Цилиндр, вписанный в конус
(см. рисунок ниже), если нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, оси конуса и цилиндра совпадают, верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основе, на расстоянии, равном высоте цилиндра, от основы.
Призмой
, вписанной в цилиндр
(см. рисунок ниже), называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами - образующие цилиндра. Следовательно, высоты призмы и цилиндра совпадают, а основания призмы являются вписанными многоугольниками для оснований цилиндра.
Касательной плоскостью
к цилиндру
называется плоскость проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.
Призмой, описанной вокруг цилиндра
(см. рисунок ниже), называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.
В этом случае основания призмы являются описанными многоугольниками вокруг оснований цилиндра, а высоты цилиндра и призмы совпадают.
Случаи «призма, вписанная в конус», «призма, описанная вокруг конуса» аналогичны комбинациям «конус - цилиндр». Им же аналогичные комбинации «цилиндр - пирамида».
Пирамидой, вписанной в конус
, называется такая пирамида, основанием которой является многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной - вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются созидательными конуса.
Касательной плоскостью к конусу
называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, проведенного через эту образующую.
Пирамидой, описанной вокруг конуса
(см. рисунок ниже), называется пирамида, в основании которой лежит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями к конусу.
Многогранник называется вписанным в шар
, если все его вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара
, если все его грани касаются поверхности шара.
КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Раздел математики, объединяющий задач, в к-рых исследуются экстремальные свойства комбинаторного характера для систем фигур. Эти задачи связаны, в первую очередь, с оптимальным в нек-ром смысле расположением выпуклых множеств. Примером одной из старейших задач такого рода может служить задача о 13 шарах: каково максимальное равных материальных шаров, к-рые можно приложить к равному всем им шару в евклидовом пространстве? И. Кеплер (J. Kepler, 1611) указал число 12, но строгое этой задачи было дано в сер. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden) и К. Шютте (К. Schutte).
Термин "К. г.", по-видимому, впервые появился в 1955 (см. ). Обычно с этим годом связывают возникновение К. г. как направления в математике, хотя к ней можно отнести и боЛее ранние результаты (см., напр., ). Для К. г. характерна наглядность ее задач. В К. г. широко используются комбинаторные соображения и сочетания приемов из различных областей математики (топологии, функционального анализа, геометрии в целом, теории графов и др.).
Одной из центральных групп задач К. г. являются задачи о разбиении фигур на части, напр. Ворсука проблема.
Большую группу задач К. г. составляют. задачи о покрытиях,
в к-рых исследуется возможность покрытия заданного множества фигурами специального вида (см., напр., Хадвигера гипотезу
о покрытии выпуклого тела минимальным числом меньших гомотетичных ему тел с коэффициентом гомотетии k,
0
К. г. родственна дискретной геометрии, см., напр., определенным образом связанную с гипотезой Хадвигера и задачами освещения Эрдёша задачу о нахождении максимального числа точек евклидова пространства R n , любые три из к-рых образуют с углами, нe превосходящими p/2.
К. г. тесно примыкает к теории выпуклых множеств. См., напр., Хелли теорему, к-рая описывает пересечения нек-рых семейств выпуклых множеств в зависимости от пересечения их подсемейств.
Лит. : Нadwiger Н., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandrоff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, В., 1935; Xадвигер Г., Дебруннер Г., Комбинаторная плоскости, пер. с нем., М., 1965; Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; Нadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Яглом И. М., О комбинаторной геометрии, М., 1971; Болтянский В. Г., Солтан П. С, Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.
КОМБИНАТОРНАЯ - конечное Sвместе с отношением замыкания определенным для всех подмножеств Аиз S(т. е. влечет и но не обязательно = удовлетворяющим условиям: 1) для пустого множества 2)для каждого элемента 3) если и и если но то (свойство замены). Замкнутые множества, или плоскости образуют геометрическую решетку. Подмножество независимо, если для всех все максимальные независимые множества, или базисы, имеют одинаковую . Обычным образом определяются К. г. и сужение К. г. на подмножество А. Мощность базисов сужения К. г. на Аназ. рангом (А)множества А. Ранг удовлетворяет условию:
Множество для к-рого r(А)<|А|, наз. зависимым; минимальные зависимые множества К. г. наз. циклами. Опуская условия 1) и 2) в определении К. г., получают определение предгеометрии, или матроида. Рассматриваются также бесконечные К. г., при этом требуется конечность базисов.
