Урок на тему: "Понятие и определение многочлена. Стандартный вид многочлена"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие по учебнику Ш.А. Алимова
Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.
Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.
Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.
Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.
Понятие многочлена
Многочлен, как и одночлен, - это обобщенное название математических выражений определенного вида. Мы уже сталкивались с такими обобщениями ранее. Например, "сумма", "произведение", "возведение в степень". Когда мы слышим "разность чисел", нам и в голову не придет мысль об умножении или делении. Также и многочлен - это выражение строго определенного вида.Определение многочлена
Многочлен - это сумма одночленов.Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят - многочлен.
Примеры многочленов.
1) 2аb + 4сd (двучлен);
2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);
3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3 ;
3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .
Посмотрим внимательно на последние выражение. По определению, многочлен это - сумма одночленов, но в последнем примере мы не только складываем, но и вычитаем одночлены.
Чтобы внести ясность рассмотрим небольшой пример.
Запишем выражение а + b - с
(договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0
) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с)
, мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".
А вот запись вида 3а: b + 7с многочленом не является потому, что 3а: b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с 2 + d), так как 2а * (с 2 + d) - не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.
Степенью многочлена
является наивысшая степень его членов.
Многочлен а 3 b 2 +а 4 имеет пятую степень, так как степень одночлена а 3 b 2 равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а 4 равна 4.
Стандартный вид многочлена
Многочлен, не имеющий подобных членов и записанный в порядке убывания степеней членов многочлена, является многочленом стандартного вида.Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.
Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b 2 + 3а 2 + 8 .
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных
.
Пример.
Привести многочлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 к стандартному виду.
Решение.
а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14= 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.
Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а 2 b имеет третью степень, 3 х 5 у 2 имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х 5 у 2 (7 степень), на второе - 12а 2 b (3 степень) и на третье - 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х 5 у 2 + 11а 2 b + 14.
Примеры для самостоятельного решения
Привести к стандартному виду многочлены.1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50 * (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);
2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40 * (6а 5 b + 4ху + аb + 5);
3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);
4) 7аbс 2 + 5асbс + 7аb 2 - 6bаb + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).
ЛЕКЦИЯ 7.
Кольцо многочленов от одного неизвестного
Определение многочлена . Из школьного курса известна задача решения уравнения второй степени вида
где
.
Решить уравнение (7.1) – это значит найти
такое значение неизвестного
,
которое при подстановке в уравнение
(предикат
)
(7.1) обращает его в числовое тождество
(в истинное
высказывание
).
Пример 7.1. Найти множество истинности предиката
.
Р е ш е н и е. Рассмотрим тождественное преобразование правой части указанного предиката:
.
Приравнивая последнее выражение к нулю, получаем формулу
,
которая
даёт значения неизвестных, обращающих
предикат
в истинное высказывание. Следовательно,
множество истинности
предиката
в общем случае состоит из двух элементов
,
значения
которых вычисляются через значения
коэффициентов квадратного трёхчлена
.
Выражение
,
стоящее под знаком квадратного корня,
называетсядискриминантом
уравнения
.
Возможны три случая:
1)
– в этом случае множество истинности
предиката состоит из одного действительного
числа
(квадратное уравнение
имеет один вещественный корень);
2)
– в этом случае множество истинности
предиката состоит из двух вещественных
чисел, которые вычисляются по выписанным
выше формулам (квадратное уравнение
имеет два вещественных корня);
3)
– в этом случае множество истинности
предиката состоит из двух комплексно
сопряжённых чисел:
(уравнение
имеет комплексно сопряжённые корни).
В
общем случае мы приходим к задаче решения
уравнения
-
й
степени относительно одного неизвестного
коэффициенты
которого будем считать произвольными
комплексными числами
,
причём старший коэффициент
.
Решить уравнение (7.2) – это значит найти
такие значения неизвестного
,
которые, будучи подставлены в уравнение
(7.2), обращают его в числовое тождество.
Задачу решения уравнения (7.2) заменяют
более общей задачейизучения
левой части этого уравнения
.
Определение
7.1.
Многочленом
,
или
полиномом
степени
от одного неизвестного
(или буквы
)
называется формальное выражение вида
, (7.3)
то
есть формальная алгебраическая сумма
целых неотрицательных степеней
неизвестного
,
взятых с некоторыми, вообще говоря,
комплексными коэффициентами
,
,
,
,
.
Обозначают многочлены различными буквами латинского и греческого алфавитов, как большими , так и малыми.
Степенью
многочлена
(7.3) называется наивысшая степень
неизвестного
,
при которой коэффициент
.
