Линейные уравнения. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Линейные уравнения.

Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

ax + b = 0 где а и b – любые числа.

2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7

0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

х - 3 = 2 - 4х

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.

Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:

х + 4х = 2 + 3

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Раскрываем скобки:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

Приводим подобные:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:

2х-5х+3х=5-2-3

Считаем, и... опаньки!!! Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х - любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Что такое уравнение?

Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. :) Так что же такое уравнение?

То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает. Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком равенства «=». Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина . Или по-другому переменная величина . Или сокращённо просто «переменная». Переменных может быть одна или несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. Которая обычно обозначается буквой x . Или другими последними буквами латинского алфавита - y , z , t и так далее.

Мы пока тоже будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальном уроке.

Что значит решить уравнение?

Идём дальше. Переменная в выражениях, входящих в уравнение, может принимать любые допустимые значения. На то она и переменная. :) При каких-то значениях переменной получается верное равенство, а при каких-то – нет. Решить уравнение – это значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство . Или, более научно, тождество . Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. :) Или доказать, что таких значений переменной не существует.

Я специально акцентирую внимание на слове «исходное». Почему - будет ясно чуть ниже.

Эти самые значения переменной, при подстановке которых уравнение обращается в тождество, называются очень красиво - корнями уравнения . Если доказано, что таких значений нет, то в таком случае говорят, что уравнение не имеет корней .

Зачем нужны уравнения?

Для чего нам нужны уравнения? В первую очередь, уравнения – очень мощный и наиболее универсальный инструмент для решения задач . Самых разных. :) В школе, как правило, работают с текстовыми задачами . Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачками про бассейны, трубы, поезда и табуретки. :)

Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной сколь-нибудь серьёзной научной задачи - физической, инженерной или экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета. Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку какая-нибудь ответственная конструкция (лифт или мост, например). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов…

В общем, уравнение – ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.

Какие бывают уравнения?

Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Однако все уравнения можно условно разделить всего на 4 класса:

1) Линейные,

2) Квадратные,

3) Дробные (или дробно-рациональные),

4) Прочие.

Разные виды уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.

Прочих уравнений, разумеется, больше всего. Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где неизвестным является не число, а функция. Или даже целое семейство функций. :) В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы, которые применимы для решения совершенно любых (да-да, любых!) уравнений. Называются эти приёмы равносильные преобразования уравнений . Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы суть всего уравнения не менялась . Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и в конечном счёте станет совсем не похоже на исходное. Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными . Среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых . О них и пойдёт речь. Да-да, всего два! И каждое из них заслуживает отдельного внимания. Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% всех уравнений.

Итак, знакомимся!

Первое тождественное преобразование:

К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной).

Суть уравнения при этом останется прежней. Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знак. :)

Например, такое крутое уравнение:

Тут и думать нечего: переносим минус тройку вправо, меняя минус на плюс:

А что же происходит в действительности? А на самом деле вы прибавляете к обеим частям уравнения тройку ! Вот так:

Суть всего уравнения от прибавления к обеим частям тройки не меняется. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится.

Перенос слагаемых из одной части в другую – это сокращённый вариант первого тождественного преобразования. Ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Например, такое уравнение:

Дело нехитрое. Работаем прямо по заклинанию: с иксами влево, без иксов – вправо. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2x? Неверно! Справа у нас -2x (минус два икс)! Поэтому в левую часть это слагаемое перенесётся с плюсом :

Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось перенести единицу вправо. Опять вопрос – с каким знаком? Слева перед единицей ничего не написано – значит, подразумевается, что перед ней стоит плюс . Поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом :

Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:

А теперь проанализируем наши махинации с переносом слагаемых. Что мы сделали, когда перенесли -2x влево? Да! Мы прибавили к обеим частям нашего злого уравнения выражение 2x. Я же говорил, что прибавлять (отнимать) мы имеем право любое число и даже выражение с иксом! Лишь бы одно и то же. :) А когда перенесли единичку вправо? Совершенно верно! Мы отняли от обеих частей уравнения единичку. Вот и всё.) Вот и вся суть первого равносильного преобразования.

