Цели занятия: На этом занятии вы получите возможность актуализировать свои знания о простейших геометрических фигурах: точке, прямой, луче, отрезке, вспомнить, как измеряются отрезки, а также узнаете некоторые новые для вас геометрические факты.

Точка . Прямая . Отрезок. Аксиомы геометрии

Для первого знакомства с геометрией поработайте с материалами видеоурока «Прямая и отрезок».

Таким образом, вы должны знать несколько фактов:

  1. Геометрия – наука об измерении земли, дословно – «землемерие».
  2. Геометрия – одна из самых древних наук на земле, она возникла примерно за 300 лет до нашей эры.
  3. Геометрия подразделяется на два раздела: планиметрия – геометрия на плоскости, и стереометрия – геометрия в пространстве.
  4. Геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства.
  5. Примерами плоских геометрических фигур являются треугольник, прямоугольник, окружность, круг и т.д.; примерами пространственных фигур являются параллелепипед, шар, конус, цилиндр и т.д.
  6. Простейшими, неопределяемыми геометрическими понятиями являются точка и прямая. Они не имеют размеров.
  7. Точки обозначают большими буквами латинского алфавита, прямые могут обозначаться маленькими буквами латинского алфавита.
  8. Геометрия строится на основных неопределяемых понятиях и на аксиомах, в которых фиксированы отношения простейших фигур.

Для того чтобы познакомиться с первыми аксиомами, поработайте со второй частью видеоурока «Прямая и отрезок».

Таким образом, вы должны знать следующие аксиомы:

Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация Аксиомы 1

Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (рис.2).

Рис. 2. Иллюстрация Аксиомы 2

Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая , и притом только одна.

Тот факт, что точка А лежит на прямой с фиксируется знаком принадлежности: А∈с . Если точка не принадлежит прямой с , то это записывается так: D∉c .

Теперь выполните задания практического электронного образовательного ресурса « ».

Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация Аксиомы 4

На рисунке отмечены три точки: А , В и D . Точка А лежит между точками В и D .

Эти точки, лежащие на прямой, образуют несколько новых фигур – отрезков.

На рисунке 3 изображены три отрезка: АВ, DA и DB .

Можно выделить несколько случаев взаимного расположения прямой и отрезка.

Рисунок 3 иллюстрирует случай, когда отрезок , например, АВ лежит на прямой , в этом случае отрезок и прямая имеют бесконечно много общих точек – это все точки отрезка АВ .

Рисунок 4 иллюстрирует другой случай: отрезок и прямая не имеют общих точек .

Рис. 4. Отрезок СЕ и прямая а не имеют общих точек

В этом случае точки С и Е лежат по одну сторону от прямой а .

Рисунок 5 иллюстрирует еще один случай: отрезок пересекает прямую . В этом случае отрезок и прямая имеют единственную общую точку, а концы отрезка CD лежат по разные стороны от прямой b .

Рис. 5. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
отрезок СD пересекает прямую b Рис. 6. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
один из концов отрезка MN (точка М) лежит на прямой c

Теперь поработайте со последней частью видеоурока «Прямая и отрезок».

Итак, вы познакомились с первой теоремой : две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Также вы рассмотрели доказательство этой теоремы.

Рассмотрим пример выполнения задания.

Пример 1.

На рисунке изображена прямая с и шесть точек.

Рис. 7. Прямая и точки

Сколько всего отрезков изображено на прямой? Назовите эти отрезки.

Решение:

Сначала запишем все отрезки.

    1. Начнем с отрезков, одним из концов которых является точка А .
      Итак, это отрезки АВ, АС, АЕ, AD, AF . Их всего 5.
    2. Теперь перечислим отрезки, одним из концов которых является точка В .
      Это отрезки ВЕ, ВС, BD и BF . Их 4. Мы не включили сюда отрезок АВ , так как мы записали его в первом пункте.
    3. Продолжим записывать отрезки. И теперь перечислим отрезки с концом в очке С , за исключением тех, которые мы уже записали.
      Это отрезки СЕ, CD и CF . Их 3.
    4. Теперь запишем оставшиеся отрезки: сначала с концом в точке Е – ED и EF , и наконец, в точке F – FD .
      Таким образом, получили 15 отрезков.

Пример 2.

Сколько точек можно провести через 4 точки: А, В, С и К , никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Решение:

Будем рассуждать так же, как и в предыдущем задании.

    1. Сначала провеем все прямые, проходящие через точку А : это прямые АВ, АС и АК .
    2. Теперь проведем все прямые, проходящие через точку В , за исключением прямой АВ , так ее мы уже учли в первом пункте. Это прямые ВС и ВК .
    3. Осталась одна прямая СК .

Всего таких прямых проведено 6.

На рисунке 8 изображены 4 точки и прямые, проведенные через них.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2

Измерение отрезков

Вы знаете, что длину отрезка можно измерить при помощи линейки с делениями.

Узнайте о свойствах длины отрезка, поработав с материалами видеоурока «Измерение отрезков».

Рассмотрим еще пример решения задачи.

Пример 3.

На прямой отмечены четыре точки: А, В, С и D произвольным образом. Известно, что длина отрезка АВ равна 10 см, BD = 12 см, CD = 6 см. Какой может быть длина отрезка АС ?

Решение:

Рассмотрим возможные случаи расположения точек на прямой.

Случай 1 изображен на рисунке 9.