Многочлен
нулевой
степени
– это многочлен, состоящий из одного,
неравного нулю комплексного числа.
Число нуль – это тоже многочлен, степень
которого не определена
.
Степень
многочлена
,
если это необходимо, обозначается нижним
индексом, например
,
или символом
.
Наряду с записью многочленов в форме
(7.3) часто применятся форма записи по
возрастающим степеням
,
то есть
Равенство, сумма и произведение многочленов . Многочлены можно сравнивать и производить над ними действия сложения и умножения.
Определение
7.2.
Два
многочлена
и
считаются
равными
и пишут
в том и только в том случае, если равны
их коэффициенты при одинаковых степенях
неизвестного
.
Никакой
многочлен, хотя бы один коэффициент
которого отличен от нуля, не может быть
равным нулю. Поэтому знак равенства в
записи уравнения
-й
степени не имеет отношения к равенству
многочленов.
В
математическом анализе равенство
многочленов
рассматривается как равенство двух
функций, то есть,
.
Если многочлены равны в смысле определения 7.2, то они равны и в смысле равенства функций. Обратное является следствием сформулированной ниже основной теоремы алгебры многочленов.
Введём две алгебраические операции над многочленами с комплексными (в общем случае) коэффициентами – сложение и умножение .
Определение 7.3. Пусть даны два многочлена
,
,
,
.
Для
определённости положим
.
Суммой
данных многочленов называется многочлен
коэффициенты
которого равны сумме коэффициентов при
одинаковых степенях неизвестного
:
.
Причём,
если
полагают
.
Отметим,
что степень суммы двух многочленов при
равна
,
а при
может оказаться меньше
,
а именно при
.
Определение 7.4. Произведением многочленов
,
,
,
называется многочлен
коэффициенты которого находятся по формуле
,.
(7.4)
Таким
образом, коэффициент произведения двух
многочленов с индексом
равен сумме всевозможных произведений
коэффициентов многочленов
и
,
сумма индексов которых равна
,
а именно:
,
,
,
.
Из
последнего равенства имеем
.
Следовательно,степень
произведения двух многочленов равна
сумме степеней этих многочленов:
По определению полагают, что степень многочлена
.
Мы получили следующий результат.
Лемма
7.1.
Пусть
и
– два многочлена. Тогда их произведение
.
Пример 7.2. Пусть даны два многочлена разной степени, например,
,
.
Тогда их сумма и произведение есть, соответственно:
.
Итак, во множестве многочленов с комплексными коэффициентами введены две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение . Свойства этих операций устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 7.1. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей .
Доказательство
теоремы сводится к проверке аксиом
кольца, и мы его опустим. Отметим только,
что нулём для операции сложения является
число (многочлен)
,
а единицей для операции умножения
является число (многочлен)
.
Кольцо
многочленов обозначают
,
где
– символ поля, над которым определён
многочлен. Таким образом, теорема 7.1
утверждает: множество всех многочленов
с комплексными коэффициентами является
кольцом
.
Делимость
многочленов
.
Многочлен
имеет обратный многочлен
,
в том и только в том случае, если
– многочлен нулевой степени. Действительно,
если
,
то обратный многочлен
.
Если же
,
то степень левой части
при условии, что
существует, должна быть не меньше
,
но правая часть последнего равенства
является многочленом нулевой степени.
Итак,в
кольце многочленов
для операции умножения не существует
обратной операции деления
.
В кольце многочленов, однако, существует
алгоритм
деления с остатком
.
Теорема
7.2.
Для
любых двух многочленов
и
существуют такие многочлены
и
,
что
, (7.5)
где
,
или
.
Представление (7.5) единственно
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
и
.
Представим многочлены
и
в виде
Если
или
,
то положим в (7.5)
,
.
Тогда,
очевидно, (7.5) выполняется. Поэтому
предположим, что
.
Положим:
.
(7.6)
Обозначим
старший коэффициент многочлена
через
.
Очевидно, что
.
Если
,
то положим:
.
(7.7)
Старший
коэффициент многочлена
обозначим
.
Если
,
то опять положим
(7.8)
и
так далее. Степени
многочленов
,
очевидно, убывают. После конечного числа
шагов получим
,
(7.9)
где
или
,
или
.
После этого процесс прекращается.
Складывая равенства (7.6) – (7.9) , получаем
Обозначая
сумму в круглых скобках
,
а
,
получаем (7.5), причём либо
,
либо степень
.
Докажем
единственность (7.5). Пусть
где
или
,
или.
Из (7.5) и (7.11) имеем:
Степень
многочлена в левой части последнего
равенства не меньше степени
,
а степень многочлена в правой части или
нулевая, или меньше степени
.