Пример К. г.- подмножество Sвекторного пространства Vс отношением
определенным для всех где sр(A) - , натянутая на Ав V.
Одной из основных проблем в теории К. г. является так наз. критическая проблема. Для К. г., заданной множеством Sв проективном пространстве размерности пнад полем Галуа, эта проблема состоит в том, чтобы найти наименьшее положительное k (критическую экспоненту), для к-рого существует семейство гиперплоскостей H 1 , ..., H k , различающих S(семейство гиперплоскостей различает множество S, если для всякого tОSсуществует хотя бы одна , не содержащая t).
Лит. : Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 р. 509-33; Сrаро Н. Н., Rota G. С, On the foundations of combinatorial theory: combinatorial geometries, Camb.- L., 1970; Tutte W. Т., Introduction to the theory of matroids, N. Y., 1971; Уилсон Р., Введение в теорию графов, пер. с англ., М., 1977; Рыбников К. А., Введение в комбинаторный анализ, М., 1972.
А. М. Рееякин.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:
В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия
Часть математики, первоначальным предметом к рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем… … Математическая энциклопедия
N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия
Множества X любое семейство подмножеств этого множества, объединение к рого есть X. 1) Под П. топологического пространства, равномерного пространства и вообще какого либо множества, наделенного тем или иным строением, понимают произвольное П.… … Математическая энциклопедия
Гипотеза Борсука опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что Любое тело диаметра d в n мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. Гипотеза была выдвинута… … Википедия
Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия
Случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия
Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия
Теорема Хелли классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Предположим, что есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства, такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех… … Википедия
- (парадокс 18 точек) одна из задач вычислительной геометрии. Поместим на отрезок точку с номером 1. Затем добавим ещё одну с номером 2 таким образом, чтобы они оказались в разных половинах отрезка. Третью точку добавим таким образом, чтобы все три … Википедия
Книги
- Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии , Фоменко А., Мищенко А., Соловьев Ю.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов…
ГБОУ СПО «ТПТ»
Сборник методических пособий по рисунку натюрморта
дисциплина «Рисунок»
Введение
Практическая работа № 1 «Рисунок натюрморта, из 3-х геометрических тел на плоском фоне»
Практическая работа № 2 «Рисунок натюрморта из 4 – 5 геометрических тел на плоском фоне»
Практическая работа № 3 «Комбинаторика геометрических тел»
4 Практическая работа № 4 «Рисунок натюрморта, составленного из предметов домашнего быта на фоне драпировки»
Заключение
Приложение А – образец практической работы № 1
Приложение Б – образец практической работы № 2
Приложение В – образец практической работы № 3
Приложение Г – образец практической работы № 4
Литература
Введение
«Не доверяйте архитектору,
не умеющему рисовать».
Преподавание рисунка на архитектурных кафедрах учебных заведений должно быть ориентировано на предстоящую деятельность архитектора, призванного совместно с инженерами, учёными, скульпторами и живописцами, заказчиками и утверждающими учреждениями создавать новые пространственные формы и организацию среды, окружающей человека.
Архитектор должен постоянно стремиться к более совершенному решению всех проблем проектирования, и рисунок – одно из средств достижения этой цели.
Владея техникой рисунка, архитектор, образно и логически познаёт бесконечное богатство окружающего мира, в том числе и архитектуру, фиксирует свои разнообразные архитектурно-художественные, технические идеи на пути их выполнения.
Практическая работа № 1 – 10 часов.
Тема: «Рисунок натюрморта из 3-х геометрических тел на плоском фоне».
Цели:
Оборудование:
Кнопки канцелярские.
Резинка стирательная.
Теория
Рисунок – это изображение, выполненное от руки, на глаз, с помощью графических средств: линий, штрихов и пятен. Существуют многочисленные разновидности рисунка, различающиеся по методам рисования, темам и жанрам, назначению, технике и характеру исполнения.
