Гранью правильного многогранника не правильный. Многогранники. Виды многогранников и их свойства. Актуализация и фиксирование опорных знаний

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. 10 класс Выполнила: Кайгородова С.В.

Правильным называется многогранник, у которого все грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы при вершинах равны.

С глубокой древности человеку известны пять удивительных многогранников

По числу граней их называют правильный тетраэдр

гексаэдр (шестигранник) или куб

октаэдр (восьмигранник)

додекаэдр (двенадцатигранник)

икосаэдр (двадцатигранник)

Развертки правильных многогранников

Историческая справка Четыре сущности природы были известны человечеству: огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников Великий древнегреческий философ Платон, живший в IV – V вв. до нашей эры, считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.

атом огня имел вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба) воздуха – октаэдра воды - икосаэдра

Но оставался додекаэдр, которому не было соответствия Платон предположил, что существует ещё одна(пятая) сущность. Он назвал её мировым эфиром. Атомы этой пятой сущности и имели вид додекаэдра. Платон и его ученики в своих работах большое внимание уделяли перечисленным многогранникам. Поэтому эти многогранники называют также платоновыми телами.

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение: Г+В-Р=2, где Г -число граней, В -число вершин, Р - число ребер данного многогранника. Грани + Вершины - Рёбра = 2. Теорема Эйлера

Характеристики правильных многогранников Многогранник Число сторон грани Число граней, сходящихся в каждой вершине Число граней (Г) Число ребер (Р) Число вершин (В) Тетраэдр 3 3 4 6 4 Гексаэдр 4 3 6 12 8 Октаэдр 3 4 8 12 6 Икосаэдр 3 5 20 30 12 Додекаэдр 5 3 12 30 20

Двойственность правильных многогранников Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют двойственную пару многогранников. Число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра. Многогранники в природе, химии и биологии Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Кристалл пирита - природная модель додекаэдр. Кристаллы поваренной соли передают форму куб. Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра. Хрусталь (призма) Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! В молекуле метана имеет форму правильного тетраэдра.

Многогранники в искусстве «Портрет Монны Лизы» Композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. гравюра « Меланхолия» На переднем плане картины изображен додекаэдр. «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр.

Многогранники в архитектуре Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью трехмерного моделирования. Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса Нерукотворного - главный въезд в Казанский кремль. Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию «Барма». Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду. Спасская башня Кремля. Александрийский маяк Пирамиды Музеи Плодов

Правильным многогранником называется такой многогранник, у которого все грани равны и представляют собой равные правильные многоугольники, все ребра и все вершины также равны между собой. В то время, как правильных многоугольников существует сколько угодно, правильных многогранников ограниченное число.

Как правильные многоугольники начинаются с треугольника, так правильные многогранники начинаются с его аналога – тетраэдра (т. е., по-гречески, четырехгранника). У него минимально возможное число вершин и граней – тех и других по четыре, а ребер шесть (три вершины всегда лежат в одной плоскости, для объемного тела нужно поэтому не меньше четырех вершин; тремя же плоскими гранями нельзя ограничить конечный объем в пространстве). В каждой вершине сходятся три треугольных грани и, соответственно, по три ребра. Тетраэдр – это пирамида, причем самая простая – трехгранная (любая пирамида состоит из основания и боковых граней; пирамида называется n -гранной, если у нее n боковых граней; легко видеть, что у n -гранной пирамиды основание неминуемо должно иметь форму n -угольника). Все, что мы пока говорили о тетраэдре, применимо к любому тетраэдру, не обязательно правильному; у правильного же тетраэдра грани – это правильные треугольники.

Со следующим правильным многогранником вы хорошо знакомы – это куб . Если тетраэдр в определенном смысле аналогичен треугольнику, то куб – квадрату. Куб – это такой прямоугольный параллелепипед, у которого все грани – квадраты. Попробуйте, не глядя на картинку, сообразить, сколько у куба (и, на самом деле, у любого прямоугольного параллелепипеда) граней, сколько вершин, сколько ребер и по сколько граней и ребер сходятся в каждой вершине.