Поэтому последнее равенство выполняется
лишь при равенств
,
.
Многочлен
в формуле (7.5) называетсячастным
от деления многочлена
на многочлен
,
а многочлен
называетсяостатком
от этого деления. Если
,
то говорят, что многочлен
делится на
многочлен
,
который называютделителем
многочлена
.
Выясним, когда многочлен
делится на многочлен
.
Теорема
7.3.
Многочлен
делится на многочлен
в том и только в том случае, если существует
такой многочлен
,
что
.
(7.12)
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,
если
делится на
,
то в качестве
следует взять частное от деления
на
.
Обратно, пусть многочлен, удовлетворяющий
равенству (7.12), существует. Тогда из
доказанной в теореме 7.1. единственности
многочленов
и
в представлении (7.5) и условия того, что
степень
меньше степени
,
следует, что частное от деления
на
равно
,
а остаток
.
Следствие
из теоремы 7.3.
Если многочлен
и его делитель
имеют рациональные или действительные
коэффициенты, то и частное
также будет иметь рациональные или
действительные коэффициенты.
Пример 7.3. Выполнить деление с остатком многочлена
на
многочлен
.
Р е ш е н и е. Алгоритм деления (7.6) – (7.9) реализуем в форме «деления уголком »:
Итак,
частное
,
остаток
.
Поэтому имеет место представление
следующего вида
которое
можно проверить непосредственным
умножением.
Определение
7.5.
Пусть
и
– два многочлена. Многочлен
называется
наибольшим
общим делителем
(НОД
)
этих многочленов, если он является их
общим делителем и сам делится на любой
другой общий делитель этих многочленов.
НОД
многочленов
и
обозначается.
Сформулируем и докажем теорему, дающую
конструктивный алгоритм нахождения
НОД для любых двух многочленов.
Теорема
7.4 (алгоритм Евклида).
Для любых
двух многочленов
и
существует наибольший общий делитель
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Сначала сформулируем
алгоритм
Евклида
нахождения
,
а потом докажем, что полученный в процессе
реализации этого алгоритма многочлен
является наибольшим общим делителем
двух данных многочленов.
Сначала
делим многочлен
на многочлен
и получаем в общем случае некоторый
остаток
.
Далее делим
на
и получаем остаток
,
делим
на
и получаем остаток
и так далее. В результате таких
последовательных делений мы придём к
остатку
,
на который делится предыдущий остаток
.
Этот остаток и будет наибольшим общим
делителем данных многочленов.
Для доказательства выпишем последовательно цепочку делений:
Последнее
равенство показывает, что
является делителем для
.
Поэтому оба слагаемых в правой части
предпоследнего равенства делятся на
и, следовательно, на
делится и
.
Поднимаясь по цепочке делений вверх,
получим, что
является делителем и для
,
,
,
.
Из второго равенства цепочки видим, что
является делителем и для
и, следовательно, на основании первого
равенства – для
.
Итак,
является общим делителем для
и
.
На этом уроке мы продолжим изучать математические конструкции, которые будут использоваться для решения различных задач, в частности уравнений и неравенств. Мы уже поговорили об одночленах и знаем, что сумма одночленов - это многочлен. Теперь мы поговорим о свойствах многочленов, о том, как приводить их к стандартному виду и выполнять с ними различные арифметические действия.
На прошлом уроке мы ввели новую конструкцию: многочлен - сумма одночленов.
Например,
Зачем нужны многочлены
Мобильный телефон - очень удобное и полезное устройство. С его помощью можно не только звонить и писать СМС, но и сидеть в интернете, социальных сетях, играть в разные игры. В общем, скучным и бесполезным его точно не назовёшь.
А видели ли вы, как производят телефоны? Большой завод, на котором штампуются разные непонятные микросхемы, пластмассовые детали, затем всё это соединяется. В целом и общем - рутинное, однотипное занятие, не всегда даже понятно, зачем та или иная деталь нужна, как она помогает телефону выполнять свои функции.
И это касается не только телефонов. Почти любой полезный результат, который мы наблюдаем, скрывает за собой много рутинной работы. Фигуристы, чтобы показать минут красивой программы, ежедневно по несколько десятков раз выполняют одни и те же упражнения и т. д.
В математике всё то же самое. Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например многочленами.
Терминология
Мы говорим: «многоэтажный дом», потому что в нём «много этажей». Аналогично многочлен - это «много членов».
Например, членами многочлена являются и .
В данном примере два одночлена, в таких случаях многочлен называют двучленом . Если их три - то трехчленом (например, ).
