Какой точке касательная перпендикулярна прямой. Касательная как предельное положение секущей. Касательная к гиперболе

Вспомним случаи взаимного расположения прямой и окружности.

Задана окружность с центром О и радиусом r. Прямая Р, расстояние от центра до прямой, то есть перпендикуляр ОМ, равна d.

Случай 1 - расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:

Мы доказали, что в случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, прямая и окружность имеют только две общие точки (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к случаю 1

Случай второй - расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности:

Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к случаю 2

Случай 3 - расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:

Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к случаю 3

На данном уроке нас интересует второй случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Определение:

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности, общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая р - касательная, точка А - точка касания (рис. 4).

Рис. 4. Касательная

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

От противного - пусть ОА не перпендикулярно прямой р. В таком случае, опустим из точки О перпендикуляр на прямую р, который будет расстоянием от центра окружности до прямой:

Из прямоугольного треугольника можем сказать, что гипотенуза ОН меньше катета ОА, то есть , прямая и окружность имеют две общие точки, прямая р является секущей. Таким образом, мы получили противоречие, а, значит, теорема доказана.

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Справедлива и обратная теорема.

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство:

Поскольку прямая перпендикулярна радиусу, то расстояние ОА - это расстояние от прямой до центра окружности и оно равно радиусу: . То есть , а в этом случае, как мы ранее доказывали, у прямой и окружности единственная общая точка - это точка А, таким образом, прямая р является касательной к окружности по определению (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Прямую и обратную теоремы можно объединить следующим образом (рис. 8):

Задана окружность с центром О, прямая р, радиус ОА

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Теорема:

Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей.

Данная теорема означает, что если прямая является касательной, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей, и наоборот, из перпендикулярности ОА и р следует, что р - касательная, то есть, прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Рассмотрим две касательные, проведенные из одной точки к окружности.

Теорема:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проведенной через эту точку и центр окружности.

Задана окружность, центр О, точка А вне окружности. Из точки А проведены две касательные, точки В и С - точки касания. Требуется доказать, что и что равны углы 3 и 4.

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Доказательство основано на равенстве треугольников . Объясним равенство треугольников. Они являются прямоугольными, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, углы и прямые и равны по . Катеты ОВ и ОС равны, так как являются радиусом окружности. Гипотенуза АО - общая.

Таким образом, треугольники равны по равенству катета и гипотенузы. Отсюда очевидно, что катеты АВ и АС также равны. Также углы, лежащие напротив равных сторон, равны, значит, равны углы и , .

Теорема доказана.

Итак, мы познакомились с понятием касательной к окружности, на следующем уроке мы рассмотрим градусную меру дуги окружности.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. - М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Домашнее задание

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 634-637, с. 168.

Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.

Вспомним случаи взаимного расположения прямой и окружности.

Случай 1 - расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:

Рис. 1. Иллюстрация к случаю 1

Случай второй - расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности:

Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к случаю 2

Случай 3 - расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:

Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к случаю 3

На данном уроке нас интересует второй случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Определение:

Прямая р - касательная, точка А - точка касания (рис. 4).

Рис. 4. Касательная

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Справедлива и обратная теорема.

Теорема:

Доказательство:

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Прямую и обратную теоремы можно объединить следующим образом (рис. 8):

Задана окружность с центром О, прямая р, радиус ОА

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Теорема:

Рассмотрим две касательные, проведенные из одной точки к окружности.

Теорема:

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Теорема доказана.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. - М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Домашнее задание

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 634-637, с. 168.

$f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ определена в некоторой окрестности точки $x_0\in \mathbb{R}$ , и дифференцируема в ней: $f \in \mathcal{D}(x_0)$ . Касательной прямой к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется график линейной функции , задаваемый уравнением $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}$ .

Если функция

f

имеет в точке

x_0

бесконечную производную

f"(x_0) = \pm \infty,

то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

x = x_0.

