1156, , 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
| _0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0_ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1_ | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2_ | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3_ | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4_ | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5_ | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6_ | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7_ | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8_ | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9_ | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Представления и свойства
Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел :
1:
2:
...
7:
...
Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
Пример:
1:
2:
...
4:
...
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
Единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:
- Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
- Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей.
- Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
- Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
Геометрическое представление
| 1 | |
|---|---|
| 4 | |
|---|---|
| |
|
| 9 | |
|---|---|
| |
|
| 16 | |
|---|---|
| |
|
| 25 | |
|---|---|
| |
по математике . Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Полный квадрат
Каратаев замолчал, радостно улыбаясь, глядя на огонь, и поправил поленья.– Старичок и говорит: бог, мол, тебя простит, а мы все, говорит, богу грешны, я за свои грехи страдаю. Сам заплакал горючьми слезьми. Что же думаешь, соколик, – все светлее и светлее сияя восторженной улыбкой, говорил Каратаев, как будто в том, что он имел теперь рассказать, заключалась главная прелесть и все значение рассказа, – что же думаешь, соколик, объявился этот убийца самый по начальству. Я, говорит, шесть душ загубил (большой злодей был), но всего мне жальче старичка этого. Пускай же он на меня не плачется. Объявился: списали, послали бумагу, как следовает. Место дальнее, пока суд да дело, пока все бумаги списали как должно, по начальствам, значит. До царя доходило. Пока что, пришел царский указ: выпустить купца, дать ему награждения, сколько там присудили. Пришла бумага, стали старичка разыскивать. Где такой старичок безвинно напрасно страдал? От царя бумага вышла. Стали искать. – Нижняя челюсть Каратаева дрогнула. – А его уж бог простил – помер. Так то, соколик, – закончил Каратаев и долго, молча улыбаясь, смотрел перед собой.
Не самый рассказ этот, но таинственный смысл его, та восторженная радость, которая сияла в лице Каратаева при этом рассказе, таинственное значение этой радости, это то смутно и радостно наполняло теперь душу Пьера.
– A vos places! [По местам!] – вдруг закричал голос.
Между пленными и конвойными произошло радостное смятение и ожидание чего то счастливого и торжественного. Со всех сторон послышались крики команды, и с левой стороны, рысью объезжая пленных, показались кавалеристы, хорошо одетые, на хороших лошадях. На всех лицах было выражение напряженности, которая бывает у людей при близости высших властей. Пленные сбились в кучу, их столкнули с дороги; конвойные построились.
– L"Empereur! L"Empereur! Le marechal! Le duc! [Император! Император! Маршал! Герцог!] – и только что проехали сытые конвойные, как прогремела карета цугом, на серых лошадях. Пьер мельком увидал спокойное, красивое, толстое и белое лицо человека в треугольной шляпе. Это был один из маршалов. Взгляд маршала обратился на крупную, заметную фигуру Пьера, и в том выражении, с которым маршал этот нахмурился и отвернул лицо, Пьеру показалось сострадание и желание скрыть его.
Генерал, который вел депо, с красным испуганным лицом, погоняя свою худую лошадь, скакал за каретой. Несколько офицеров сошлось вместе, солдаты окружили их. У всех были взволнованно напряженные лица.
– Qu"est ce qu"il a dit? Qu"est ce qu"il a dit?.. [Что он сказал? Что? Что?..] – слышал Пьер.
Во время проезда маршала пленные сбились в кучу, и Пьер увидал Каратаева, которого он не видал еще в нынешнее утро. Каратаев в своей шинельке сидел, прислонившись к березе. В лице его, кроме выражения вчерашнего радостного умиления при рассказе о безвинном страдании купца, светилось еще выражение тихой торжественности.
Каратаев смотрел на Пьера своими добрыми, круглыми глазами, подернутыми теперь слезою, и, видимо, подзывал его к себе, хотел сказать что то. Но Пьеру слишком страшно было за себя. Он сделал так, как будто не видал его взгляда, и поспешно отошел.