Обратите внимание, что, когда мы называли члены многочлена, мы назвали именно , а не . Поскольку многочлен - это СУММА одночленов, то знак минус относится к числовому коэффициенту одночлена: 
.
Для наглядности можно воспользоваться эквивалентной записью этого же многочлена:
Для удобства классификации одночлены («сумма одного члена») также относят к многочленам. И в этом нет ничего странного. Например, в кафе столик для официанта занят независимо от того, сидит за ним 1 человек или 10. Или заказ для таксиста: не важно, сколько поедут человек: 1, 2, 3 или 4.
Таким образом, для описания структуры многочленов можно использовать следующую иллюстрацию:
Рис. 1. Структура многочленов
В зависимости от задачи число 3 можно представлять различными способами:
Но работать с числами, которые записаны по-разному, неудобно. Поэтому запись в десятичной системе счисления принято считать стандартной (для такой записи есть алгоритмы выполнения арифметических операций, можно сравнивать числа друг с другом и т. д.).
Мы уже вводили стандартный вид для одночленов. Естественно ввести такой стандарт и для многочленов.
Многочлен можно записать разными способами:
Нужно выбрать такой способ записи, чтобы было удобно выполнять различные арифметические операции с многочленами.
Многочлен может содержать в себе подобные одночлены. На прошлом уроке мы уже научились складывать подобные одночлены, поэтому естественно, когда они встречаются в многочлене, их сложить, тем самым упростив многочлен:
Если в многочлене привести (т. е. сложить) все подобные одночлены, а также записать их в стандартном виде, то мы получим многочлен стандартного вида.
Многочлен, который состоит из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида .
Например,
Зачем тренировать технику?
На самом деле, ничего сложного в работе с многочленами (приведение к стандартному виду, арифметические операции с многочленами) нет.
Алгоритмы действий (которые мы в дальнейшем изучим и потренируемся применять) легко программируются, поэтому сегодня всю техническую работу можно поручить компьютеру.
Но мы отрабатываем навыки работы с различными выражениями, чтобы в дальнейшем применять их для решения, например, уравнений, которые возникают при работе над различными прикладными задачами.
Пример 1.
Выбрать среди многочленов те, которые записаны в стандартном виде:
|
|
|
В многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;
- в многочлене содержится одночлен , записанный не в стандартном виде;
В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно 
);
В многочлене не все одночлены подобного вида приведены (а именно ).
Таким образом, многочленами стандартного вида являются:
Ответ: .
Пример 2.
Привести многочлены к стандартному виду:
Итак, мы ввели новый объект - многочлены. Научимся с ними работать, т. е. выполнять арифметические действия.
Степень многочлена
Числа похожи: в них по три цифры. А вот числа и различаются: в одном 5 цифр, в другом - 2. Т. е. числа можно классифицировать по количеству цифр, в них входящих.
Для многочленов, записанных в стандартном виде, можно ввести подобную классификацию - по степени старшего слагаемого. Для этого вводят понятие степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен состоит.
Многочлены, которые тождественно равны 0, называют ноль-многочленами .
Например:
У таких многочленов степени нет.
Пример 1.
Определить степень многочленов:
Многочлен второй степени, т. к. степень одночлена - вторая, а - нулевая;
- многочлен шестой степени, поскольку степень одночлена - это сумма показателей всех переменных, которые в него входят: ;
Многочлен нулевой степени;
Нет степени.
Ответ: 2; 6; 0; нет степени.
Почему говорят именно о степени многочлена стандартного вида? - это многочлен первой степени, а - ?
Если бы в определении степени многочлена не было слова «стандартный», то ответ был бы . Но понятно, что оба этих многочлена эквивалентны, поэтому степень у них должна быть одинакова:
Поэтому говорят именно о степени многочлена стандартного вида (и это ещё один пример пользы введения стандартного вида многочлена).
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит минус?
Вова, Володя, Владимир - разные записи одного и того же имени.
Это сокращённая запись выражения .
Тогда запись - сокращённая запись выражения .
Такое умножение мы можем выполнить, пользуясь распределительным законом:
Т. е. мы получим:
Так можно поступать при раскрытии любых скобок, перед которыми стоит знак минус. Кроме того, можно заметить и запомнить, что в таком случае нужно поменять знак перед каждым слагаемым.
Пример 3.
Упростить выражения:
Вспомним, что если перед скобками стоит знак «», то скобки просто можно опустить, а если знак «», то все слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Запишем распределительный закон:
Пример 4.
Упростить выражения:
Используем распределительный закон.