Рисунок, как правило, исполняется одним цветом. Различными сочетаниями пятен и линий, комбинацией штрихов в рисунке достигаются пластическая моделировка, тональные и световые эффекты. Выполненный на высоком уровне рисунок имеет самостоятельную художественную ценность.
По назначению рисунок может быть научно-вспомогательного, прикладного, технического характера или изобразительным. Исключительное значение имеет рисунок как средство познания и изучения действительности. Рисунок является частью культуры, формирует и развивает мышление .
В процессе обучения изобразительному искусству рисунок является ведущей дисциплиной.
Умение грамотно рисовать необходимо любому квалифицированному работнику, так как рисунок лежит в основе не только изобразительного (живопись, графика, скульптура), но и других видов пластических искусств, в том числе прикладного, декоративного и оформительского творчества.
Начинать учиться рисованию надо с простых по форме предметов, например, геометрических тел , таких как куб, шар, цилиндр, конус и призма. От простого к сложному – таков принцип овладения навыками изобразительной грамоты в школе реалистического искусства.
В учебном рисовании особое значение приобретает понимание конструкции формы с точки зрения её пространственной организации, геометрической структуры внешнего пластического строения.
Познавая предмет с внешней стороны, нужно стремиться проникнуть в сущность его внутреннего строения . По мере осознания этой сущности возникает более ясное представление о предмете.
Конструкция объёмных тел определяется взаимным расположением характерных точек в пространстве. У гранёных форм этими узловыми точками служат вершины пространственных углов. Например, куб характеризуется восемью точками вершин углов и двенадцатью линиями ребер, четырёхгранная пирамида – четырьмя точками пространственных углов основания, точкой вершины и восемью линиями рёбер и т.д.
Рисование геометрических тел имеет непосредственное практическое значение, так как в своей деятельности архитектор использует формы, близкие, как правило, к геометрическим.
При рисовании натюрморта необходимо соблюдать основные последовательные стадии работы.
1-я стадия – пометка композиционного размещения на листе крайними точками, определении центра размещения изображения с учётом пропорций и перспективы при данной точке зрения.
2-я стадия – прорисовка конструкции лёгкими тонкими линиями по намеченным узловым пунктам с учётом горизонта и точек схода.
3-я стадия – уточнение пропорций и перспективного построения более сильными линиями. Нахождение характерных пунктов собственной и падающей тени.
4-я стадия – решение больших тональных отношений: нанесение собственной тени, падающей тени и определение фона.
5-я стадия – полная тональная проработка всего рисунка: передача отношений в тенях и светах до выявления рефлексов и бликов; нахождение обобщающих тональных отношений для придания цельности рисунку.
Задание
В данной практической работе выполняется рисунок натюрморта, составленный из 3-х геометрических тел на бумаге формата А2.
Порядок работы
Убрать рабочее место.
Контрольные вопросы
Что входит в комплект материалов и принадлежностей на занятиях по учебному рисунку?
Как подготовить рабочее место к началу урока?
Какие основные последовательные стадии необходимо соблюдать при выполнении рисунка?
Практическая работа № 2 – 10 часов.
Тема: «Рисунок натюрморта из 4 – 5 геометрических тел на плоском фоне».
Цели:
Образовательная – освоение и совершенствование навыков работы в рисунке.
Развивающая – развитие глазомера, умение видеть пропорциональные отношения между предметами, мыслить формой и линией.
Воспитательная – воспитывать требовательность к себе, аккуратность, дисциплинированность.
Оборудование:
Бумага (рисовальная или чертёжная бумага типа «ватман»).
Карандаши графитные (средней твёрдости «ТМ», «М» и «2М».
3 Кнопки канцелярские.
Резинка стирательная.
Доска для рисования (размер 45 х 65 см) или специальный мольберт для рисования.
Краткая теория
Задание
В данной практической работе выполняется рисунок натюрморта, составленного из 4 – 5 геометрических тел на бумаге формата А2.
Порядок работы
Подготовить рабочее место (прикрепить лист бумаги при помощи кнопок, разложить карандаши и стирательную резинку).
Выполнить весь рисунок по стадиям (см. раздел «Теория»).
