Не все школьники, а тем более взрослые, знают, что теорема косинусов напрямую связана с теоремой Пифагора. Точнее сказать, последняя является частным случаем первой. Этот момент, а также два способа доказательства теоремы косинусов помогут стать более знающим человеком. К тому же практика в выражении величин из исходных выражений хорошо развивает логическое мышление. Длинная формула изучаемой теоремы обязательно заставит потрудиться и посовершенствоваться.
Начало разговора: введение обозначений
Эта теорема формулируется и доказывается для произвольного треугольника. Поэтому ею можно воспользоваться всегда, в любой ситуации, если даны две стороны, а в некоторых случаях три, и угол, причем необязательно между ними. Каким бы ни был вид треугольника, теорема сработает всегда.
А теперь про обозначение величин во всех выражениях. Лучше сразу договориться, чтобы потом несколько раз не пояснять. Для этого составлена следующая таблица.
Формулировка и математическая запись
Итак, формулируется теорема косинусов следующим образом:
Квадрат стороны любого треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих же сторон на косинус угла, лежащего между ними.
Конечно, оно длинное, но если понять его суть, то запомнить будет просто. Можно даже представлять себе чертеж треугольника. Наглядно всегда проще запоминать.
Формула же этой теоремы будет выглядеть так:
Немного длинно, но все логично. Если немного внимательнее посмотреть, то можно увидеть, что буквы повторяются, значит, и запомнить ее несложно.
Распространенное доказательство теоремы
Поскольку она справедлива для всех треугольников, то можно выбрать для рассуждений любой из видов. Пусть это будет фигура со всеми острыми углами. Рассмотрим произвольный остроугольный треугольник, у которого угол С больше, чем угол В. Из вершины с этим большим углом нужно опустить перпендикуляр на противоположную сторону. Проведенная высота разделит треугольник на два прямоугольных. Это потребуется для доказательства.
Сторона окажется разделенной на два отрезка: х, у. Их нужно выразить через известные величины. Та часть, которая окажется в треугольнике с гипотенузой, равной в, выразится через запись:
х = в * cos А.
Другая будет равна такой разности:
у = с - в * cos А.
Теперь нужно записать теорему Пифагора для двух получившихся в результате построения прямоугольных треугольников, принимая за неизвестную величину высоту. Эти формулы будут выглядеть так:
н 2 = в 2 - (в * cos А) 2 ,
н 2 = а 2 - (с - в * cos А) 2 .
В этих равенствах стоят одинаковые выражения слева. Значит, их правые части тоже будут равны. Это просто записать. Теперь нужно раскрыть скобки:
в 2 - в 2 * (cos А) 2 = а 2 - с 2 + 2 с * в * cos А - в 2 * (cos А) 2 .
Если здесь выполнить перенос и приведение подобных слагаемых, то получится начальная формула, которая записана после формулировки, то есть теорема косинусов. Доказательство закончено.
Доказательство теоремы через векторы
Оно гораздо короче предыдущего. И если знать свойства векторов, то теорема косинусов для треугольника будет доказана просто.
Если стороны а, в, с обозначить соответственно векторами ВС, АС и АВ, то справедливо равенство:
ВС = АС - АВ.
Теперь нужно выполнить некоторые действия. Первое из них — это возведение в квадрат обеих частей равенства:
ВС 2 = АС 2 + АВ 2 - 2 АС * АВ.
Потом равенство нужно переписать в скалярном виде, учитывая то, что произведение векторов равно косинусу угла между ними на их скалярные значения:
ВС 2 = АС 2 + АВ 2 - 2 АС * АВ * cos А.
Осталось только вернуться к старым обозначениям, и снова получится теорема косинусов:
а 2 = в 2 + с 2 - 2 * в * с * cos А.
Формулы для других сторон и всех углов
Чтобы найти сторону, из теоремы косинусов нужно извлечь квадратный корень. Формула для квадратов одной из других сторон будет выглядеть так:
с 2 = а 2 + в 2 - 2 * а * в * cos C.
Чтобы записать выражение для квадрата стороны в , нужно в предыдущем равенстве заменить с на в , и наоборот, и под косинусом поставить угол В.
Из основной формулы теоремы можно выразить значение косинуса угла А:
cos А = (в 2 + с 2 - а 2) / (2 в * с).
Аналогично выводятся формулы для других углов. Это хорошая практика, поэтому можно попробовать написать их самостоятельно.
Естественно, что запоминать эти формулы нет необходимости. Достаточно понимания теоремы и умения вывести эти выражения из ее основной записи.