Еще у одного правильного многогранника – октаэдра (т. е. восьмигранника) – нет аналогов в плоском мире, т. к. он немного похож на треугольник, а немного на квадрат. Октаэдр можно сделать из двух четырехгранных пирамид, склеив их основания. Грани правильного октаэдра являются правильными треугольниками. В каждой его вершине сходятся не три, как у тетраэдра и куба, а четыре грани. Форму октаэдра имеют, например, природные кристаллы алмаза.

Октаэдр тесно связан с кубом так называемым свойством взаимности : центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра, а центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Если соединять отрезками центры соседних граней куба, то эти отрезки станут ребрами октаэдра; если проделать ту же операцию с октаэдром, получится куб. Между прочим, исходя из этого, понятно, что число вершин октаэдра равно числу граней куба, и наоборот; более того, количества ребер у них совпадают.

Тетраэдр связан с собой свойством взаимности

Можно ли сформулировать какой-нибудь аналог свойства взаимности для правильных многоугольников?

Между прочим, тетраэдр тоже родствен кубу. А именно, если выбрать такие четыре вершины куба, из которых никакие две не являются смежными, и соединить их отрезками, то эти отрезки образуют тетраэдр!

Рис. 3. Куб и тетраэдр

Самое важное свойство правильных многогранников, сразу обращающее на себя внимание – это их высокая степень симметричности. Определенное количество отражений вокруг разных плоскостей, а также целый ряд поворотов вокруг разных осей, переводят каждый из многогранников сам в себя. У каждого из них есть центр, через который проходят все эти плоскости симметрии и оси; вершины равноудалены от этого центра, это же верно для граней и ребер. Поэтому в каждый правильный многогранник можно вписать сферу, и около каждого из них можно описать сферу. (В этом плане, впрочем, они вполне аналогичны правильным многоугольникам, в каждый из которых можно вписать окружность и вокруг каждого из которых тоже можно описать окружность).

Сколько у куба, тетраэдра, октаэдра плоскостей симметрии? Сколько у каждого из них осей поворотов, переводящих многогранник сам в себя?