Или такой пример – для старшеклассников:

Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование – переносим слагаемое с переменной (то есть, -log 3 x) влево, а числовое выражение log 3 4 переносим вправо. Со сменой знака, разумеется:

Вот и всё. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:

Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

Снова выполняем первое тождественное преобразование - переносим sin x влево (с минусом), а -1/4 переносим вправо (с плюсом):

Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое для знающих также не составляет труда.

Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак. Поэтому надо уметь его делать на автомате. Главное – не забывать менять знак при переносе! Продолжаем знакомиться с тождественными преобразованиями уравнений.)

Второе тождественное преобразование:

Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же неравное нулю число или выражение.

Это тождественное преобразование мы тоже постоянно применяем, когда нам в уравнении мешают какие-то коэффициенты и мы хотим от них избавиться. Безопасно для самого уравнения. :) Например, такое злое уравнение:

Тут каждому ясно, что x = 3 . А как вы догадались? Подобрали? Или ткнули пальцем в небо и угадали?

Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами всё-таки математики, а не гадалки:)), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

Вот так:

Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Вся левая часть и вся правая часть:

Слева четвёрки благополучно сокращаются и остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, естественно, тройка. :)

Или такое уравнение:

Что делать с одной седьмой? Перенести вправо? Не-а, нельзя! Одна седьмая с иксом умножением связана. Коэффициент, понимаешь. :) Нельзя коэффициент оторвать и перенести отдельно от икса. Только всё выражение (1/7)x целиком. Но – незачем. :) Снова вспоминаем про умножение/деление. Что нам мешает? Дробь 1/7, не так ли? Вот и давайте избавимся от неё. Как? А в результате какого действия у нас пропадает дробь? Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное её знаменателю! Вот и умножим обе части нашего уравнения на 7:

Слева семёрки сократятся и останется как раз одинокий икс, а справа, если вспомнить таблицу умножения, получится 21:

Теперь пример для старшеклассников:

Чтобы добраться до икса и тем самым решить наше злое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. :) Вот и делим на 2 всю левую часть:

Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКА требует. Делим:

Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)

Всё понятно с умножением/делением? Отлично! Но… внимание! В данном преобразовании, несмотря на всю его простоту, кроется источник очень досадных ошибок! Называется он потеря корней и приобретение посторонних корней .

Выше я уже сказал, что обе части уравнения можно умножать (делить) на любое число или выражение с иксом . Но с одной важной оговоркой: выражение, на которое умножаем (делим) должно быть отлично от нуля . Именно этот пунктик, который многие поначалу просто игнорируют, и приводит к таким досадным промахам. Собственно, смысл этого ограничения понятен: на ноль умножать глупо, а делить вообще нельзя. Разберёмся, что к чему? Начнём с деления и с потери корней .

Допустим, есть у нас такое вот такое уравнение:

Здесь прямо-таки руки чешутся взять и поделить обе части уравнения на общую скобку (x-1):

Допустим, в задании на ЕГЭ сказано найти сумму корней этого уравнения. Что в ответ писать будем? Тройку? Если вы решили, что тройку, то вы попали в засаду . Под названием «потеря корней». :) В чём же дело?

А давайте в исходном уравнении раскроем скобки и соберём всё слева:

Получили классическое квадратное уравнение. Решаем через дискриминант (или через теорему Виета) и получаем два корня:

Стало быть, сумма корней равна 1+3 = 4. Четыре, а не три! Куда у нас «пропал» корень

x = 1

При первом способе решения? А единичка у нас пропала как раз во время деления обеих частей на скобочку (x-1). Почему так произошло? А всё потому, что при x = 1 у нас обнуляется эта самая скобочка (x-1). А делить мы имеем право только на отличное от нуля выражение! Как можно было бы избежать потери этого корня? И вообще потери корней? Для этого, во-первых, перед делением на какое-то выражение с иксом всегда дописываем условие, что это выражение отлично от нуля. И находим нули этого выражения . Вот так (на примере нашего уравнения):

А во-вторых, чтобы какие-то корни у нас не пропали в процессе деления, мы должны отдельно проверить в качестве кандидатов в корни все нули нашего выражения (того, на которое делим) . Как? Просто подставить их в исходное уравнение и посчитать. В нашем случае проверяем единичку:

Всё честно. Значит, единичка – корень!