Убрать рабочее место.
Контрольные вопросы
1 Какую роль в строении формы играет его конструкция?
2 Как строить в перспективе простейшие геометрические тела?
Практическая работа № 3 – 8 часов.
Тема: «Комбинаторика геометрических тел. Рисунок по воображению».
Цели:
Образовательная – освоение и совершенствование навыков работы в рисунке.
Развивающая – развитие глазомера, умения видеть пропорциональные отношения между предметами, мыслить формой и линией.
Воспитательная – воспитывать требовательность к себе, аккуратность, дисциплинированность.
Оборудование:
Бумага (рисовальная или чертёжная бумага типа «ватман»).
Карандаши графитные (средней твёрдости «ТМ», «М» и «2М».
3 Кнопки канцелярские.
Резинка стирательная.
Доска для рисования (размер 45 х 65 см) или специальный мольберт для рисования.
Краткая теория
Основные положения теории смотреть в методическом пособии для практической работы № 1 раздел «Теория».
Комбинаторика геометрических тел имеет целью развить у учащегося объёмно-пространственное мышление. Студент должен придумать пространственную композицию и изобразить её в перспективном рисунке . При этом композиция должна изображаться как монолит . В основу рисунка рекомендуются примеры использования архитекторами геометрических форм в практике проектирования архитектурных сооружений, а также формотворчество дизайнеров .
В рисунке надо правильно передать взаимоположение форм и их соотношение . Сначала выполняется эскиз в малом размере, после этого в соответствии с эскизом делается рисунок всей композиции. На листе бумаги помечаются общие размеры изображения, основные объёмы, их сопряжения.
В стадии выявления формы тоном намечаются собственные и падающие тени. После осознанной пометки теней они прокладываются тоном, выявляющим общие светотеневые отношения.
Задание
В данной практической работе выполняется комбинаторика геометрических тел (рисунок по воображению) на бумаге формата А2.
Порядок работы
Подготовить рабочее место (прикрепить лист бумаги, разложить карандаши и резинки).
Выполнить эскиз небольшого размера.
На большом листе пометить общие размеры изображения и основные объёмы.
Наметить сопряжения объёмов.
Наметить и сделать собственные и падающие тени.
Сделать общие светотеневые отношения и обобщить рисунок.
Убрать рабочее место.
Контрольные вопросы
С чего начинается рисунок по воображению?
Какое главное условие изображения композиции?
Практическая работа № 4 – 12 часов.
Тема: «Натюрморт, составленный из предметов домашнего обихода и труда с драпировкой».
Цели:
1 Образовательная – освоение и совершенствование навыков работы в рисунке.
2 Развивающая – развитие глазомера, умения видеть пропорциональные отношения между предметами, мыслить формой и линией.
3 Воспитательная – воспитывать требовательность к себе, аккуратность, дисциплинированность.
Оборудование:
Бумага (рисовальная или чертёжная бумага типа «ватман»).
Карандаши графитные (средней твёрдости «ТМ», «М» и «2М».
Кнопки канцелярские.
Резинка стирательная.
Доска для рисования (размер 45 х 65 см) или специальный мольберт для рисования.
Краткая теория
Основные положения теории смотреть в методическом пособии для практической работы № 1 раздел «Теория».
Принципы и методика рисунка могут осваиваться на таких предметах как посуда и кухонная утварь, т.к. все они имеют в большинстве случаев геометрическую основу конструкции и вместе с тем разнообразны по форме и пластике. Основное внимание следует обращать на конструктивное построение формы , не увлекаясь живописной стороной фактуры и цвета. Рисовать нужно как внешний вид предмета, так и внутренний .
При рисовании сложных предметов, образованных рядом геометрических форм, необходимо проанализировать все составляющие их части и пометить характерные точки линий пересечения или сопряжения. Этот анализ даст возможность точнее определить характер конструкции, правильнее построить перспективу рисунка, учитывая пространственное сокращение форм, видимое с данной точки зрения, сознательно построить элементы светотени.
Задание
В данной практической работе на бумаге формата А2 выполняется рисунок натюрморта, составленного из предметов домашнего обихода и труда с драпировкой.