У тетраэдра 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через одно из ребер и перпендикулярна противолежащему ребру; 4 оси поворотов на 120º, проходящие через каждую вершину и середину противолежащей грани, и еще 3 оси поворотов на 180º, проходящие через середины противолежащих ребер – итого 7 поворотных осей. У куба 3 плоскости симметрии, параллельные граням и проходящие через середины ребер, и еще 6 плоскостей симметрии, проходящих через пары противолежащих ребер – итого 9 плоскостей симметрии; 3 оси поворотов на 90º и 180º, проходящие через центры противолежащих граней, 6 осей поворотов на 180º (эти оси проходят через середины противолежащих ребер), и еще 4 оси поворотов на 120º, проходящие через противолежащие вершины – итого 13 поворотных осей. У октаэдра столько же плоскостей симметрии и поворотных осей, сколько и у куба. Три упомянутых правильных многогранника были известны уже пифагорейцам, которые, понимая их замечательные математические свойства, догадывались, что эти тела каким-то образом должны быть связаны с устройством мира. По-видимому, Теэтет (V в. до н. э.) первым показал, что существует еще два правильных многогранника, а именно, додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник). Додекаэдр состоит из правильных пятиугольников, которые сходятся по 3 в каждой вершине; икосаэдр – из правильных треугольников, которые сходятся по 5 в каждой вершине. Эти многогранники обладают свойством взаимности по отношению друг к другу. Можно показать, что никаких кристаллов в форме данных многогранников быть не может; тем не менее, в живой природе икосаэдры встречаются: такую форму имеют белковые оболочки некоторых вирусов (в частности, хорошо изученного вируса «табачной мозаики»). Нетрудно видеть, что никаких других правильных многогранников сверх указанных пяти быть не может. В самом деле, в одной вершине должно сходится не меньше 3 граней. С другой стороны, эти грани должны иметь не больше 5 сторон, потому что, например, 3 шестиугольника, сходясь в одной точке и соединяясь сторонами друг с другом, будут лежать в одной плоскости и не образуют многогранного угла. У семиугольников и т. д. углы еще больше. В то же время, если грани четырехугольные, то их не может сойтись в одной вершине больше трех (нужно, чтобы двугранные углы при каждом ребре были бы равными): 4 квадрата, сходясь, будут лежать в одной плоскости. Если же грани треугольные, то их не может сойтись больше пяти: 6 правильных треугольников тоже будут лежать в одной плоскости. Таким образом, возможные варианты – это треугольники, сходящиеся по 3, 4 и 5, а также квадраты и пятиугольники, сходящиеся по 3. Все эти пять вариантов и реализованы в пяти известных правильных многогранниках. Правильные многогранники носят также название платоновых тел , т. к. занимают важное место в философии Платона. Как и другие древние греки, он считал, что существует 4 первоэлемента – земля, вода, воздух и огонь. Развивая пифагорейскую концепцию о математическом устройстве Вселенной, Платон полагал, что каждый элемент имеет форму того или иного правильного многогранника: земле как самому устойчивому элементу соответствует куб, огню – самый «небольшой» многогранник с самыми острыми вершинами и ребрами, то есть тетраэдр; воде соответствует икосаэдр, а воздуху – октаэдр. Эти элементы – неделимые («атомы»), как в философии Демокрита; элементы могут превращаться друг в друга по определенным законам, связанным с сохранением тех треугольников, из которых сделаны: например, одно «тело» воздуха может превратиться в два «тела» огня, а одно «тело» воды – в два «тела» воздуха и одно – огня. (Сами треугольники при этом материальными не являются, поскольку плоские, тогда как материальные тела должны быть трехмерными). Форма же всей Вселенной соответствует пятому телу – додекаэдру. Таким образом, в пифагорейско-платоновском космосе торжествует математическая гармония, выражаемая «золотым сечением», тесно связанным с правильным пятиугольником, который и лежит в основе додекаэдра. Построению и свойствам 5 правильных многогранников (а также доказательству того, что других не существует) посвящена тринадцатая – заключительная – книга «Начал» Евклида. Согласно комментарию неоплатоника Прокла, структура «Начал» соответствует устройству Вселенной по Платону: она начинается с самых исходных элементов – точек и прямых – чтобы в результате придти к построению мира в целом. Иоганн Кеплер также полагал, что правильные многогранники лежат в основе устройства мира. Кеплер думал, что расстояния от Солнца до 6 известных в то время планет должны удовлетворять какому-то математическому закону. Гипотеза Кеплера заключалась в том, что если представить сферы, на которых лежат орбиты 6 планет с центром в Солнце, то в эти сферы последовательно вписываются и описываются около пяти правильных многогранников – октаэдра, икосаэдра, додекаэдра, тетраэдра и куба (в порядке удаления от Солнца). Внимательно анализируя результаты наблюдений, Кеплер не нашел подтверждения своей идее, тем не менее, его убежденность в рационально-математическом характере устройства мира в конце концов привела его к открытию подлинных законов движения планет. Иоганн Кеплер изучал так же так называемые полуправильные многогранники – составленные из нескольких правильных многоугольников. Математиков Нового времени правильные многогранники интересовали главным образом в связи с совокупностями (группами) тех преобразований – поворотов и симметрий – которые переводят многогранники сами в себя. Изучение групп преобразований оказалось важным для, казалось бы, совершенно не связанных с этим вопросов. Так, Феликсу Клейну принадлежит книга, название которой говорит само за себя: «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени». В XX в. теория групп оказалась чрезвычайно важной для квантовой механики, изучающей молекулы, атомы и элементарные частицы: та или иная группа преобразований, оказывается, является определяющей для того или иного объекта микромира. Как отметил один из основателей квантовой механики Вернер Гейзенберг, Платон не так уж и ошибался, когда клал в основу элементов мироздания те или иные симметричные структуры.

Геометрия прекрасна тем, что, в отличие от алгебры, где не всегда понятно, что и зачем считаешь, дает наглядность объекта. Этот удивительный мир различных тел украшают собой правильные многогранники.