В разделе узнаете:
Что такое многочлен;
Какой вид многочлена называют стандартным;
Что называют степенью многочлена;
Какие свойства действий с многочленами; формулы сокращенного умножения;
Как раскладывать многочлен на множители;
Как применить изученный материал на практике
§8. МНОГОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Запишем сумму одночлен х 2 , -15ху, 4x 5 в 2 , -3, -5х 5 у 2 . Получили выражение, что содержит пять слагаемых:
х 2 + (-15xy) + (4x 5 y 2) + (-3) + (-5х 5 y 2).
Такое выражение называется многочленом, а каждое слагаемое этой суммы - членом многочлена.
Выражение, которое является суммой нескольких одночлен, называется многочленом.
Является многочленом разница одночлен? Так, поскольку действие вычитание всегда можно заменить действием сложения:
7х - 2 = 7х + (-2).
Задача 1. Можно преобразовать в многочлен выражение:
1)3: (5х 3 - в 2);
2) 3(5х 3 + y 2)?
Решения. 1. Выражение 3: (5х 3 - в 2) не является целым, поскольку содержит деления на выражение с переменными. Поэтому его преобразовать в многочлен нельзя.
2. Выражение 3(5х 3 + в 2) можно преобразовать в сумму одночлен. Раскрыв скобки, получим выражение 15х 3 + 3у 2 , который является многочленом.
Многочлены с двумя и тремя членами имеют собственные названия - двочлен и трехчлен соответственно. Например, 7х + ху - двочлен, а 7х + ху + 2 - трехчлен. Считают, что любой одночлен также является многочленом.
Рассмотрим многочлен х 2 - 15ху + 4х 5 в 2 - 3 - 5х 5 у 2 . Его третий и пятый члены 4х 5 у 2 и -5х 5 у 2 имеют ту же буквенную часть х 5 y 2 . Это подобные члены в многочлены. их можно свести как подобные слагаемые в выражении:
4х 5 в 2 - 5х 5 у 2 = -х 5 у 2 .
После возведения подобных членов данный многочлен содержит не пять, а четыре члена, то есть приобретет более простой вид:
х 2 - 15xy + 4x 5 y 2 - 3 - 5x 5 y 2 = х 2 - 15ху - х 5 в 2 - 3.
В полученном многочлені каждый член является одночленом стандартного вида и не содержит подобных членов. Считают, что такой многочлен записан в стандартном виде.
Обратите внимание:
чтобы возвести многочлен к стандартному виду:
1) подайте каждый член многочлена в стандартном виде;
2) сведите подобные члены многочлена.
Найдем степень каждого члена многочлена х 2 - 15ху - х 5 в 2 - 3. Члены х 2 и -15ху имеют степень 2, член -х 5 у 2 имеет степень 7. Член -3 - это свободный член многочлена. Степень свободного члена многочлена равна нулю. Высочайший степень имеет член -х 5 y 2 . Поэтому его называют старшим членом данного многочлена. Степень многочлена определяют по степени его старшего члена.
Запомните!
Если многочлен представлен в стандартном виде, то степенью этого многочлена называется степень его старшего члена.
Задача 2. Найдите степень многочлена:
1) х 2 - 15ху - х 5 у 2 - 3;
2) х 3 y 2 - x 2 в 3 .
Решения. 1. Старшим членом многочлена х 2 - 15 ху - х 5 в 2 - 3 является член -х 5 у 2 . Его степень равна 7. Поэтому степень многочлена равна 7.
2. Многочлен х 3 у 2 - х 2 у 3 имеет два члены одинакового степени 5. Следовательно, данный многочлен является многочленом пятой степени.
Обратите внимание:
чтобы определить степень многочлена, найдите степень каждого его члена и выясните, какой из них является самым большим.
Найдя степени членов многочлена, его можно упорядочить по степеням членов. Для этого члены многочлена можно разместить, например, в порядке убывания их степеней, начиная запись со старшего члена многочлена и заканчивая его свободным членом, если он является:
х 2 - 15ху - х 5 в 2 - 3 = -х 5 y 2 + х 2 - 15ху - 3.
Узнайте больше
1. Среди многочленов выделяют особые виды многочленов, которые нашли широкое применение в математике.
Симметричный многочлен - многочлен от п переменных (n - натуральное число), что не меняется при любых перестановках переменных. Например: -43ху + х 5 у 2 + х 2 у 5 , х 2 - 9 + в 2 .
Действительно, если в этих многочленах заменить х на у, а у на х, то получим такой же многочлен.