А вообще, на будущее, всегда старайтесь избегать деления на выражение с иксом. Потеря корней – штука очень опасная и досадная! Применяйте любые другие способы – раскрытие скобок и особенно разложение на множители . Разложение на множители - самый простой и безопасный способ избежать потери корней. Для этого собираем всё слева, потом выносим общий множитель (на который так хотим «сократить») за скобки, раскладываем на множители и дальше приравниваем каждый получившийся множитель к нулю. Например, наше уравнение можно было бы вполне безобидно решить не только приведением к квадратному, но и разложением на множители. Смотрите сами:

Переносим влево всё выражение (x-1) целиком. Со знаком минус:

Выносим (x-1) за скобку как общий множитель и раскладываем на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю . Приравниваем теперь (в уме!) каждую скобку к нулю и получаем наши законные два корня:

И ни один корень не потерялся!

Разберём теперь противоположную ситуацию – приобретение посторонних корней. Такая ситуация возникает при умножении обеих частей уравнения на выражение с иксом. Сплошь и рядом встречается при решении дробно-рациональных уравнений. Например, такое несложное уравнение:

Дело знакомое – умножаем обе части на знаменатель, чтобы избавиться от дроби и получить уравнение в линеечку:

Приравниваем каждый множитель к нулю и получаем два корня:

Вроде бы, всё хорошо. Но попробуем сделать элементарную проверку. И если при x = 0 у нас всё славненько срастётся, получится тождество 2=2, то при x = 1 получится деление на ноль. Чего делать нельзя категорически. Не годится единичка в качестве корня нашего уравнения. В таких случаях говорят, что x = 1 – так называемый посторонний корень . Единичка является корнем нашего нового уравнения без дроби x(x-1) = 0, но не является корнем исходного дробного уравнения. Как же появляется этот посторонний корень? Он появляется при домножении обеих частей на знаменатель x-1. Который при x = 1 как раз обращается в ноль! А мы имеем право умножать только на отличное от нуля выражение!

Как же быть? Вообще не умножать? Тогда мы совсем ничего решить не сможем. Каждый раз проверку делать? Можно. Но зачастую трудоёмко, если исходное уравнение слишком накрученное. В таких случаях спасают три волшебные буквы - ОДЗ. О бласть Д опустимых З начений. И чтобы исключить появление посторонних корней, при умножении на выражение с иксом всегда надо дополнительно записывать ОДЗ. В нашем случае:

Вот теперь при этом ограничении можно смело умножать обе части на знаменатель. Все вредные последствия от такого умножения (т.е. посторонние корни) мы исключим по ОДЗ. И нашу единичку безжалостно выкинем.

Итак, появление посторонних корней не так опасно, как потеря: ОДЗ – штука мощная. И жёсткая. Она нам всегда отсеет всё лишнее. :) Мы с ОДЗ будем дружить и подробнее познакомимся в отдельном уроке.

Вот и все тождественные преобразования.) Всего два. Однако у неопытного ученика могут возникать некоторые трудности, связанные с последовательностью их применения: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Например, такое линейное уравнение:

С чего начинать? Можно начать с переноса:

А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем – переносить. Тогда числа попроще станут и считать будет легче:

Как видим, и так, и сяк можно. Вот и возникает у некоторых учеников вопрос: «Как правильно?» Ответ: «По-всякому правильно!» Кому как удобнее. :) Лишь бы ваши действия не противоречили правилам математики. А последовательность этих самых действий зависит исключительно от личных предпочтений и привычек решающего. Однако, с опытом такие вопросы отпадут сами собой, и в итоге не математика будет командовать вами, а вы – математикой. :)

В заключение хочу отдельно сказать о так называемых условно тождественных преобразованиях , справедливых при некоторых условиях . Например, возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Или извлечение корня из обеих частей. Если показатель степени нечётный, то ограничений никаких – возводите и извлекайте без опасений. А вот если чётный, то такое преобразование будет тождественным только если обе части уравнения неотрицательны . Об этих подводных камнях мы подробно поговорим в теме про иррациональные уравнения.

Инструкция

Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.

Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!

Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.

Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Видео по теме

Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.

Вам понадобится

• - линейное уравнение с двумя переменными;
• - второе уравнение или дополнительные условия.

Инструкция

Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.

Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.

Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

• - система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

• решений уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.

Инструкция

Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.

Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.

Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.

В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.

Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.

Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.

Видео по теме

Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.

Инструкция

Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.

Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.

Видео по теме

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.

Инструкция

Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.