Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами отличаются от однородных уравнений присутствием в правой части хотя бы одного уравнения функции от независимой переменной . Как и в случае однородных уравнений, применение к неоднородным уравнениям общей теоремы о существовании и единственности решений не представляет большого труда.
§ 1. Общие сведения.
Пусть имеем систему
линейных неоднородных дифференциальных
уравнений 1-го порядка, содержащую
уравнений:
(1)
где коэффициенты
– действительныепостоянные
числа; функции
, 
,…, 
,
заданы ихотя бы одна
из них не равна нулю; функции
, 
,…, 
–
искомые функции переменной
.
Если все функции
, 
,…, 
– состоят из сумм и произведений функций:
–многочлен степени
;
- число
– действительное число; (2)
,
- число
– действительное число.
то поиск частного
решения проводится, как и в случае одного
уравнения
-
го порядка с постоянными коэффициентами,методом неопределённых
коэффициентов
, но с некоторыми
изменениями. Если правые части уравнений
системы произвольные функции
, 
,…, 
,
то применяют методвариации
произвольных постоянных
.
1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.
В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!
1.2. Запись общего решения системы линейных неоднородных уравнений.
Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:
==
+=
+
=
∙
+
∙
+...+
∙
+, (3)
где обозначено:
− общее решение заданной системы
уравнений (1);
− общее решение соответствующей
однородной системы и
− частное решение заданной системы
уравнений (1), соответственно. Выражение
=
+
напоминает теорему о форме записи общего
решения линейного неоднородного
уравнения
-
го порядка с постоянными коэффициентами.
Её доказательство так же просто.
§ 2. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x ,y ,z :
(4)
где функции
, 
, 
– непрерывные функции переменной
,
заданы в соответствии с правилом (4) ихотя бы одна
из
них не равна нулю. Функции
, 
, 
– искомые решения.
Общий алгоритм решения неоднородного уравнения:
1
*
.
Записываем соответствующую неоднородной
системе уравнений (4) однородную систему
(без функций
, 
, 
):
(5)
и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе 12 методами).
2
*
.
Находим частное решение системы (4)
однородную систему, учитывая конкретный
набор функций
, 
, 
.
3
*
.
Записываем общее решение системы (4) в
виде:=
+
. (6)
4 * . Находим решение системы (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Записанный алгоритм
содержит величины:
,
,
,
вычисление которых зависит и от набора
функций:
, 
, 
,
и от особенностей заданной системы (4).
Не станем записывать общих формул,
которые охватили бы самый общий набор
функций
, 
, 
и получающихся выражений для вычисления
функций:
,
,
.
Правила решения системы (4) вполне понятны
из рассмотрения конкретных Примеров!
Пример 13
–01
Решение :
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (то есть без функции
=
):
=
= 0, откуда получаем:
=
–
3;
=
2.
=
+
,
(1.1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2.1)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.1)
Для характеристического
корня
=–
3
система (3.1) имеет решение:
=
.
Для корня
=
2
система (3.1) имеет решение:
=
.
Замечание : Решение системы (3.1) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
3). С учетом полученных
векторов
,
запишем общее решение однородной системы
дифференциальных уравнений:
=
∙
∙
+
∙
∙
. (4.1)
4). Так как функция:
=
–
многочлен 1-й степени и образующее
число
=
не совпадает с характеристическими
корнями:
и
=
,
ее производные:
=
(5.1)
Подставляя выражения (5.1) в заданную систему уравнений, получаем систему тождеств:
(6.1)
Приравнивая коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:
при
:
при
:
, (7.1)
откуда: a
=–
,b
=–
,c
=–
,
d
=–
.
5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
(8.1)
Ответ
:
общее решение системы: 
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
Пример 13
–02
:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение :
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функции
=
).
Запишем характеристическое уравнение:
=
=0,
откуда получаем:
=
,
=
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(1.2)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2.2)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.2)
3). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙e
(1– i
) t
=
=
. (4.2)
4). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙e
(1+ i
) t
=
=
. (5.2)
то есть решения
и
(согласно выражениям (4.2) и (5.2))
комплексно-сопряженные.