Исходная формула теоремы дает возможность найти сторону, если угол лежит не между двумя известными. К примеру, нужно найти в , когда даны величины: а, с, А . Или неизвестна с , зато есть значения а, в, А .
В этой ситуации нужно перенести все слагаемые формулы в левую сторону. Получится такое равенство:
с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.
Перепишем его немного в другом виде:
с 2 - (2 * в * cos А) * с + (в 2 - а 2) = 0.
Можно легко увидеть квадратное уравнение. В нем неизвестная величина - с , а все остальные даны. Поэтому его достаточно решить с помощью дискриминанта. Так будет найдена неизвестная сторона.
Аналогично получается формула для второй стороны:
в 2 - (2 * с * cos А) * в + (с 2 - а 2) = 0.
Из других выражений такие формулы тоже легко получить самостоятельно.
Как без вычисления косинуса узнать вид угла?
Если внимательно посмотреть на формулу косинуса угла, выведенную ранее, то можно заметить следующее:
- знаменатель дроби - всегда положительное число, потому что в нем стоит произведение сторон, которые не могут быть отрицательными;
- значение угла будет зависеть от знака числителя.
Угол А будет:
- острым в ситуации, когда числитель больше нуля;
- тупым, если это выражение отрицательное;
- прямым при его равенстве нулю.
Кстати, последняя ситуация обращает теорему косинусов в теорему Пифагора. Потому что для угла в 90º его косинус равен нулю, и последнее слагаемое исчезает.
Первая задача
Условие
Тупой угол некоторого произвольного треугольника равен 120º. О сторонах, которыми он ограничен, известно, что одна из них больше другой на 8 см. Известна длина третьей стороны, это 28 см. Требуется найти периметр треугольника.
Решение
Сначала нужно обозначить одну из сторон буквой «х». В таком случае другая будет равна (х + 8). Поскольку есть выражения для всех трех сторон, можно воспользоваться формулой, которую дает теорема косинусов:
28 2 = (х + 8) 2 + х 2 - 2 * (х + 8) * х * cos 120º.
В таблицах для косинусов нужно найти значение, соответствующее 120 градусам. Это будет число 0,5 со знаком минус. Теперь полагается раскрыть скобки, соблюдая все правила, и привести подобные слагаемые:
784 = х 2 + 16х + 64 + х 2 - 2х * (-0,5) * (х + 8);
784 = 2х 2 + 16х + 64 + х 2 + 8х;
3х 2 + 24х - 720 = 0.
Это квадратное уравнение решается через нахождение дискриминанта, который будет равен:
Д = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Поскольку его значение больше нуля, то уравнение имеет два ответа-корня.
х 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
х 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
Последний корень не может быть ответом задачи, потому что сторона обязательно должна быть положительной.
Многочлен – алгебраическая структура, представляющая собой сумму или разность элементов. Большинство готовых формул касается двучленов, однако вывести новые для структур более высокого порядка не составляет большого труда. Можно, например, возвести трехчлен в квадрат .
Инструкция
Часто по мере упрощения громоздкого выражения возникает потребность возвести трехчлен в квадрат . Для этого нет готовой формулы, однако есть несколько методов. Например, представить квадрат трехчлен а в виде произведения двух одинаковых выражений.
Рассмотрите пример: возведите в квадрат трехчлен 3 х + 4 х – 8.
Измените запись (3 х + 4 х – 8) на (3 х + 4 х – 8) (3 х + 4 х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Сначала умножьте первое составляющее первой скобки на каждое слагаемое второй, затем так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3 х + 4 х – 8) (3 х + 4 х – 8) = 3 х (3 х + 4 х - 8) + 4 х (3 х + 4 х – 8) – 8 (3 х + 4 х – 8) = 9 х^4 + 12 х – 24 х + 12 х + 16 х – 32 х – 24 х – 32 х + 64 = 9 х^4 + 24 х – 32 х – 64 х + 64.
К тому же результату можно придти, если запомнить, что в результате перемножения двух трехчлен ов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадрат ами каждого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c) = a + b + c + 2 a b + 2 a c + 2 b c.
Примените ее к вашему примеру:(3 х + 4 х - 8) = (3 х + 4 х + (-8)) =(3 х) + (4 х) + (-8) + 2 (3 х) (4 х) + 2 (3 х) (-8) + 2 (4 х) (-8) = 9 х^4 + 16 х + 64 + 24 х – 48 х – 64 х = 9 х^4 + 24 х - 32 х - 64 х + 64.