Рис. 9. Первый случай взаимного расположения точек А, В, С и D на прямой

Видно, что в этом случае длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС .

На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.

Измерить отрезок - это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).

АВ = 2 см; АС = 3,4 см

Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 1 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» - и пишут: АВ = 2 см.

Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке - получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

AC + CB = AB

На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Пример 1. Точка С - середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.

Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С - середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).

Пример 2. Точка С - середина отрезка АВ, точка О - середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.

Решение. Так как С - середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 АВ, или АС = СВ = 1/2 2 = 1 (см). Так как точка О - середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).

Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Прямая

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).

Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

  1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
  2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
  3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда

Определение 1

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 2

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).

Сравнение отрезков

Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

Длина отрезка

Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти длину следующего отрезка

если следующий отрезок равняется 1

Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:

Ответ: $6$ см.

Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:

Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.

Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.

После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Пример 2

Записать длины следующих отрезков:

Измерим их с помощью линейки:

  1. $4$ см.
  2. $10$ см.
  3. $5$ см.
  4. $8$ см.

На данном уроке рассмотрим важнейшее практическое действие в геометрии - измерение отрезков. Сначала вспомним определения отрезка и равных геометрических фигур. Введем понятия длины отрезка, измерения отрезка и единицы измерения. Расскажем об основных единицах измерения и измерительных инструментах. В конце урока решим несколько примеров на сравнение и измерение отрезков.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки и ,

Из материала предыдущего урока вспомним, что называется отрезком. Это геометрическая фигура, которая являет собой часть прямой, заключенной между двумя точками. Также мы уяснили, как сравниваются отрезки, - наложением. Однако данный способ сравнения неудобный в случае, когда отрезки очень длинные. Кроме того, нам необходимо знать, на сколько отличаются те или иные отрезки.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Отрезок MN

Отрезок MN = 2 см. Данная запись говорит о том, что существует эталонный отрезок 1 сантиметр, который помещается в отрезке MN 2 раза. К отрезку приставляется положительное число, которое характеризует длину отрезка. Единицами измерения отрезков являются метры, километры, сантиметры, дециметры и миллиметры. Рассмотрим взаимоотношение между этими единицами. 1 км = 1000 м. 1м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Рис. 2. Сумма длин отрезков

В случае, когда мы знаем длины отрезков, которые являются частью данного отрезка, то мы можем сложить эти длины и получить общую длину целого отрезка.

Рассмотрим некоторые задачи.

На прямой АВ отметьте точку С, которая лежит в двух сантиметрах от точки А.

Выполним разъяснительный рисунок.

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

На рисунке отмечены точки, которые лежат на расстоянии 2 сантиметра от точки А, - . Вполне логично, что таких точек 2, потому что мы должны учесть 2 сантиметра вправо и 2 сантиметра влево.

Точка В делит отрезок АС на 2 части, длины которых равны 7,8 см, 25 мм. Найдите длину отрезка АС.

На рисунке 4 отмечены данные точки:

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

По правилу сложения отрезков АВ + ВС = АС. Однако сложность этой задачи состоит в единицах измерения, так как в условии они разные. Пусть 7,8 см = 78 мм.

В таком случае АВ + ВС = 78 мм + 25 мм = 103 мм = 10,3 см.

Ответ: АС = 103 мм 10,3 см.

На прямой лежат точки В, D, M. Расстояние между точками В и D равно 7 см, а расстояние между D и М равно 16 см. Укажите расстояние между точками В и М.

Рассмотрим 2 случая.

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

В случае, если точка М лежит справа от точек В и D, расстояние ВМ легко можно найти по правилу сложения длин отрезков. ВМ = ВD + DМ = 7 + 16 = 23 (см).

В случае, когда точка М лежит левее точек В и D, то расстояние МВ вычисляется следующим образом: МВ = МD - ВD = 16 - 7 = 9 (см).

Ответ: 23 см или 9 см.

На отрезке АВ длиной 64 см отмечена середина С. На луче СА отмечена точка D, расстояние от которой до середины равно 15 см. Найдите длину отрезков DВ и DА.

Выполним рисунок к задаче.

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Поскольку С - середина отрезка АВ, то отрезок АС = СВ = 64: 2 = 32 (см). Немаловажно указать, что положение точки D единственно. Найдем указанные в условии отрезки: DВ = СВ + DС = 32 + 15 = 47 (см). DА = АС - DС = 32 - 15 = 17 (см).

Ответ: 47 см, 17 см.

Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АВ = 3 см, СВ = 4 см, АС = 5 см?

Вспомним, что в случае, когда три точки лежат на одной прямой, больший отрезок равен сумме двух других. К примеру:

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Если АС = АВ + ВС выполнено, то три точки А, В и С лежат на одной прямой. В нашем случае длина отрезка АС не равна сумме отрезков АВ и СВ, так как 3 + 4 = 7 5.

Поэтому эти три точки будут образовывать треугольник:

Рис. 8. Рисунок к примеру 5

Ответ: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
  3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
  1. Измерение отрезков ().
  2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
  3. Прямая линия, отрезок ().

1. № 7, 8. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.

2. Укажите, лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 2 см, ВС = 8 см, ВА = 4 см.

3. Укажите, чему равна длина отрезка МЕ, если отрезок АК = 2 см, а К, М, Р - середины отрезков.

4.* Периметр (сумма всех сторон) прямоугольника равен 36 см, а большая сторона равна 12 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.