Порядок работы
Подготовить рабочее место (прикрепить лист бумаги при помощи кнопок, разложить карандаши и стирательную резинку).
Выполнить весь рисунок по стадиям (см. раздел «Теория»).
Убрать рабочее место.
Контрольные вопросы
Какую основу имеют в большинстве случаев предметы домашнего обихода и труда?
На что следует обращать основное внимание при рисовании предметов быта?
Что необходимо анализировать при рисовании сложных по форме и конструкции предметов?
Заключение
Современный архитектор может успешно выполнять своё назначение, если будет обладать всесторонней культурой и широким кругозором. Культура архитектора, его кругозор должны быть тесно связаны с рисунком.
Главная задача архитектора – создание новых форм в натуре, в природе, в трёхмерном измерении, в пространстве – определяет требования и основную манеру учебного рисунка.
Учебный рисунок должен обострять зрение на природу, заставлять сознание рисующего проникать внутрь строения формы, т.е. за внешними проявлениями видеть их более глубокие причины.
Рисунок как учебный предмет требует огромного целенаправленного труда и каждодневных упражнений.
Литература
1 Тихонов С.В. и др.
Рисунок: учебное пособие для ВУЗов /С.В.Тихонов, В.Г.Демьянов, В.Б.Подрезков. – М.: Стройиздат, 1995 – 296 с. илл.
2 Кирцер Ю.М.
Рисунок и живописью: учебное пособие – 2-е издение, переработанное и дополненное. – М.: Высшая школа, 1997
Олимпиадные задачи этого раздела относятся к разнообразным оценкам, связанным с размещениями, покрытиями, упаковками и замощениями, различными комбинациями фигур. Здесь используются самые общие свойства, связанные с расположением фигур на плоскости и в пространстве. Отметим лишь следующие:
Теорема Жордана: любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная делит плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю, причём любой путь из точки внутренней области в точку внешней пересекает эту ломаную, а две точки каждой области можно соединить путём, не пересекающим ломаной.
Выпуклое множество – это множество, которое вместе с каждыми двумя точками содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.
Выпуклая оболочка фигуры – это наименьшее выпуклое множество, содержащее эту фигуру; выпуклая оболочка конечного множества – многоугольник (в пространстве – многогранник) с вершинами в некоторых из данных точек.
Вместе с данной фигурой бывает полезно рассмотреть её r-окрестность : множество точек, наименьшее расстояние от которых до точек фигуры меньше чем r .
Две фигуры (в частности, точки) находятся на расстоянии не меньшем 2r , если и только если их r- окрестности не пересекаются.
Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру F, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры F. При этом покрывающие фигуры могут пересекаться.
Упаковка – это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных.
В некоторых задачах фигура разрезается на меньшие части (например, на две одинаковые), или наоборот, из нескольких данных фигур составляется одна большая. Это – задачи на разрезание или замощение . Замощение является одновременно покрытием и упаковкой.
Задачи с решениями
1. Можно ли покрыть равносторонний треугольник двумя равносторонними треугольниками меньшего размера?
Каждый из меньших треугольников может покрыть только одну вершину большего, но вершин три, а треугольников только два.
Ответ: нельзя.
2. Из пяти данных окружностей любые четыре проходят через одну точку. Докажите, что найдётся точка, через которую проходят все пять окружностей.
1-я, 2-я, 4-я и 5-я окружности проходят через точку А;
1-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку В;
2-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку С.
Мы видим, что все три точки А, В и С не могут быть различными, так как они лежат на 4-й и 5-й окружностях, а две окружности имеют не больше двух точек пересечения. Значит, согласно принципу Дирихле, какие-то две из точек А, В и С совпадают.
Пусть, например, совпадают точки А и В. Тогда все окружности проходят через точку А. Доказательство завершено.
3. На какое наименьшее число неперекрывающихся тетраэдров можно разбить куб?
Легко видеть, что куб можно разбить на 5 тетраэдров. На рисунке это тетраэдры АА"В"D", АВ"ВС, АСDD", В"С"D"С и АСD"В".