=
,
=
(6.2)
6). С учетом выражений
(6.2) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
∙
+
∙
. (7.2)
7). Так как функция:
=
– имеет специальный вид, ее образующее
число
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
,
ее производные:
=
. (8.2)
8). Подставляя (8.2) в заданную систему, получаем систему тождеств:
откуда следует:
=–1,
=0. (9.2)
=
+
=
∙
+
∙
∙
+
∙
=
∙
.
(10.2)
Ответ
:Общее решение:
=
∙
.
Пример 13
–03
:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение :
При решении данного Примера воспользуемся теоремой о суперпозиции применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, то есть позволяющие получить общее решение исходной системы:
образующее
число:
=
, (1a
)
образующее
число:
=
, (1b)
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы уравнений (то есть
без функции
и
):
=0,
откуда получаем:
=
=2
– корень кратности
=2.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
,
и производные:
(2.3)
2). Подставляем
(2.3) в однородную систему уравнений для
заданной системы и получаем
тождества: 
(3.3)
3). Приравнивая в (3) коэффициенты при t 0 иt 1 , получаем систему алгебраических уравнений:
при
:
при
:
, (4.3)
откуда:
=
,
=
–
,
=
=
.
Замечание : решение системы (4.3) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:
(5.3)
5). Частное решение
заданной системы уравнений, учитывая
системы (1a
) и (1b),
запишем в виде:
, (6.3)
6). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1a
), учитывая совпадение
числа
=
с кратным характеристическим корнем:
, (7.3)
7). Подставим в (1a ) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:
Из тождества найдем
неопределенные коэффициенты, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
:
при
:
при
:
(8.3)
при
:
при
:
откуда получаем:
,
=
=
,
=
=
.
Учитывая выражение (7), получим частное
решение для системы (1a
):
. (9.3)
8). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1b
), учитывая, что число
=
не совпадает с характеристическим
корнем:
. (10.3)
9). Подставим в (1b ) выражение (10.3) и его производную: получим систему тождеств:
откуда: a
=–3,
b
=–2. (11.3)
10). Учитывая выражение (10.3), получим частное решение для системы (1b ):
. (12.3)
11). Учитывая (9.3) и (12.3), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:
, (13.3)
12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
.
(14.3)
Замечание
:
выражение (14) получено с «поглощением»
числаm
константой
.
Ответ
:Общее решение:
=
∙
.
Пример 13
–04
:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение :
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы уравнений (то есть
без функций
=
и
=
):
=
=0,
откуда получаем:
=
–
i
;
=i
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2.4)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.4)
3). Для
=
–
i
система (3.4) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙
=
=
. (4.4)
4). Для
=i
система (3.4) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙
=
=
, (5.4)
то есть решения
и
(согласно выражениям (4.4) и (5.4))
комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
,
=
. (6.4)
6). С учетом выражений
(6.4) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7.4)
7). Так как функция:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее
число
,
причем совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
. (8.4)
8). Подставляя (8.4) в заданную систему, получаем систему тождеств:
Приравнивая
коэффициенты при подобных членах
тождеств (9.4), получим алгебраическую
систему уравнений, решением которой
является:
=
–1,
=
0,
=
1.
Тогда выражение (8.4) можно записать в
виде:
=
(10.4)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=.
(11.4)
Ответ
:Общее решение:
=.
Как решить систему дифференциальных уравнений?
Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.
Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:
– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:
– Метод исключения . Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.
– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).
В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.
Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)
Что тут есть?
– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.
И – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».
И – первые производные неизвестных функций и соответственно.
Что значит решить систему дифференциальных уравнений?
Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений . Только там корнями являются числа, а здесь – функции.
Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений
:
В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».
Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.
Более компактно систему можно переписать так:
Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.
Пример 1
Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений 
с начальными условиями , .
Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.
Решим систему методом исключения . Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.
