Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции . Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве Х , то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х , часто обозначают f(x) и пишут
у = f(x). Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции

Функцию задают при помощи формулы. Например, у = 2х - 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) .

Например. Если функция задана формулой , то ее область определения - есть множество действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).

Числовые функции можно представлять наглядно с помощью графика на координатной плоскости. Графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(x) для всех х из множества Х. Так, графиком функции у = х + 2 , заданной на множестве R , является прямая (рис. 1), а графиком функции , заданной на этом же множестве, - парабола (рис. 2).

Для построения графика можно воспользоваться таблицей соответствующих значений х и у :

1) для функции у = х + 2

2) для функции

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь одно лишь значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает.

Например, кривая на рис. 3.

Функции можно задавать и при помощи графика, и при помощи таблицы. Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени t соответствует единственное значение температуры воздуха p .

t (в часах)
p (в градусах)

Числовая функция - это функция, у которой область определения (аргументы) и область значений функции являются числовыми множествами. , где , - числовые множества.

Примером числовой функции может служить зависимость вашего роста (значения функции) от времени (аргумент) (Рис. 1).

Рис. 1. График функции роста

Функция, которая ставит в соответствие каждому человеку его размер обуви, не является числовой, так как ее аргументы - не числа.

Как и любые другие объекты, функции принято классифицировать, чтобы было удобнее их изучать. Вы знакомы с разными видами функций: линейной, квадратичной, логарифмической и т.д. Рассмотрим самые простые функции - линейные.

Уравнение линейной функции: , и - некоторые числа. График - прямая (Рис. 2).

Рис. 2. Пример графика линейной функции

Почему линейную функцию можно назвать простой? Так как ее графиком является прямая. Любая невертикальная прямая на координатной плоскости задает линейную функцию и наоборот. В геометрии прямая - один из самых простых объектов.

Кроме того, линейную функцию мы часто встречаем и используем в жизни. Например, когда мы говорим, что автомобиль движется со скоростью км/ч. Это означает, что за первый час он проедет км, за второй - км и т.д. То есть одинаковые изменения аргумента (времени) приводят к одинаковому изменению функции (расстоянию, которое проехал автомобиль).

Опишем движение автомобиля: пусть начальное положение - , а за часов с постоянной скоростью он проедет расстояние . Тогда положение автомобиля в данный момент времени будет определяться следующим образом: , где - аргумент функции.

Такое уравнение и описывает линейную функцию. Возьмем два момента времени и :

Мы видим, что изменение значения функции пропорционально изменению значения её аргумента.

Также линейная функция важна и тем, что с помощью неё можно локально приблизить (описать) другие функции. Например, если мы на графике (Рис. 3) возьмем маленький участок (Рис. 4), то увидим, что он близок к прямой.

Рис. 3. График функции

Рис. 4. Часть графика на Рис. 3.

Проделав так для всей функции, мы получили кусочно-линейную функцию (Рис. 5). Теперь мы можем описать ее поведение на каждом линейном участке.

Рис. 5. Кусочно-линейная функция

Простой пример приближения кривой линии короткими отрезками прямых изучается в школе на информатике: черепашка в программе ЛОГО таким образом рисует окружность. Понятно, что идеальную окружность на экране нарисовать нельзя: у экрана есть минимальная ячейка (пиксель). Мы ее называем точкой, но у нее все равно есть какая-то ширина, длина. И понятно, что нарисовать гладкую окружность нельзя - на самом деле будет получаться очень-очень точное, но всё-таки приближение.

Если мы смотрим на фотографию на экране, то кажется, что линии плавные. Но если начать её увеличивать, то рано или поздно становятся видны квадратики (пиксели) (Рис. 6).

Рис. 6. Увеличение фотографии на экране

То же самое можно увидеть и в нарисованной черепашкой окружности. При увеличении станет заметно, что на самом деле нарисована не окружность, а правильный n-угольник с достаточно большим значением (Рис. 7).

Рис. 7. Увеличенное изображение окружности

В жизни мы часто используем такой метод. Например, наблюдая за полетом птицы, мы неосознанно высчитываем ее скорость и предполагаем, что она будет лететь дальше по прямой с той же скоростью (Рис. 8). На самом деле наше предсказание может отличаться от действительности, но на небольшом промежутке времени оно будет достаточно точным.

Рис. 8. Иллюстрация просчета положения птицы

Не только мы выполняем такой анализ. Многие животные тоже умеют решать такие задачи: например, лягушка, когда ловит комара, должна уметь предсказывать точку, в которой он будет, чтобы успеть выбросить язык.

Для более точных измерений мы используем более точные инструменты. Для функций более точным (по сравнению с линейной функцией) инструментом является квадратичная функция. Можно сказать, что это следующая по сложности функция.

Уравнение квадратичной функции: , где , и - некоторые числа.

График квадратичной функции - парабола (Рис. 9).

Рис. 9. Пример графика квадратичной функции

Используя квадратичную функцию, можно более точно приближать неизвестные нам функции, а значит, делать более точные предсказания.