Когда пленные опять тронулись, Пьер оглянулся назад. Каратаев сидел на краю дороги, у березы; и два француза что то говорили над ним. Пьер не оглядывался больше. Он шел, прихрамывая, в гору.
Сзади, с того места, где сидел Каратаев, послышался выстрел. Пьер слышал явственно этот выстрел, но в то же мгновение, как он услыхал его, Пьер вспомнил, что он не кончил еще начатое перед проездом маршала вычисление о том, сколько переходов оставалось до Смоленска. И он стал считать. Два французские солдата, из которых один держал в руке снятое, дымящееся ружье, пробежали мимо Пьера. Они оба были бледны, и в выражении их лиц – один из них робко взглянул на Пьера – было что то похожее на то, что он видел в молодом солдате на казни. Пьер посмотрел на солдата и вспомнил о том, как этот солдат третьего дня сжег, высушивая на костре, свою рубаху и как смеялись над ним.
Собака завыла сзади, с того места, где сидел Каратаев. «Экая дура, о чем она воет?» – подумал Пьер.
Солдаты товарищи, шедшие рядом с Пьером, не оглядывались, так же как и он, на то место, с которого послышался выстрел и потом вой собаки; но строгое выражение лежало на всех лицах.
Депо, и пленные, и обоз маршала остановились в деревне Шамшеве. Все сбилось в кучу у костров. Пьер подошел к костру, поел жареного лошадиного мяса, лег спиной к огню и тотчас же заснул. Он спал опять тем же сном, каким он спал в Можайске после Бородина.
Опять события действительности соединялись с сновидениями, и опять кто то, сам ли он или кто другой, говорил ему мысли, и даже те же мысли, которые ему говорились в Можайске.
«Жизнь есть всё. Жизнь есть бог. Все перемещается и движется, и это движение есть бог. И пока есть жизнь, есть наслаждение самосознания божества. Любить жизнь, любить бога. Труднее и блаженнее всего любить эту жизнь в своих страданиях, в безвинности страданий».
«Каратаев» – вспомнилось Пьеру.
И вдруг Пьеру представился, как живой, давно забытый, кроткий старичок учитель, который в Швейцарии преподавал Пьеру географию. «Постой», – сказал старичок. И он показал Пьеру глобус. Глобус этот был живой, колеблющийся шар, не имеющий размеров. Вся поверхность шара состояла из капель, плотно сжатых между собой. И капли эти все двигались, перемещались и то сливались из нескольких в одну, то из одной разделялись на многие. Каждая капля стремилась разлиться, захватить наибольшее пространство, но другие, стремясь к тому же, сжимали ее, иногда уничтожали, иногда сливались с нею.
– Вот жизнь, – сказал старичок учитель.
«Как это просто и ясно, – подумал Пьер. – Как я мог не знать этого прежде».
– В середине бог, и каждая капля стремится расшириться, чтобы в наибольших размерах отражать его. И растет, сливается, и сжимается, и уничтожается на поверхности, уходит в глубину и опять всплывает. Вот он, Каратаев, вот разлился и исчез. – Vous avez compris, mon enfant, [Понимаешь ты.] – сказал учитель.
– Vous avez compris, sacre nom, [Понимаешь ты, черт тебя дери.] – закричал голос, и Пьер проснулся.
Он приподнялся и сел. У костра, присев на корточках, сидел француз, только что оттолкнувший русского солдата, и жарил надетое на шомпол мясо. Жилистые, засученные, обросшие волосами, красные руки с короткими пальцами ловко поворачивали шомпол. Коричневое мрачное лицо с насупленными бровями ясно виднелось в свете угольев.
Определение
Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c - произвольные числа, причём a ≠ 0 .
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 - 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = (x - 2) 2 , поэтому x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена» .
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .
Заметим, что 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 - 12 x + 5 .
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Теперь применяем формулу a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаем: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .
Разложите на множители квадратный трёхчлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 · 3 x · 2 .
Прибавляем к выражению 9 x 2 - 12 x слагаемое 2 2 , получаем:
3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 - 14 x - 5 .
Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - x + 3 . Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена - 16 2 + 8 x + 6 .
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.
Заметим, что знаменатель дроби x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3) .
Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x - 3) получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен x 4 - 13 x 2 + 36 на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.
Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:
Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:
Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.
Итак, вынесем общий множитель за скобки:
;
Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.
Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:
Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:
Вынесем общие множители в группах:
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:
;
Распишем выражение подробно:
Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:
Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:
Формула квадрата суммы(разности);
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:
Распишем выражение:
Итак, первое выражение это , а второе .
Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:
Свернем полный квадрат суммы:
Преобразуем полученное выражение:
Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:
Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 - разложить на множители:
Найдем выражения, которые стоят в квадрате:
Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:
Прибавим и отнимем удвоенное произведение:
Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::
Распишем по формуле разности квадратов:
Пример 2 - решить уравнение:
;
В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :
У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:
Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:
Применим формулу разности квадратов:
Итак, имеем уравнение 
Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
Ответ: или
;
Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.
x называ-
1.2.3. Использование тождеств сокращенного умножения
Пример. Разложить на множители x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Разложение многочлена на множители с помощью его корней
Теорема. Пусть многочлен P x имеет кореньx 1 . Тогда этот многочлен можно разложить на множители следующим образом:P x x x 1 S x , гдеS x – некоторый многочлен, степень которого на единицу меньше
значения поочередно в выражение для P x .Получим, что приx 2 вы-
ражение обратится в 0, то есть P 2 0 , что значитx 2 – корень много-
члена. Разделим многочлен P x наx 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x 2412x 24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x3 x4
1.3. Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде a b 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
Квадратным трехчленом относительно переменной величины ется выражение вида
ax 2 bx c , гдеa ,b иc – заданные числа, причемa 0 . | |||||||||||||
Преобразуем квадратный трехчлен ax 2 bx c следующим образом. | x 2 : |
||||||||||||
коэффициент | |||||||||||||
Затем выражение b x представим в виде 2b x (удвоенное произведение
x ):a x | ||||||||||||||||
К выражению, стоящему в скобках прибавим и вычтем из него число
являющееся квадратом числа | В результате получим: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечая теперь, что | Получим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Выделить полный квадрат. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 2 4x 5 2x 2 2x 5 | 2 x 2 2x 1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 a 2,
1.4. Многочлены от нескольких переменных
Многочлены от нескольких переменных, как и многочлены от одной переменной можно складывать, умножать и возводить в натуральную степень.
Важным тождественным преобразованием многочлена от нескольких переменных является разложение на множители. Здесь применяются такие приемы разложения на множители, как вынесение общего множителя за скобку, группировка, использование тождеств сокращенного умножения, выделение полного квадрата, введение вспомогательных переменных.
1. Разложить на множители многочлен P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. Разложить на множители P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Применим способ группировки
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4 x3 y5 x z.
3. Разложить на множители P x ,y x 4 4y 4 . Выделим полный квадрат:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Свойства степени с любым рациональным показателем
Степень с любым рациональным показателем обладает свойствами:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1 , |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
где a 0;b 0;r 1 ;r 2 – произвольные рациональные числа.
1. Выполнить умножение 8 | x 3 12x 7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 x 23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Разложить на множители | a 2x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Упражнения для самостоятельного выполнения
1. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения. 1) a 52 ;
2) 3 a 72 ;
3) a nb n2 .
4) 1 x 3 ;
3 y 3 ; | |||||
7) 8 a 2 8a 2 ;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) a 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Вычислить, используя тождества сокращенного умножения:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Доказать тождества:
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Разложить на множители следующие многочлены:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48;
14) 15 ax 3 45ax 2 45ax 15a ;
15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Вычислить наиболее простым способом:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Найти частное и остаток от деления многочлена P x на многочленQ x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .
7. Доказать, что многочлен x 2 2x 2 не имеет действительных корней.
8. Найти корни многочлена:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Разложить на множители:
1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Решить уравнения, выделяя полный квадрат:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Найти значения выражений:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Вычислить:
