Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) 
, где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:
, где DP – внешняя высота в
Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:
Вынесем за скобку
Что и требовалось доказать.
Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то
2) Применение общей формулы площади четырехугольника
.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда
3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь?
Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:
Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).
Спецприемы репетитора по математике.
Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:
Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:
Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.
В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!
Задачи на площадь трапеции:
Замечание репетитора по математике : Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.
1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).
Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.
Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве
, подготовка к ЕГЭ в Строгино
.
Геометрия – одна из наук, с применением которой на практике человек сталкивается практически ежедневно. Среди многообразия геометрических фигур отдельного внимания заслуживает и трапеция. Она представляет собой выпуклую фигуру с четырьмя сторонами, из которых две параллельны между собой. Последние называются основаниями, а оставшиеся две – боковыми сторонами. Отрезок, перпендикулярный основаниям и определяющий величину промежутка между ними, и будет высотой трапеции. Каким же образом можно вычислить его длину?
Найти высоту произвольной трапеции
Базируясь на исходных данных, определение высоты фигуры возможно несколькими способами.
Известна площадь
Если длина параллельных сторон известна, а также указана площадь фигуры, то для определения искомого перпендикуляра можно воспользоваться следующим соотношением:
S=h*(a+b)/2,
h – искомая величина (высота),
S – площадь фигуры,
a и b – стороны, параллельные друг другу.
Из приведенной формулы следует, что h=2S/(a+b).
Известна величина средней линии
Если среди исходных данных помимо площади трапеции (S) известна, и длина ее линии средины (l), то для вычислений пригодится другая формула. Прежде стоит уточнить, что такое средняя линия для данного вида четырехугольника. Термин определяет часть прямой, соединяющей средины боковых сторон фигуры.
Исходя из свойства трапеции l=(a+b)/2,
l – линия средины,
a, b – стороны-основания четырехугольника.
Поэтому h=2S/(a+b)=S/l.
Известны 4 стороны фигуры
В данном случае поможет теорема Пифагора. Опустив перпендикуляры на большую сторону-основание, воспользуйтесь ею для двух получившихся прямоугольных треугольников. Итоговое выражение будет иметь вид:
h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,
c и d – 2 другие стороны.
Углы в основании
При наличии данных об углах при основании, воспользуйтесь тригонометрическими функциями.
h = c* sinα = d*sinβ,
α и β – углы в основании четырехугольника,
c и d – его боковые стороны.
Диагонали фигуры и углы, которые пересекаясь они образуют
Длина диагонали – длина отрезка, соединяющего противоположные вершины фигуры. Обозначим данные величины символами d1 и d2, а углы между ними γ и φ. Тогда:
h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,
h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,
a и b – стороны-основания фигуры,
d1 и d2 – диагонали трапеции,
γ и φ – углы между диагоналями.
Высота фигуры и радиус окружности, которая в нее вписана
Как следует из определения такого рода окружности, она касается каждого основания в 1 точке, которые являются частью одной прямой. Поэтому расстояние между ними – диаметр – искомая высота фигуры. А так как диаметр – удвоенный радиус, то:
h = 2 * r,
r – радиус окружности, которую вписали в данную трапецию.
Найти высоту равнобедренной трапеции
- Как и следует из формулировки, отличительной характеристикой равнобедренной трапеции является равенство ее боковых сторон. Поэтому для нахождения высоты фигуры воспользуйтесь формулой для определения данной величины в случае, когда известны стороны трапеции.
Итак, если с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – стороны-основания четырехугольника,
c = d – его боковые стороны.
- При наличии величины углов, образованных двумя сторонами (основанием и боковой), высоту трапеции определяет следующее соотношение:
h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,
α – угол в основании фигуры,
a, b (a < b) – основания фигуры,
c = d – его боковые стороны.
- Если даны величины диагоналей фигуры, то выражение для нахождения высоты фигуры видоизменится, т.к. d1 = d2:
h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,
h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.
И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.
Трапеция - это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.
Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
- У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
- Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
- Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
- Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
- Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
- Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
Как найти площадь трапеции
.
Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:
где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.
Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.
Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.
Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.
В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.
Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.
Трапецией называется такой четырехугольник, две стороны у которого параллельны (это основания трапеции, обозначенные на рисунке a и b), а другие две - нет (на рисунке АД и CB). Высота трапеции - это отрезок h, проведенный перпендикулярно к основаниям.
Как найти высоту трапеции при известных величинах площади трапеции и длин оснований?
Для вычисления площади S трапеции ABCD, воспользуемся формулой:
S = ((a+b) × h)/2.
Здесь отрезки a и b - это основания трапеции, h - это высота трапеции.