Ещё одна часто возникающая задача, связанная с числовыми функциями: нам известны значения функции в определенных точках, а нужно понять, как ведёт себя функция между этими точками. Например, у нас есть какие-то данные эксперимента (Рис. 10).

Рис. 10. Результаты эксперимента

Чтобы понять, как вела себя температура воздуха между отмеченными точками, нужно каким-то образом предположить, как ведёт себя функция, так как мы не можем делать бесконечно много измерений. Приблизить можно линейно (Рис. 11, график А) или квадратично (Рис. 11, график Б).

Рис. 11. Линейное и квадратичное приближение

Такие процессы называются интерполяцией .

Задача кажется сложной: может показаться, что это гадание на кофейной гуще. Действительно, мы же не знаем, как поведёт себя функция между двумя отмеченными точками. Например, её график может выглядеть следующим образом (Рис. 12).

Рис. 12. «Неожиданное» поведение графика функции

На самом деле мы восстанавливаем график функции по точкам, используя некоторую модель: предполагаем, что функция достаточно гладкая, если в модели (например, при проведении эксперимента) не было резких скачков. Тогда с большой степенью вероятности можно сказать, что график функции выглядит так, как показано на Рис. 11.

Квадратичную, линейную функции объединяет то, что они задаются многочленом (есть и другие такие функции):

Кроме таких функций, есть и другие, они описывают разные процессы физики, биологии и также являются изучаемыми. Их можно задать, описать их свойства, построить их графики и дальше с ними работать. К таким функциям относятся, например, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции. О них мы поговорим на следующих уроках.

Мы знаем, что значения косинуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение cos x = а не имеет корней. Например, уравнение cos x = -1,5 корней не имеет.

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение cos x = 1/2.

Решение.

Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности М 1 и М 2 . Так как 1/2 = cos π/3, то точку М 1 мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол х 1 = π/3, а также на углы х = π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Точка М 2 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол х 2 = -π/3, а также на углы -π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам
х = π/3 + 2πk
х = -π/3 + 2πk,

Две представленные формулы можно объединить в одну:

х = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Решить уравнение cos x = -1/2 .

Решение.

Абсциссу, равную – 1/2 , имеют две точки окружности М 1 и М 2 . Так как -1/2 = cos 2π/3, то угол х 1 = 2π/3, а потому угол х 2 = -2π/3.

Следовательно, все корни уравнения cos x = -1/2 можно найти по формуле: х = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Таким образом, каждое из уравнений cos x = 1/2 и cos x = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 0 ≤ х ≤ π каждое из этих уравнений имеет только один корень: х 1 = π/3 – корень уравнения cos x = 1/2 и х 1 = 2π/3 – корень уравнения cos x = -1/2.

Число π/3 называют арккосинусом числа 1/2 и записывают: arccos 1/2 = π/3, а число 2π/3 – арккосинусом числа (-1/2) и записывают: arccos (-1/2) = 2π/3.

Вообще уравнение cos x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, имеет на отрезке 0 ≤ х ≤ π только один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке ; если а < 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Таким образом, арккосинусом числа а € [-1; 1 ] называется такое число а € , косинус которого равен а:

arccos а = α, если cos α = а и 0 ≤ а ≤ π (1).

Например, arccos √3/2 = π/6, так как cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, так как cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Аналогично тому, как это сделано в процессе решения задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos x = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

х = +/-arccos а + 2 πn, n € Z (2).

Решить уравнение cos x = -0,75.

Решение.

По формуле (2) находим, х = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Значение arcos (-0,75) можно приближенно найти на рисунке, измерив угол при помощи транспортира. Приближенные значения арккосинуса также можно находить с помощью специальных таблиц (таблицы Брадиса) или микрокалькулятора. Например, значение arccos (-0,75) можно вычислить на микрокалькуляторе, получив приблизительное значение 2,4188583. Итак, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Следовательно, arccos (-0,75) ≈ 139°.

Ответ: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Решить уравнение (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Решение.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2х = +/-2π/3 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn, n € Z.

Ответ. х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn.

Можно доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула arccos (-а) = π – arccos а (3).

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arсcos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

из формулы (2) следует, что корни уравнения, cos x = а при а = 0, а = 1 и а = -1 можно находить по более простым формулам:

cos х = 0 х = π/2 + πn, n € Z (4)

cos х = 1 х = 2πn, n € Z (5)

cos х = -1 х = π + 2πn, n € Z (6).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

Вспомним определения косинуса и синуса.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

Отметим на оси ординат точку с ординатой :

Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:

Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

, , - множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

, где , . (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.

2. Теперь давайте решим уравнение

Так как - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :

Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:

Запишем две серии решений:

(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

Объедим эти две серии в одну запись:

3. Решим уравнение

Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):

Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :

Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

4. Решим уравнение

Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:

Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:

Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :

ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:

Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:

5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:

Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:

И чуть более сложные примеры:

Синус равен единице, если аргумент равен

Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

Разделим обе части равенства на 3:

Ответ:

Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:

Упростим правую часть:

Разделим обе части на -2:

Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.

Ответ:

И в заключение посмотрите видеоурок "Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности"

На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах (через число пи)	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.