамотное решение в экзаменационной работе?

II способ.

Найдём область определения функции, стоящей в левой части неравенства, а затем, учитывая область определения, рассмотрим только один случай

Как еще можно решить это неравенство? Какие формулы можно применить?

Формулу перехода к новому основанию a > 0, a 1

III способ.

IV способ.

А можно ли применить к самому неравенству то, что логарифм меньше нуля?

Да. Выражение, стоящее под логарифмом, и основание логарифма находятся по разные стороны от единицы, но положительны!

То есть, получаем опять ту же совокупность двух систем неравенств:

Все рассмотренные способы приводят к совокупности двух систем неравенств. Во всех случаях получается один и тот же ответ. Все способы верно теоретически обоснованы.

Вопрос ученикам: как вы думаете, для чего в домашнем задании был задан вопрос, не относящийся к материалу, изучаемому в 11 классе?

Зная свойства логарифма о том, что log а b < 0 , если a и b по разные стороны от 1,

log a b > 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.

log g(x) f(x) > 0, если

log g(x) f(x) < 0, если

(Почему условие g(x) 1 писать не надо?)

Решение неравенства log x (x 2 – 2x – 3) < 0 выглядит так:

a) x 2 – 2x – 3 > 0; б) (x – 1)(x 2 – 2x – 4) < 0;

в) решение системы неравенства

VI способ.

Метод интервалов. (“Решение логарифмических неравенств методом интервалов” - тема следующего урока).

5. Итог проделанной работы.

1. Какими же способами было решено неравенство? Сколько способов для решения этого

неравенства мы нашли?

2. Какой из них наиболее рациональный? Красивый?

3. На чем было основано решение неравенства в каждом случае?

4. Чем интересно данное неравенство?

Качественная характеристика работы класса учителем.

6. Обобщение изученного материала.

Нельзя ли рассмотреть это неравенство как частный случай более общей задачи?

Неравенство вида log g(x) f(x) <(>) log g(x) h(x) можно свести к неравенству log g(x) p(x) <(>) 0 с помощью свойств логарифмов и свойств неравенств.

Решить неравенство

log x (x 2 + 3x – 3) > 1

любым из рассмотренных способов.

7. Домашнее задание, инструктаж по его выполнению
.

1. Решите неравенства (из вариантов вступительных экзаменов по математике):

2. На следующем уроке будем рассматривать логарифмические неравенства, которые решаются методом интервалов. Повторить алгоритм решения неравенств методом интервалов.

3. Расположите числа в порядке возрастания (объясните, почему именно такое расположение):

log 0,3 5; ; ; log 0,5 3 (повторение к следующему уроку).