Общие сведения о правильных многогранниках

По мнению многих, правильные многогранники, или как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр - четырехгранный, гексаэдр - шестигранный, октаэдр - восьмигранный, додекаэдр - двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.

Обобщение понятия многогранника

Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что:

• каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
• от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны - ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.

Другое определение многогранника и его элементов

Многогранником называют поверхность, состоящую из многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают:

• невыпуклыми;
• выпуклыми (правильные и неправильные).

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:

• тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
• гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
• додекаэдр: 30, 12, 20;
• октаэдр: 12, 8, 6;
• икосаэдр: 30, 20, 12.

Теорема Эйлера

Она устанавливает связь между числом ребер, вершин и граней, топологически эквивалентных сфере. Складывая количество вершин и граней (В + Г) у различных правильных многогранников и сравнивая их с количеством ребер, можно установить одну закономерность: сумма количества граней и вершин равняется числу ребер (Р), увеличенному на 2. Можно вывести простую формулу:

• В + Г = Р + 2.

Эта формула верна для всех выпуклых многогранников.

Основные определения

Понятие правильного многогранника невозможно описать одним предложением. Оно более многозначное и объемное. Чтобы тело было признано таковым, необходимо, чтобы оно отвечало ряду определений. Так, геометрическое тело будет являться правильным многогранником при выполнении таких условий:

• оно выпуклое;
• одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин;
• все грани его - правильные многоугольники, равные друг другу;
• все его равны.

Свойства правильных многогранников

Существует 5 разных типов правильных многогранников:

1. Куб (гексаэдр) - у него плоский угол при вершине составляет 90°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 270°.
2. Тетраэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 180°.
3. Октаэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 4-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 240°.
4. Додекаэдр - плоский угол при вершине 108°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 324°.
5. Икосаэдр - у него плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 5-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 300°.

Площадь поверхности этих геометрических тел (S) вычисляется, как площадь правильного многоугольника, умноженная на количество его граней (G):

• S = (a: 2) х 2G ctg π/p.

Объем правильного многогранника

Эта величина вычисляется путем умножения объема правильной пирамиды, в основании которой находится правильный многоугольник, на число граней, а высота ее является радиусом вписанной сферы (r):

• V = 1: 3rS.

Объемы правильных многогранников

Как и любое другое геометрическое тело, правильные многогранники имеют различные объемы. Ниже представлены формулы, по которым можно их вычислить:

• тетраэдр: α х 3√2: 12;
• октаэдр: α х 3√2: 3;
• икосаэдр; α х 3;
• гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5) : 12;
• додекаэдр: α х 3 (15 + 7√5) : 4.

Гексаэдр и октаэдр являются дуальными геометрическими телами. Иными словами, они могут получиться друг из друга в том случае, если центр тяжести грани одного принимается за вершину другого, и наоборот. Также дуальными являются икосаэдр и додекаэдр. Сам себе дуален только тетраэдр. По способу Евклида можно получить додекаэдр из гексаэдра с помощью построения «крыш» на гранях куба. Вершинами тетраэдра будут любые 4 вершины куба, не смежные попарно по ребру. Из гексаэдра (куба) можно получить и другие правильные многогранники. Несмотря на то что есть бесчисленное множество, правильных многогранников существует всего 5.

Радиусы правильных многоугольников

С каждым из этих геометрических тел связаны 3 концентрические сферы:

• описанная, проходящая через его вершины;
• вписанная, касающаяся каждой его грани в центре ее;
• срединная, касающаяся всех ребер в середине.

Радиус сферы описанной рассчитывается по такой формуле:

• R = a: 2 х tg π/g х tg θ: 2.

Радиус сферы вписанной вычисляется по формуле:

• R = a: 2 х ctg π/p х tg θ: 2,

где θ - двухгранный угол, который находится между смежными гранями.