Как видите, ответ получился тот же, а манипуляций потребовалось меньше. Это особенно важно, когда одночлены сами по себе являются сложными структурами. Этот способ применим для трехчлен а любой степени и любого количества переменных.
Внимание, только СЕГОДНЯ!
Все интересное
Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов. Инструкция 1Квадратные уравнения – довольно обширная тема в…
Метод выделения полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена является основой алгоритма решения уравнений второй степени, а также применяется при упрощении громоздких алгебраических выражений. Инструкция 1Метод выделения полного квадрата…
Возведение числа в степень - это сокращенная форма записи операции многократного умножения, в котором все множители равны исходному числу. А извлечение корня означает обратную операцию - определение множителя, который должен быть задействован в…
Есть несколько методов решения квадратного уравнения, наиболее распространенный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Этот способ приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней. Инструкция 1Алгебраическое…
«Уравнением» в математике называется запись, содержащую некоторые математические или алгебраические действия и обязательно включающую в себя знак равенства. Однако чаще этим понятием обозначают не тождество в целом, а только его левую…
Метод выделения квадрата двучлена применяется при упрощении громоздких выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обычно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр. Инструкция …
Матрица - это двумерный массив чисел. С такими массивами производят обычные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень), но трактуются эти операции иначе, чем такие же с обычными числами. Так будет неверным при возведении…
Чтобы быстро и эффективно производить расчеты, упрощайте математические выражения. Для этого используйте математические соотношения, позволяющие сделать выражение короче, а расчеты упростить. Вам понадобится- понятие одночлена многочлена;-…
Некоторые уравнения на первый взгляд кажутся очень сложными. Однако если разобраться и применить к ним небольшие математические хитрости, легко поддаются решению. Инструкция 1Чтобы сложное уравнение стало проще, примените к нему один из способов…
Одночленом в математике называют простейшее алгебраическое выражение, составленное из переменных, чисел и знаков, обозначающих математические действия (сложение, вычитание, умножение, и т.д.). А алгебраическое выражение, включающее несколько таких…
При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат. Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого…
Возведением числа в квадрат называют возведение числа во вторую степень. Вообще, возведение числа в степень – одна из алгебраических операций, которые вызывают затруднение в понимании и в реализации вычисления. Тем не менее, потребность возведения…
Многочлен – алгебраическая структура, представляющая собой сумму или разность элементов. Большинство готовых формул касается двучленов, однако вывести новые для структур более высокого порядка не составляет большого труда. Можно, например, возвести трехчлен в квадрат .
Инструкция
- Многочлен является основным понятием для решения алгебраических уравнений и представления степенной, рациональной и прочих функций. К этой структуре относится наиболее распространенное в школьном курсе предмета квадрат ное уравнение.
- Часто по мере упрощения громоздкого выражения возникает потребность возвести трехчлен в квадрат . Для этого нет готовой формулы, однако есть несколько методов. Например, представить квадрат трехчлена в виде произведения двух одинаковых выражений.
- Рассмотрите пример: возведите в квадрат трехчлен 3 х² + 4 х – 8.
- Измените запись (3 х² + 4 х – 8)² на (3 х² + 4 х – 8) (3 х² + 4 х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Сначала умножьте первое составляющее первой скобки на каждое слагаемое второй, затем так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3 х² + 4 х – 8) (3 х² + 4 х – 8) = 3 х² (3 х² + 4 х - 8) + 4 х (3 х² + 4 х – 8) – 8 (3 х² + 4 х – 8) = 9 х^4 + 12 х³ – 24 х² + 12 х³ + 16 х² – 32 х – 24 х² – 32 х + 64 = 9 х^4 + 24 х³ – 32 х² – 64 х + 64.
- К тому же результату можно придти, если запомнить, что в результате перемножения двух трехчленов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадрат ами каждого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 a b + 2 a c + 2 b c.
- Примените ее к вашему примеру:(3 х² + 4 х - 8)² = (3 х² + 4 х + (-8))² =(3 х²)² + (4 х)² + (-8)² + 2 (3 х²) (4 х) + 2 (3 х²) (-8) + 2 (4 х) (-8) = 9 х^4 + 16 х² + 64 + 24 х³ – 48 х² – 64 х = 9 х^4 + 24 х³ - 32 х² - 64 х + 64.
- Как видите, ответ получился тот же, а манипуляций потребовалось меньше. Это особенно важно, когда одночлены сами по себе являются сложными структурами. Этот способ применим для трехчлена любой степени и любого количества переменных.