Алгоритм решения стандартен:
1) Берем второе уравнение системы
и выражаем из него :
Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).
2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :
Со «штрихами» процесс выглядит так:
Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.
3) Подставим и 
в первое уравнение системы :
И проведём максимальные упрощения:
Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: 
.
– получены различные действительные корни, поэтому:
.
Одна из функций найдена, пол пути позади.
Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.
4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию 
и находим её производную. Дифференцируем по :
Подставим 
и в уравнение (*):
Или короче: 
5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:
Ответ:
частное решение: 
Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:
1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :
Оба начальных условия выполняются.
2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .
Берём из ответа функцию 
и находим её производную:
Подставим 
, и 
в первое уравнение системы:
Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.
3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы
Берём из ответа функцию и находим её производную:
Подставим 
, и 
во второе уравнение системы:
Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.
Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение 
удовлетворяет каждому
уравнению исходной системы 
.
Аналогично можно проверить и общее решение 
, проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.
Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.
Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: 
. Далее находится первая производная: 
. Потом следует подставить 
и 
во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .
И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен 
и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.
Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить 
(заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.
Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:
По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.
Пример 3
Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения , при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.
1) Из первого уравнения системы выражаем:
Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?
И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.
2) Дифференцируем по обе части:
Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.
3) Подставим 
и 
во второе уравнение системы 
:
Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:
Теперь проводим упрощения:
В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.
Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.
Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:
Подставим в левую часть неоднородного уравнения:
Таким образом:
Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».
В результате:
4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :
Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.
Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.
Подставим
и в уравнение (*):
5) Общее решение системы:
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям 
:
Окончательно, частное решение:
Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.
Ответ:
частное решение: 
Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.
Пример проще для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям
Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.
В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.
Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.
Пример 5
Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений
Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения
Решение:
Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:
По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.
Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали
, вычитаем некоторый параметр :
На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.
Раскрываем определитель:
И находим корни квадратного уравнения:
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты
1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:
(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)
Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:
Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то
Задания для самостоятельной работы
Найти общие решения следующих однородных систем дифференциальных уравнений одним из рассмотренных методов, и произвести их проверку любым другим методом:
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:
(9.1)
Системы (9.1) и (9.2) называются неоднородными , если хотя быодна из функций f i (х ) не равна тождественно нулю.Если при всех значениях независимой переменной х все функции f i (х ) равны нулю, то, например, система (8.14) принимает вид:
и называется однородной линейной системой.
Если все функции a ij (x ) и f i (х ) непрерывны на отрезке a £x £b , то система, например, (9.2) имеет единственное решение:
(9.4)
определенное во всем отрезке a £x £b и удовлетворяющее начальным условиям:
причем начальные данные 
можно выбирать совершенно произвольно, а х
0 необходимо выбирать из интервала a
£x
£b
.
Неоднородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:
(9. 6)
Если все f i (x ) =0, то получим однородную систему с постоянными коэффициентами
Если 
компоненты некоторого вектора ,
а 
компоненты производной вектора , при этом коэффициенты a ij
являются элементами матрицы 
, то, например, систему уравнений (9.8) можно представить в виде:
Рассмотрим методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами.
1. Систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно разрешить, например, методом Эйлера . Суть этого метода заключается в том, что решение системы (9.9) ищется в виде
, (9.10)
где λ k
- собственные значения матрицы коэффициентов А
, которые можно найти из уравнения 
:
(9.11)
(Е – единичная матрица), которое называется характеристическим уравнением ; - компоненты собственного вектора P ( k ) , соответствующие собственному значению λ k .
Если выражение (9.10) подставить в уравнение (9.9) и после сокращения на множитель , получим однородную систему линейных алгебраических уравнений из которой можно найти вектора P ( k ) :
,
или в развернутом виде
(9.12)
Таким образом, общее решение системы (9.9) будет выражаться формулой:
. (9.13)
Из этой формулы видно, что решение исходной системы зависит от собственных значений матрицы коэффициентов λ k
или, что по существу то же самое от вида корней характеристического уравнения 
.