Преобразуя эту формулу, можем записать:
Используя эту формулу, получим значение h, если известны величина площади S и величины длин оснований a и b.
Пример
Если известно, что площадь трапеции S равна 50 см², длина основания a составляет 4 см, длина основания b составляет 6 см, то, чтобы найти высоту h, используем формулу:
Подставляем в формулу известные величины.
h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 см
Ответ: высота трапеции составляет 10 см.
Как находить высоту трапеции, если даны величины площади трапеции и длина средней линии?
Воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:
Здесь m - средняя линия, h - высота трапеции.
Если возникает вопрос, как найти высоту трапеции, формула:
h = S/m, будет ответом.
Таким образом, можем найти величину высоты трапеции h, имея известные величины площади S и отрезка средней линии m.
Пример
Известна длина средней линии трапеции m, которая составляет 20 см, и площадь S, которая равна 200 см². Найдем значение величины высоты трапеции h.
Подставив значения S и m, получим:
h = 200/20 = 10 см
Ответ: высота трапеции составляет 10 см
Как найти высоту прямоугольной трапеции?
Если трапеция - это четырехугольник, с двумя параллельными сторонами (основаниями) трапеции. То диагональ - это отрезок, который соединяющий две противоположные вершины углов трапеции (отрезок АС на рисунке). Если трапеция прямоугольная, с помощью диагонали, найдем величину высоты трапеции h.
Прямоугольной трапецией называется такая трапеция, где одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае ее длина (АД) совпадает с высотой h.
Итак, рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AD - это высота, DC - это основание, AC - это диагональ. Воспользуемся теоремой Пифагора. Квадрат гипотенузы AC прямоугольного треугольника ADC равен сумме квадратов его катетов AB и BC.
Тогда можно записать:
AC² = AD² + DC².
AD - это катет треугольника, боковая сторона трапеции и, в то же время, ее высота. Ведь отрезок АД перпендикулярен основаниям. Его длина составит:
AD = √(AC² - DC²)
Итак, имеем формулу для вычисления высоты трапеции h = AD
Пример
Если длина основания прямоугольной трапеции(DC) равна 14 см, а диагональ (AC) составляет 15 см, для получения значения высоты(AD -боковой стороны) воспользуемся теоремой Пифагора.
Пусть х - это неизвестный катет прямоугольного треугольника(AD), тогда
AC² = AD² + DC² можно записать
15² = 14² + х²,
х = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 см
Ответ: высота прямоугольной трапеции (АВ) составит √29 см, что приблизительно составит, 5.385 см
Как найти высоту равнобедренной трапеции?
Равнобедренной трапецией, называют трапецию, у которой длины боковых сторон равны между собой. Прямая, проведенная через середины оснований такой трапеции будет осью симметрии. Частным случаем является трапеция, диагонали которой перпендикулярны друг другу, тогда высота h, будет равна полусумме оснований.
Рассмотрим случай, если диагонали не перпендикулярны друг другу. В равнобочной (равнобедренной) трапеции равны углы при основаниях и длины диагоналей равны. Также известно, что все вершины равнобокой трапеции касаются линии окружности, проведенной вокруг этой трапеции.
Рассмотрим рисунок. ABCD- равнобедренная трапеция. Известно, что основания трапеции параллельны, значит, BC = b параллельно AD = a, сторона AB = CD = c, значит, углы при основаниях соответственно равны, можно записать угол BAQ = CDS = α, и угол ABC = BCD = β. Таким образом, делаем вывод о равенстве треугольника ABQ треугольнику SCD, значит, отрезок
AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.
Имея по условию задачи величины оснований a и b, и длину боковой стороны с, найдем высоту трапеции h, равную отрезку BQ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABQ. ВО - высота трапеции, перпендикулярна основанию AD, значит и отрезку AQ. Сторону AQ треугольника ABQ, найдем, воспользовавшись выведенной нами ранее формулой:
Имея значения двух катетов прямоугольного треугольника, найдем гипотенузу BQ= h. Используем теорему Пифагора.
AB²= AQ² + BQ²
Подставим данные задачи:
c² = AQ² + h².
Получим формулу для нахождения высоты равнобедренной трапеции:
h = √(c²-AQ²).
Пример
Дана равнобедренная трапеция ABCD, где основание AD = a = 10см, основание BC = b = 4см, а боковая сторона AB = c = 12см. При таких условиях, рассмотрим на примере, как найти трапеции высоту, равнобедренной трапеции АВСД.
Найдем сторону AQ треугольника ABQ, подставив известные данные:
AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3см.
Теперь подставим значения сторон треугольника в формулу теоремы Пифагора.
h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6см.
Ответ. Высота h равнобедренной трапеции ABCD составляет 11.6 см.