Докажем теперь, что на меньшее число тетраэдров разбить куб нельзя. Пусть куб с ребром а разбит на несколько тетраэдров. Имеются, по крайней мере, два из них, основания которых лежат на грани АВСD куба. Точно так же имеются по крайней мере 2 тетраэдра с основаниями на грани А"В"С"D".
Эти тетраэдры заведомо отличны от первых двух, так как у тетраэдра не может быть двух параллельных граней. Итак, у нас уже есть 4 тетраэдра. Их общий объем не больше чем 2а 3 /3, то есть меньше объёма куба. Таким образом, на 4 тетраэдра куб разбить нельзя.
4. На окружности отмечено n точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся (n–1)-звенных ломаных с вершинами в этих точках?
Первую точку можно выбрать n способами. Каждую из следующих n–2 точек можно выбрать двумя способами, так как она должна быть соседней с одной из ранее выбранных точек (иначе получится самопересекающаяся ломаная). Поскольку начало и конец при таком подсчёте не различаются, результат нужно разделить на 2. Следовательно, всего имеется
n·2 n–2 /2 = n·2 n–3
Ответ: n·2 n–3 .
5. а) Выбраны шесть цветов, и требуется раскрасить шесть граней куба в разные цвета. Сколькими различными способами можно это сделать? (Различными считаются те раскраски, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.)
б) Сколькими различными способами можно раскрасить грани додекаэдра в двенадцать цветов?
a) Куб можно повернуть так, чтобы грань, окрашенная первым цветом, заняла заданное положение. Для окраски противоположной ей грани есть пять различных вариантов; разные раскраски противоположной грани дают различные раскраски куба.
Среди оставшихся четырёх граней можно выбрать грань, окрашенную данным цветом, и перевести её в данное положение (не меняя при этом положение первых двух граней). Разные раскраски трёх оставшихся граней дают различные раскраски куба. Одну из этих граней можно окрасить тремя способами, одну из оставшихся – двумя. Всего получаем
5 · 3 · 2 = 30
различных раскрасок.
Ответ: 30 способами.
б) Количество всех возможных раскрасок додекаэдра равно 12! = 1 · 2 · ... · 12. Чтобы найти число различных раскрасок, нужно поделить 12! на число самосовмещений додекаэдра. Любую из 12 граней можно перевести в любую другую. Кроме того, есть пять поворотов (включая тождественный), сохраняющих данную грань. Всего получается 60 самосовмещений. Поэтому количество различных раскрасок додекаэдра равно
12! / 60 = 7983360.
Ответ: 7983360 способами.
6. В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что некоторая прямая пересекает все эти многоугольники.
Спроектируем все многоугольники на некоторую прямую. Проекция каждого многоугольника является отрезком, причём по условию любые два отрезка имеют общую точку. Отсюда следует, что все отрезки имеют общую точку (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть данную прямую как числовую ось и взять наименьший из правых концов этих отрезков). Прямая, перпендикулярная к данной и проходящая через отмеченную точку, пересекает все многоугольники.
7. Каждая точка плоскости окрашена в красный или голубой цвет. Докажите, что найдется прямоугольник, все вершины которого окрашены в один и тот же цвет.
Согласно принципу Дирихле, из семи точек не меньше четырёх должны иметь одинаковый цвет. Выберем из семи точек на прямой p четыре точки Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , окрашенные в один цвет, скажем, в красный. Рассмотрим ещё две прямые q и r, параллельные прямой р, и две четверки точек на них (Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4) и (R 1 , R 2 , R 3 , R 4), полученные ортогональным проектированием выбранной четвёрки на эти прямые. Рассмотрим прямоугольники с вершинами в этих точках и в точках Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 . Теперь, если две из точек, например, Q i и Q j – красные, то все точки прямоугольника Р i Q i Q j Р j также красные. Аналогично и для двух красных точек из R 1 , R 2 , R 3 , R 4 .
Если ни один из этих случаев не имеет места, то некоторые три (или более) точек на прямой q и три (или более) точек на прямой r должны быть голубыми. Но эти тройки голубых точек расположены так, что среди них обязательно найдутся по паре точек, лежащих одна под другой и, таким образом, образующие голубой прямоугольник, откуда и следует утверждение задачи.