2. В математике пользуются понятием алгебраической суммы, которое объединяет два понятия - «сумма» и «разность». Это связано с тем, что разницу можно представить как сумму: a - b = a + (-b).
Алгебраическая сумма чисел - это числовое выражение, которое содержит лишь сумму (разность) чисел. Например, 2 + 5 - 6 + 7 - 8 - алгебраическая сумма чисел 2, 5, -6, 7, -8.
Многочлен можно определить как алгебраическую сумму одночлен. Например, х 2 - 2х + х 3 - 4 - алгебраическая сумма одночлен х 2 , -2х, х 3 и -4.
3. Митропольский Юрий Алексеевич (1917-2008) - выдающийся математик, академик Национальной академии наук Украины, заслуженный деятель науки УССР, лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники, Герой Украины. Родился в с. Чернишівка Шишацкого р-на Полтавской обл.
С 1951 г. Ю. А. Митропольский работает в Институте математики НАН Украины, с которым связана вся его дальнейшая научная деятельность. Научную работу ученый успешно совмещал с педагогической - на механико-математическом факультете Киевского университета. Он является автором более 750 научных трудов. Среди его учеников 25 докторов и 100 кандидатов физико-математических наук.
ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ
1. Что такое многочлен?
2. Какие члены многочлена называют подобными?
3. Как возвести многочлен к стандартному виду?
4. Член многочлена называют старшим?
5. Что называется степенью многочлена?
6. Как определить степень многочлена?
7. Как упорядочить многочлен по степеням его членов?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
372 . Какое из данных выражений является многочленом:
1) 3а 2 ∙ х 3 ; 3) х 3 + х 12 ; 5)5: х 3 ;
2) 2 - х; 4) 4 3 + (х + 2,5); 6) + 5х?
373 . Назовите одночлен, сумма которых является многочленом:
2)5х 6 + х 6 + х;
3)6х + 4 + х 3 + 2х 2 .
374 . Запишите двочлен, что является суммой одночлен:
1)х 2 и х; 2) 2х и 6; 3)4х и 6х; 4)а 2 и а 3 .
375 . Запишите трехчлен, что является суммой одночлен:
1) х 2 , х и 5; 2) х, 4х и 2х; 3) х 3 , у 3 и z 3 .
376 . Правильно выделено подобные члены многочлена:
1) а 2 + 2х 2 + 2а + 2х + х;
2) а 2 + х 2 + а + х + х;
3) а 2 + х 2 + а + х + х?
377 . В каком случае правильно сведено подобные члены многочлена -х 2 - х + 1 + 2Х 2 + 3Х + 4 + 2Х:
1) -2х 2 - 3х + 5;
2) Х 2 - Х + 5;
3) Х 2 - 5Х + 5;
4) Х 2 + 4Х + 5?
378 . Является старшим членом многочлена х 3 + 5х 2 + 4х + х 5 + 3 выражение:
1) х 3 ; 2) х 6 ; 3)5x 2 ; 4)3; 5)4х?
379
1) х 2 + 3х + х 2 + 2;
2) х ∙ х + 5х + 2;
3) 2х 2 - 2х 3 ;
4) -3х - х 2 ?
380 . Можно свернуть в одночлен многочлен:
1)3 + 4х + 3х; 2)х 2 + х 2 ; 3)3х + 5х + 4х?
381
2)-х - х 9 +10х;
3) 6х - 2 - 2у 2 ;
4) 4 - 3n 3 m + n 2 - 5mn 3 .
382 . Назовите одночлен, которые составляют многочлен:
1)7ас - 9а - 4; 3)-а - 0,6 с - 2с 2 ;
2)6х 12 - х + в; 4)-а 5 с + в 2 - 5с 5 а - 55.
383
2)-2, 3ху,- х 2 и х 5 в 2 ;
3)-5х 8 , -4х 4 и 8.
384 . Запишите многочлен, являющийся суммой одночлен:
1) 4m 2 , mn и -рмп;
2) 0,25 х 2 , -2,8 x 5 и -ху 3 ;
3) -5, с 2 а 3 и с 3 а 2 .
385
1) 6n + 8,2 n - 5,9 n - 0,3 n + 7;
2) х 2 + 3х - 4х 2 + 2х;
3)-ас + а 2 - са + 3а 5 + 2са;
4) 4,5 ху - 6х 4 - 50" height="42" /> ху - 0,4 х 4 у + ху.
386 . Сведите подобные члены многочлена:
1) -5х + 11 х - 4х + 9х;
2)3,8 - 7х 2 + 3,4 - 4х 2 - 3х 2 ;
3)-5m 2 - 5m + 1 + 2m 2 + 9 + 2m;
4) -a 2 + 4с 2 + 3а 2 - с2а 2 + 4а 3 - 2а 2 .