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x_0,f(x_0))$ . Угол $\alpha$ между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha = f"(x_0)= k,$

где $\operatorname{tg}$ обозначает тангенс , а $\operatorname {k}$ - коэффициент наклона касательной. Производная в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f\colon U(x_0) \to \R$ и $x_1 \in U(x_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x_0,f(x_0))$ и $(x_1,f(x_1))$ задаётся уравнением

$y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).$

Эта прямая проходит через точку $(x_0,f(x_0))$ для любого $x_1\in U(x_0),$ и её угол наклона $\alpha(x_1)$ удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

В силу существования производной функции $f$ в точке $x_0,$ переходя к пределу при $x_1 \to x_0,$ получаем, что существует предел

$\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\alpha = \operatorname{arctg}\,f"(x_0).$

Прямая, проходящая через точку $(x_0,f(x_0))$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\operatorname{tg}\,\alpha = f"(x_0),$ задаётся уравнением касательной:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Касательная к окружности

Прямая , имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания.
Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens - «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

Если существует правая производная $f"_+(x_0) < \infty,$ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

Если существует левая производная $f"_-(x_0) < \infty,$ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Если существует бесконечная правая производная $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ в точке $x_0$ называется луч

x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).

Если существует бесконечная левая производная $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).

См. также

Нормаль , бинормаль

Напишите отзыв о статье "Касательная прямая"

Литература

Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. - Физматкнига, 2012. - ISBN 9785891552135 .
// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Отрывок, характеризующий Касательная прямая

– По местам! – крикнул молоденький офицер на собравшихся вокруг Пьера солдат. Молоденький офицер этот, видимо, исполнял свою должность в первый или во второй раз и потому с особенной отчетливостью и форменностью обращался и с солдатами и с начальником.
Перекатная пальба пушек и ружей усиливалась по всему полю, в особенности влево, там, где были флеши Багратиона, но из за дыма выстрелов с того места, где был Пьер, нельзя было почти ничего видеть. Притом, наблюдения за тем, как бы семейным (отделенным от всех других) кружком людей, находившихся на батарее, поглощали все внимание Пьера. Первое его бессознательно радостное возбуждение, произведенное видом и звуками поля сражения, заменилось теперь, в особенности после вида этого одиноко лежащего солдата на лугу, другим чувством. Сидя теперь на откосе канавы, он наблюдал окружавшие его лица.
К десяти часам уже человек двадцать унесли с батареи; два орудия были разбиты, чаще и чаще на батарею попадали снаряды и залетали, жужжа и свистя, дальние пули. Но люди, бывшие на батарее, как будто не замечали этого; со всех сторон слышался веселый говор и шутки.
– Чиненка! – кричал солдат на приближающуюся, летевшую со свистом гранату. – Не сюда! К пехотным! – с хохотом прибавлял другой, заметив, что граната перелетела и попала в ряды прикрытия.
– Что, знакомая? – смеялся другой солдат на присевшего мужика под пролетевшим ядром.
Несколько солдат собрались у вала, разглядывая то, что делалось впереди.
– И цепь сняли, видишь, назад прошли, – говорили они, указывая через вал.
– Свое дело гляди, – крикнул на них старый унтер офицер. – Назад прошли, значит, назади дело есть. – И унтер офицер, взяв за плечо одного из солдат, толкнул его коленкой. Послышался хохот.
– К пятому орудию накатывай! – кричали с одной стороны.
– Разом, дружнее, по бурлацки, – слышались веселые крики переменявших пушку.
– Ай, нашему барину чуть шляпку не сбила, – показывая зубы, смеялся на Пьера краснорожий шутник. – Эх, нескладная, – укоризненно прибавил он на ядро, попавшее в колесо и ногу человека.
– Ну вы, лисицы! – смеялся другой на изгибающихся ополченцев, входивших на батарею за раненым.
– Аль не вкусна каша? Ах, вороны, заколянились! – кричали на ополченцев, замявшихся перед солдатом с оторванной ногой.
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.