Радиус сферы срединной можно вычислить по следующей формуле:

• ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

где h величина = 4,6 ,6,10 или 10. Отношение описанных и вписанных радиусов симметрично относительно p и q. Оно рассчитывается по формуле:

• R/r = tg π/p х tg π/q.

Симметрия многогранников

Симметрия правильных многогранников вызывает основной интерес к этим геометрическим телам. Под ней понимают такое движение тела в пространстве, которое оставляет одно и то же количество вершин, граней и ребер. Другими словами, под действием преобразования симметрии ребро, вершина, грань или сохраняет свое первоначальное положение, или перемещается в исходное положение другого ребра, другой вершины или грани.

Элементы симметрии правильных многогранников свойственны всем видам таких геометрических тел. Здесь речь ведется о тождественном преобразовании, которое оставляет любую из точек в исходном положении. Так, при повороте многоугольной призмы можно получить несколько симметрий. Любая из них может быть представлена как произведение отражений. Симметрию, которая является произведением четного количества отражений, называют прямой. Если же она является произведением нечетного количества отражений, то ее называют обратной. Таким образом, все повороты вокруг прямой представляют собой прямую симметрию. Любое отражение многогранника - это обратная симметрия.

Чтобы лучше разобраться в элементах симметрии правильных многогранников, можно взять пример тетраэдра. Любая прямая, которая будет проходить через одну из вершин и центр этой геометрической фигуры, будет проходить и через центр грани, противоположной ей. Каждый из поворотов на 120 и 240° вокруг прямой принадлежит к множественному числу симметрий тетраэдра. Поскольку у него по 4 вершины и грани, то получается всего восемь прямых симметрий. Любая из прямых, проходящих через середину ребра и центр этого тела, проходит через середину его противоположного ребра. Любой поворот на 180°, называемый полуоборотом, вокруг прямой является симметрией. Поскольку у тетраэдра есть три пары ребер, то получится еще три прямые симметрии. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что общее число прямых симметрий, и в том числе тождественное преобразование, будет доходить до двенадцати. Других прямых симметрий у тетраэдра не существует, но при этом у него есть 12 обратных симметрий. Следовательно, тетраэдр характеризуется всего 24 симметриями. Для наглядности можно построить модель правильного тетраэдра из картона и убедиться, что это геометрическое тело действительно имеет всего 24 симметрии.

Додекаэдр и икосаэдр - наиболее близкие к сфере тела. Икосаэдр обладает наибольшим числом граней, наибольшим и плотнее всего может прижаться к вписанной сфере. Додекаэдр обладает наименьшим угловым дефектом, наибольшим телесным углом при вершине. Он может максимально заполнить свою описанную сферу.

Развертки многогранников

Правильные которых мы все склеивали в детстве, имеют много понятий. Если есть совокупность многоугольников, каждая сторона которых отождествлена с только одной стороной многогранника, то отождествление сторон должно соответствовать двум условиям:

• от каждого многоугольника можно перейти по многоугольникам, имеющим отождествленную сторону;
• отождествляемые стороны должны иметь одинаковую длину.

Именно совокупность многоугольников, которые удовлетворяют эти условия, и называется разверткой многогранника. Каждое из этих тел имеет их несколько. Так, например, у куба их насчитывается 11 штук.

Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани - равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны.

Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани - равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?

Пять типов правильных многогранников:

Рассмотрим произвольный правильный многогранник М , у которого В вершин, Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство:

В - Р + Г = 2. (1)

Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,

Так как у многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся n ребер, то получаем n ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение n каждое ребро войдет дважды. Значит у многогранника имеется различных ребер. Тогда

Из (1), (3), (4) получаем - Р + = 2, откуда

+ = + > . (5)

Таким образом, имеем

Из неравенств 3 и 3 следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходим к противоречию с условием. Поэтому остаются возможными пять случаев: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).

1) m = n = 3 (каждая грань многогранника - правильный треугольник. Это - известный нам правильный тетраэдр («тетраэдр » означает четырехгранник).

2) m = 4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем

Р = 12; В = 8; Г = 6.

Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань - квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом («гексаэдр» -- шестигранник), любой параллелепипед - гексаэдр.