387 . Какой из данных многочленов записаны в стандартном виде:
1)х 2 + 3х + 5х 2 + 2; 3) 2х 2 уz - 2ух 3 z;
2)у 2 + 5у + 2 + х; 4) (-3ху) 2 - х 2 х 3 ?
388
1)хх 2 + у 2 + х 5 + (-0,5 х 5);
2) 100 + p 2 + 1,4 г - 1,2 г 2 + 0,6 г - 28;
3) -4 + 32аb 2 а + аb 2 + 5 - 3аb + а 2 b 2 .
389 . Запишите в стандартном виде многочлен:
1) -ух 2 + хуу + 3х 2 - 8уух;
2) 0,5 b + 8 + (-с) 3 + 3bc - bс - 5 - 6,5 b + 7с 3 .
390 . Правильно, что старшим членом многочлена 81а 3 + 25b 2 + 3а - b 5 есть выражение:
1) 81а 3 ; 2) 25b 2 ; 3) 3; 4) b 5 ; 5) -b 5 ; 6) 81?
391 . Найдите степень многочлена:
3)1 + х + х 2 ;
4)-2 + 7х + 5х 2 .
392 . Найдите степень многочлена:
3)-27 - 27а 7 b 7 + а 8 .
393 . Упорядочите по степеням членов многочлен:
1)2 + 4а + 6а 8 + 1,8 а 5 + За 2 - 2а 10 - а 4 ;
2)ху 2 + 19х 2 + 3ху + 3ху 3 ;
3)1,6 ab + 2b 2 а 2 - 2b 3 a 3 + 3,7;
4)7х 4 + х 5 - х 3 - 10х 2 - 76.
394 . Дан многочлен 2xy - 3х - ху 2 - 8x 4 y + 5. Запишите:
2) свободный член многочлена;
3) степень многочлена;
395 . Дан многочлен -9 + m + 3mn 5 - m 2 - 8mn 6 . Запишите:
1) одночлен, которые составляют многочлен;
2) свободный член многочлена;
3) степень многочлена;
4) многочлен, упорядочив по степеням его члены.
396 . Сведите подобные члены многочлена:
1) 7 х 2 + 7х - 2 - 4ух 2 + 4ху 2 + ху - х 2 у;
2) 10a 2 - 7а - 3b 2 - 3a + (-4а) - 21 а 2 - 4а + 2,1 b 2 - 2 + (-5а 2);
3) 14m - 3n 3 - 2m - Зп 2 - 54m + 4n 3 + (-n) 3 - n 3 + m 2 + 3n 2 .
397 . Упростите многочлен -0,5 b - 4a 3 b 2 + (2b) 2 a 3 + b + a + (-0,5) 2 b) и найдите значение полученного выражения, если:
1) a = 2, b = -;
2)a =-0,4, b = -1.
398 . Запишите в стандартном виде многочлен:
1)-(yz) 2 + xy 2 + x 10 x - уух;
2) (а 2) 4 + 0,3(а 2) 3 + 5(а 4) 2 + 0,7 (а 2) 3 - а 6 ;
3) в 121,1 y - 6((-в) 4) 3 - (y 2) 5 (y - 3) 5 - (-11у) 2 + (в 6 в 5) 2 y 3 ;
4) 5 (х 2) 2 + (х 3 х 5 а 2) - 0,4 х 4 + (-0,125 х 10) + 81;
5) 4у 2 y 6 + 4 + (-2 3) 2 ((-0,5 y) 3) 3 - (2у 2) 4 .
399 . Запишите в стандартном виде многочлен:
1) 10,1(2) 2 + 6,9 ху 2 + у 8 + (-0,125 уу 7);
2) (3k 8) 3 - 0,01(2k 3 k) 6 - k 3 - 1,2 k 2 + 0,6 kkk;
3) -а 2 b 6 + (-3а) 3 + (-0,4 b 2 а 2)2b 2 - b - 2,4 b + 3а 3 ;
4) -х(0,3 ух) 2 + 32ху 2 + х 10 ху 2 - 18уух;
5) 0,4 zxy 2 z + (-3ху) 2 - х 2 х 3 - 1,5 z 2 (- х)(-у) 2 + х 5 .
Который степень полученного многочлена?
400 . Определите знак старшего члена многочлена:
Х(-в) 3 + хх + (-z) 5 (-в) 8 - 0,5 уху 2 - 0,5 + (-yz) 5 (-y) 3 + (-х) 2 .