1-й случай. Все корни λ k –действительные и различные, тогда общее решение системы определяется формулой (9.13). Запишем ее в развернутом виде:
(9.14)
Пример 9.1.6. Найти общее решение системы
▲ Составим матрицу коэффициентов 
, а затем составим характеристическое уравнение (31):
Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: 
.
Найдем собственные вектора, соответствующие своим собственным значениям (корням характеристического уравнения).
.
Значение можно взять произвольно, например, пусть =1, тогда , следовательно вектор Р (1) равен: Р (1) =.
Для этого корня также составим систему (9.12)
,
следовательно, если =1, тогда . Поэтому вектор Р (2) =.
Таким образом, общее решение исходной системы можно записать в виде:
Следовательно, компоненты общего решения принимают вид:
▲
2-й случай. Корни λ k различные, но среди них имеются комплексные. Если является корнем характеристического уравнения, то и тоже будет его корнем, т.к. все коэффициенты исходной системы a ij являются действительными.
Компоненты общего решения системы (8.29), отвечающие корню находим точно так же, как и в случае 1. Затем, отделив комплексную и действительную часть из функций y k , образующих это решение, получим два действительных решения той же системы (8.29). Сопряженный корень не дает новых решений (если использовать этот корень, то получим решения, линейно зависимые от уже полученных). Так поступают для каждого комплексного корня.
Пример 9.2. Найти общее решение системы
Корни этого характеристического уравнения комплексно-сопряженные: .
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению (корню характеристического уравнения) равному: .
Составим систему алгебраических уравнений (9.12)
Таким образом, приняв =1, находим , т.е. собственный вектор Р (1) равен: Р (1) =.
Следовательно, фундаментальная система будет иметь вид:
В этих решениях отделим действительную и мнимую части (корень мы не рассматриваем, т.к. решения соответствующие этому корню являются линейно зависимыми корню), в результате получаем:
Таким образом, общее решение окончательно имеет вид:
3-й случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
Если корень λ k , имеет кратность т , то ему соответствует п частных решений системы (9.9). Эти решения получаем в виде:
где q 1 (x ),…., q n (x ) – многочлены от х с неопределенными коэффициентами, каждый степени не выше (т -1):
Следовательно, решения будут иметь вид:
(9.15)
Подставляя выражения (9.15) в систему (9.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х в каждом уравнении, мы получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов многочленов q 1 (x ),…., q n (x ). Число полученных алгебраических уравнений будет меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому т из этих коэффициентов остаются произвольными, а остальные выражаются через них.
Если λ 1 , является комплексным числом, то полученные рассмотренным путем решения тоже будут комплексными функциями от х . Отделив в каждом из решений действительные и мнимые части, получим 2т решений. Эти решения соответствуют паре сопряженных т – кратных комплексных корней и .
Пример 9.3. Найти общее решение системы
▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (9.11):
Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: . Степень кратности т равна: т = 2. Следовательно, в этом случае многочлены p 1 (t ) и p 2 (t ) имеют вид:
Таким образом, двукратному корню соответствует решение
Дифференцируя х и у , получим
Значения х , у , подставим в исходную систему, и после сокращения на e 4 t будем иметь
Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получим следующие системы
Отсюда следует, что
Таким образом, общее решение исходной системы будет иметь вид:
▲
2. Систему вида (9.8): ,
можно разрешить методом неопределенных коэффициентов . Алгоритм этого метода следующий:
1. Составить характеристическое уравнение системы (9.8):
и найти его корни .
2. В зависимости от вида корней записать решение системы, причем для каждого решения y i имеет свои произвольные постоянные:
3. Вычисляются производные 
и вместе с найденными функциями , подставляются в уравнения исходной системы.
4. Приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях в левых и правых частях уравнений.
5. Из полученных систем можно выразить все коэффициенты через одни, например, коэффициентычерез коэффициент C i .
Пример 9.4. Найти общее решение системы