Замечание: отметим, что этот результат справедлив для любой области на плоскости, заключённой внутри сколь угодно малой окружности.
8. Через фиксированную точку пространства проводим плоскости так, чтобы разделить пространство на возможно большее число частей. Одна плоскость разделит пространство на две части, две пересекающиеся плоскости – на четыре части, три пересекающиеся в некоторой точке плоскости и не имеющие другой общей точки делят пространство на восемь частей.
а) Какое максимальное число частей можно получить при четырех плоскостях?
б) Какое – при n плоскостях?
Вместо всего пространства будем делить шар, через центр которого проводим плоскости. На поверхности шара (на ограничивающей его сфере) возникнут взаимно пересекающиеся большие окружности. Примем одну из них за экватор и все эти окружности спроектируем из центра шара на плоскость, касательную к шару в полюсе. Проекциями наших окружностей (за исключением одной, являющейся экватором и вовсе ни во что не проектирующейся) будут прямые. Следовательно, нужно вычислить максимальное число областей плоскости, разделенной n–1 прямыми. Методом индукции можно получить (смотрите задачу 9 в разделе ), что оно равно
1 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n–1) = 1 + n(n–1)/2.
Так как на сфере имеется вдвое больше областей, чем на её плоской проекции (помним об экваторе, который присутствует на сфере и отсутствует на плоскости проекции), то искомое число будет вдвое больше вычисленного нами выше, следовательно, оно равно 2 + n(n–1).
В частности, при n = 4 искомым числом является 14.
Ответ: а) 14; б) 2+n(n–1).
9. Имеется несколько квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что такими квадратами всегда можно покрыть квадрат площади 1.
Если покрывать квадрат набором квадратов, сторона каждого из которых уменьшена до ближайшего меньшего числа вида 1/2 k , k = 1, 2, ... , то эти квадраты можно разместить без наложений (смотрите рисунок).
Поскольку площадь каждого квадрата уменьшилась менее чем в 4 раза, то сумма их площадей больше 1, так что они заведомо покроют весь квадрат.
10. Необходимо разделить треугольник на 19 треугольников так, чтобы в каждой вершине полученной фигуры (а также в вершинах большого треугольника) сходилось одинаковое число сторон. Число 19 нельзя заменить большим числом, но можно заменить меньшими числами. Какими же?
Чтобы разделить треугольник на некоторое число треугольников так, чтобы в каждой вершине образованной фигуры сходилось одинаковое число сторон, воспользуемся правильными многогранниками, грани которых являются треугольниками. Это могут быть следующие многогранники: правильные тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, и только они.
Если внутри тетраэдра мы выберем точку, лежащую близко от центра одной из граней, и из этой точки спроектируем рёбра тетраэдра на плоскость, то получим первую фигуру, изображенную на следующем рисунке.
Она состоит из трех треугольников, соответствующих граням тетраэдра; четвертая грань при проектировании перешла в большой треугольник ABC. В каждой вершине фигуры сходятся три стороны, так как в каждой вершине тетраэдра сходятся три ребра.
Подобным же образом, при помощи центральной проекции, получим из правильного октаэдра вторую фигуру на рисунке, состоящую из семи треугольников, в каждой вершине которой сходится четыре стороны, а из правильного икосаэдра – третью фигуру, состоящую из 19 треугольников, в каждой вершине которой сходится пять сторон.
Не существует фигуры, отвечающей условиям задачи и отличающейся от изображенных трёх, так как ей соответствовал бы правильный многогранник, отличающийся от трёх упомянутых выше, а такого не существует.
Итак, возможное число треугольников, меньшее 19 – это 4 и 7.
Задачи без решений
1. На столе лежат 15 журналов, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 7 журналов так, чтобы оставшиеся покрывали не менее 8/15 площади стола.
2. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько имеется различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
3. В выпуклом n-угольнике (n > 3) проведены все диагонали, причём никакие три из них не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.
4. Докажите, что нельзя покрыть всю плоскость сетью треугольников так, чтобы в каждой вершине сходилось пять треугольников.
5. На плоскости проведено n прямых (n > 2), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Докажите, что число окрашенных областей не превосходит n(n+1)/3.