401 . Упростите выражение 0,24 х 4 в 16 + z 2 x 4 уz 7 + 2хz 2 x 4 y 2 - 0,03(8) 2 (2х - 2) 3 - 0,8(zyx 2) 2 - z 9 в(-х 2) 2 и упорядочите полученный многочлен по степеням его членов.
402 . Упростите выражение х (x 2) 5 - 6((-х) 4) 3 - (х 2) 5 (-х 3) 5 - (-10х) 3 + ((х 3) 5 х 2 х 4) 2 - х 25 и разместите полученный многочлен по степеням его членов.
403 . Запишите сумму одночлен -2,6, 3ху 2 , х 8 , х 2 , 100х 3 y 2 , -2х 8 , 4х 4 в 2 и x 8 . Упорядочите многочлен по степеням его членов. Который степень полученного многочлена?
404 . Сколько разных двочленів и тричленів можно образовать из одночлен 10а 3 с, 6 ху, а 3 и 7?
405 . Подайте многочлен 5х 2 - х + 6у виде суммы четырех одночлен, один из которых равен:
1) 5х; 2) 6х; 3) 10.
406 . Подайте многочлен х 2 + 3х - 10 в виде суммы четырех одночлен, один из которых равен:
1) 2х; 2) х; 3) 3.
407 . Сколько многочленов, которые в стандартном виде состоят из шести членов, можно образовать добавлением одночлен 10а 3 , b, 6ху, -10ас, 10а, -3bс и 5? Запишите эти многочлены.
408 . Дан одночлен: 10а, 6ху, а 3 и 5. Образуйте многочлен, старший член которого равен:
1) 10а; 2) 6ху; 3) 5; 4) а 3 .
409 . Дан одночлен: 10х 2 в 4 , 6ху, 0,02 х 3 , -10в, 4,5 х 2 у 2 , -5,4, а, и 3х 4 . Образуйте многочлен, степень которого равна:
1) 7; 2) 6; 3)4; 4)3; 5)1; 6) 0.
410 . Найдите сумму двух чисел, одно из которых равно k % числа 48, а вторых - d% числа 100.
411 . Найдите сумму двух чисел, одно из которых равно 40 % числа А, а второе - 20 % числа d.
412 . Расстояние от Киева до Харькова на 329 км больше расстояние а км от Киева до Чернигова. Составьте выражение для нахождения длины пути Чернигов - Киев - Харьков. Выясните, какое расстояние между городами Киев и Чернигов, и вычислите значение составленного выражения.
413 . Каждая сторона шестиугольника равна а. Одну его сторону увеличили в 2 раза, вторую - в 3 раза, третью - в 4 раза и т. д. Найдите периметр получившегося шестиугольника.
414 . Стороны а и с прямоугольника уменьшили соответственно на 10 % и на 20 %. Найдите периметр полученного прямоугольника. Ответ запишите в виде многочлена.
415 . Упростите выражение:
1) (2b ∙ 3b n ba n) 2 + (-4b) 3 (b 2)n ∙ a 2 n b + a 2 b 3 n;
2) a n+3 a n+2 + b 3 a n+2 + b 
3) (-1) n (a n) n + (а n) n + 1;
4)(-2b 2) n (0,125 а 2) n (2с) 2 n + (аbс) 2 n .
Найдите степень многочлена, в который превратится данное выражение после упрощения.
416 . Сколько различных многочленов стандартного вида можно образовать из одночлен 10а 3 , 6ху, а 3 и -z 9 ?
417 . Упростите выражение (bа 5) 2 n + ba 6 a 1 0 + а 2 b 8 а 8 n а 4 n - b(а 8) 2 + b 3 n b n c 3 a 8 n с 2 и упорядочите полученный многочлен по степеням его членов.
ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ
418 . Начальную цену а грн за 1 кг крупы снизили на 10 %, а начальную цену b грн за 1 кг сахара снизили на 5 %. На сколько уменьшится общая стоимость 4 кг сахара и 8 кг крупы после скидки? По условию задачи составьте выражение, упростите его и вычислите, если а = 12, b= 10.
419 . На первую клеточку шахматной доски положили k зернышек, на вторую - в k раз больше, чем на первую, на третью - в k раз больше, чем на вторую и т. д. Сколько зернышек будет на: 1) шести ячейках; 2) десяти ячейках? Ответ запишите в виде многочлена.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
420 . Преобразуйте в десятичную дробь:
1) ; 2) 2 ; 3) ; 4) 1.
421 . Маша задумала некоторое число, которое сначала увеличила на 2 , а потом еще в 3 раза. В результате получила 6 . Какое число задумала Маша?
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