3) m = 3, n = 4 (каждая грань -правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем

Р = 12; В = =6; Г = =8.

Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань - правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» -- восьмигранник).

4) m = 5, n = 3 (каждая грань - правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:

Р = 30; В = = 20; Г = = 12.

Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань - правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр » -- двенадцатигранник).

5) m = 3,n = 5 (каждая грань - правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем

Р = 30; В = =12; Г = = 20.

Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр » - двадцатигранник).

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема. Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

К этому заключению можно прийти несколько иначе.

Действительно, если грань правильного многогранника - правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k -гранного угла равны, то. Следовательно, натуральное число k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г = , Р = . На основании теоремы Эйлера имеем:

В+-= 2 или В (6 - k ) = 12.

Тогда при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр);

при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);

при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).

Если грань правильного многогранника - правильный четырехугольник, то. Этому условию соответствует единственное натуральное число k = 3. Тогда: Г = , Р= ; В + - = 2 или. Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 - мы получаем куб (правильный гексаэдр).

Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то. Этому условию соответствует тоже только k = 3 и Г = ; Р = . Аналогично предыдущим вычислениям получаем: и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).

Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше, и уже k = 3 их сумма становится не менее, что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников.

На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный гексаэдр

Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр

Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.

У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать:

• 1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра a ).
• 2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра a ).
• 3. Его объем (при длине ребра a ).
• 4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра a ).
• 5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра a ).
• 6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра a ).

Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г, где Г - количество граней правильного многогранника, а - площадь одной грани.

Напомним, sin = , что дает нам возможность записать в радикалах: ctg =. Учитывая это составляем таблицы:

а) для площади грани правильного многогранника

б) для площади полной поверхности правильного многогранника

Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла.

В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны, поэтому, применив теорему косинусов для трехгранных углов к любому трехгранному углу данного додекаэдра при его вершине, получим: cos, откуда

На изображенном правильном октаэдре ABCDMF вы можете убедиться, что двугранный угол при ребре октаэдра равен 2arctg.

Для нахождения величины двугранного угла при ребре правильного икосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его плоские углы ВАС и CAD равный, а третий плоский угол BAD, против которого лежит двугранный угол B(AC)D = , равен (BCDMF - правильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ABCD имеем: . Учитывая, что, получаем, откуда. Таким образом, двугранный угол при ребре икосаэдра равен.

Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах правильных многогранников.

Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных многогранников в общем виде.

Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О , удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а r - ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Г--число граней правильного многогранника): основаниями образованных пирамид равны r . Тогда объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:

Остается найти длину радиуса r .

Для этого, соединив точку О с серединой К ребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО к грани многогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани угол, равный половине величины двугранного угла при этом ребре многогранника; проекция же наклонной КО на плоскость этой грани принадлежит ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности. Тогда

где p--полупериметр грани. Тогда из (1) и (2) получаем общую для всех правильных многогранников формулу вычисления их объемов:

Эта формула совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных тетраэдра и октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы правильных икосаэдра и додекаэдра.

Цель урока:

1. Ввести понятие правильных многогранников.
2. Рассмотреть виды правильных многогранников.
3. Решение задач.
4. Привить интерес к предмету, научить видеть прекрасное в геометрических телах, развитие пространственного воображения.
5. Межпредметные связи.

Наглядность: таблицы, модели.

Ход урока

I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Изучение нового материала/

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести “Правильные многогранники”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

Определение правильного многогранника.

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
4. все его двугранные углы равны.

Теорема: Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

Таблица 1. Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.

Рассмотрим виды многогранников:

Правильный тетраэдр

<Рис. 1>

Правильный октаэдр

<Рис. 2>

Правильный икосаэдр

<Рис. 3>

Правильный гексаэдр (куб)

<Рис. 4>

Правильный додекаэдр

<Рис. 5>

Таблица 2. Формулы для нахождения объемов правильных многогранников.

“Платоновые тела”.

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют так же платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”).

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO 4) 2 ·l2H 2 O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры 12 граней додекаэдра.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела?

В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля “Красота форм в природе” можно прочитать такие строки: “Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы”. Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видны одноклеточные организмы – феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана эта природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет по теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Следующая задача проиллюстрирует эту мысль.

Задача. Модель молекулы метана CH 4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода. Определить угол связи между двумя CH связями.

<Рис. 6>

Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра. Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости.

Треугольник АОС – равнобедренный. Отсюда а – сторона куба, d – длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, а = 54, 73561 0 и j = 109,47 0

Задача. В кубе из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые, – правильный тетраэдр.

<Рис. 7>

Задача. Ребро куба равно a. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

<Рис. 8>

Обобщение понятия многогранника.

Многогранник – совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что:

1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного (называемого смежным с первым) по этой стороне);
2. от любого из многоугольников составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним и т.д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:

– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;

– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником. От сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.

Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.

Многогранник называется n- угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n- угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Многогранник называется n -угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n -угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани – параллелограммы, противоположными сторонами которых являются соответственные стороны оснований.

Для всякого многогранника нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В – Р + Г = 2 (теорема Эйлера). Для многогранника рода p справедливо соотношение В – Р + Г = 2 – 2p .

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Наиболее важны следующие выпуклые многогранники:

<Рис. 9>

1. правильные многогранники (тела Платона) – такие выпуклые многогранники, все грани которых одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные <Рис. 9, № 1-5>;
2. изогоны и изоэдры – выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны (изогоны) или равные все грани (изоэдры); причем группа поворотов (с отражениями) изогона (изоэдра) вокруг центра тяжести переводит любую его вершину (грань) в любую другую его вершину (грань). Полученные так многогранники называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда) <Рис. 9, № 10-25>;
3. параллелоэдры (выпуклые) – многогранники, рассматриваемые как тела, параллельным пересечением которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т.е. образовывали разбиение пространства <Рис. 9, № 26-30>;
4. Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то можно указать еще 4 невыпуклых (звездчатых) правильных многогранников (тела Пуансо). В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо грани – самопересекающиеся многоугольники <Рис. 9, № 6-9>.

III. Задание на дом.

IV. Решение задач № 279, № 281.

V. Подведение итогов.

Список использованной литературы:

1. “Математическая энциклопедия”, под редакцией И. М. Виноградова, издательство “Советская энциклопедия”, Москва, 1985 г. Том 4 стр. 552–553 Том 3, стр. 708–711.
2. “Малая математическая энциклопедия”, Э. Фрид, И. Пастор, И. Рейман и др. издательство Академии наук Венгрии, Будапешт, 1976 г. Стр. 264–267.
3. “Сборник задач по математики для поступающих в ВУЗы” в двух книгах, под редакцией М.И. Сканави, книга 2 – Геометрия, изд-во “Высшая школа”, Москва, 1998 г. Стр. 45–50.
4. “Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов”, издательство “Высшая школа”, Москва, 1979 г. Стр. 388–395, стр. 405.
5. “Повторяем математику” издание 2–6, доп., Учебное пособие для поступающих в ВУЗы, издательство “Высшая школа”, Москва, 1974 г. Стр. 446–447.
6. Энциклопедический словарь юного математика, А. П. Савин, издательство “Педагогика”, Москва, 1989 г. Стр. 197–199.
7. “Энциклопедия для детей. Т.П. Математика”, главный редактор М. Д. Аксенова ; метод, и отв. редактор В. А. Володин, издательство “Аванта+”, Москва, 2003 г. Стр. 338–340.
8. Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 10-е издание – М.: Просвещение, 2001. Стр. 68–71.
9. “Квант” № 9, 11 – 1983, № 12 – 1987, № 11, 12 – 1988, № 6, 7, 8 – 1989. Научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР. Издательство “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы. Стр. 5–9, 6–12, 7–9, 10, 4–8, 13, 16, 58.
10. Решение задач повышенной сложности по геометрии: 11-й класс – М.: АРКТИ, 2002. Стр. 9, 19–20.