ГАРМОНИЧЕСКИЕ И БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1.Гармонические функции.

1.1. Свойства гармонических функций.

Глава 2. Бигармоническая функция.

      Единственность решения.

      Представление бигармонических функций через гармонические функции.

      Решение бигармонического уравнения для круга.

Введение

Теория гармонических функций представляет собой один из наиболее изящных и стройных разделов классического анализа. Будучи во многих отношениях естественным обобщением линейных функций одной переменной, гармонические функции являются в определенном смысле простейшими функциями нескольких переменных. Вместе с тем запас таких функций весьма богат и разнообразен. Они занимают важное место не только во многих математических исследованиях, но также и в приложениях анализа к физике и механике, где ими часто описываются различные стационарные процессы.

Однако этим не исчерпывается значение гармонических функций в анализе. Ряд свойств гармонических и бигармонических функций, методы исследования и аппарат теории, рассмотренные в данной работе, служат образцом для постановки задач и получения тех или иных результатов, относящихся к другим разделам анализа, и прежде всего к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического вида.

В традиционном университетском курсе математического анализа по различным причинам не находится места для систематического изложения основных факторов теории гармонических и бигармонических функций. Содержащиеся там сведения о гармонических и бигармонических функциях, как правило, являются весьма скудными, носят эпизодический характер и разбросаны в различных местах, где они приводятся обычно на втором плане. Поэтому, при написании работы был взят материал из книг, посвященных дифференциальным уравнениям математической физики, векторному анализу, теории аналитических функций и другие.

Место, которое занимает теория гармонических функций в анализе, ее непрекращающееся развитие в различных направлениях и расширение области применений оправдывают стремление к ознакомлению с этой теорией в её классическом варианте, где уже достаточно четко намечены некоторые возможные точки зрения и сформулированы типичные методы, во многом определяющие направление ряда современных исследований. Именно с этой целью и написана данная работа.

Глава 1. Гармонические функции.

Гармонической в области D функцией называется действительная функция двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

(–символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация

гармонических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией.

      Свойства гармонических функций.

Выясним прежде всего связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1 . Действительная и мнимая части произвольной функции,однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.

Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши-Римана

В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения можно дифференцировать по и. Дифференцируя первое из них по, а второе по и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных находим:

Для функции доказательство аналогично.

Две гармонические в области D функции и, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряженными.

Теорема 2 . Для всякой функции, гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию.

В самом деле, рассмотрим интеграл

где - фиксированная, а - переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа, этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки; мы и обозначаем эту функцию. Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов,

(мы можем брать интеграл от до по горизонтальному отрезку, на котором; аналогично, . Следовательно, и является искомой функцией, сопряженной с функцией. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с, дает формула

где С – произвольная (действительная) постоянная.

Заметим, что в многосвязной области D интеграл определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей L и, соединяющих точки и, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области D (т.е. если внутри области, ограниченной L и имеются точки не принадлежащие к D). Можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции определяемой интегралом имеет вид:

где произвольные целые числа и интегралы вдоль замкнутых контуров, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы D:

Постоянные называются периодами интеграла

или циклическими постоянными.

Если в некоторой области D’, лежащей в D, можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции, определяемой формулой

То эта ветвь, очевидно, является гармонической функцией, сопряженной с поэтому функцию считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны: ; это вытекает из формулы.

Теорему2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2’ . Любую гармоническую в области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции; эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Теорема 3. Любая гармоническая функция является аналитической функцией своих аргументов и, т.е. в окрестности каждой точки области D она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда

В самом деле, по теореме 2’ можно рассматривать как действительную часть функции, однозначной и аналитической в некоторой окрестности точки. Пусть в этой окрестности

где. Действительная часть общего члена ряда, по абсолютной величине не превосходит, а так как по теореме Абеля ряд абсолютно сходится в любом круге, т.е. ряд сходится при, то и ряд с общим членом будет абсолютно сходиться при. Этот ряд и представляет собой ряд для. После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы получаем требуемый ряд

Теорема доказана.

Теорема 4(о среднем). Если функция непрерывна в замкнутом круге радиуса с центром в точке и гармонична внутри этого круга, то

Доказательство вытекает непосредственно из формулы

отделением действительных частей.

Теорема 5 . Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.

Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции является точкой максимума функции - ,также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция достигает максимума во внутренней точке области.

В окрестности точки построим однозначную аналитическую функцию такую, что. Функция аналитична и непостоянна, а ее модуль, по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области. это противоречит принципу максимума. Теорема доказана.

Теорема 6 . Если гармоническая во всей открытой плоскости функция ограничена хотя бы сверху или снизу, то она постоянна.

В самом деле, пусть ограничена сверху: Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию такую, что. По условию теоремы все значения функции лежат в полуплоскости, следовательно, постоянна, а значит, постоянна и.

Следующие две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций т.е. совокупностей точек, для которых.

Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция имеет замкнутую линию уровня то внутри линии находится хотя бы одна особая точка этой функции.

В самом деле, в противном случае функция, непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения и наименьшего значения. По теореме 5 точки и должны лежать на границе области, т.е. на линии уровня; следовательно, и функция постоянна.

Теорема 8 . Любая достаточно малая окрестность точки линии уровня разбивается этой линией на четное число секторов, в которых попеременно принимает значения, большие и меньшие.

Функция равна нулю в точке; подобрав к ней сопряженную функцию так, чтобы, получим аналитическую функцию, также равную нулю в точке. Обозначим через n порядок этого нуля, тогда в окрестности точки имеем и, следовательно, где положено и В- некоторые постоянные и означает малую порядка выше при. Отсюда видно, что для достаточно малых при изменении от 0 до 2 разность обращается в нуль 2 n раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.

Теорема 9 . Если функция непрерывна в области D и в любой точке для достаточно малых

то функция гармонична в D.

Наше доказательство основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения. Пусть - произвольная точка D и - замкнутая односвязная область, принадлежащая D и содержащая точку внутри. Построим гармоническую функцию, принимающую на границе области те же значения, что и функция и обозначим.

По построению и условиям доказываемой теоремы функция непрерывна в и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение в центре любого круга, принадлежащего, равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции и: первая по условию, а вторая по теореме о среднем.

Отсюда вытекает, что функция не может достигать экстремума во внутренних точках.но так как непрерывная в замкнутой области функция должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе. А так как на границе всюду максимальное и минимальное значения равны нулю, а следовательно, всюду в. Это означает, что всюду в функция совпадает с гармонической функцией и, в частности, гармонична в точке. Так как произвольная точка D , то теорема доказана.

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций, гармонических в области D и непрерывных в. Если ряд равномерно сходится на границе D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его сумма является гармонической в D функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда на границе области D следует, что для любого найдется целое число N такое, что для любого и любого целого положительного р и всех точек границы

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда. Остается показать, что сумма этого ряда - гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого имеем:

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны, следовательно,

и по теореме 9 функция гармонична в точке. Теорема доказана, так как произвольная точка области D.

Теорема 11. Если функция гармонична в области D и аналитическая в некоторой области функция, значения которой лежат в D, то сложная функция гармонична в.

В самом деле, построим (может быть, многозначную) аналитическую функцию, для которой. Функция, очевидно, аналитическая в области и, следовательно, гармонична в этой области.

Теорема 12. Если функция гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными в, то

где C – граница области D и обозначает производную в направлении нормали к C, a – дифференциал дуги.

Построим в сопряженную к гармоническую функцию; она однозначна в силу односвязности D. Условия Коши – Римана можно записать в виде

где обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а - производную в направлении нормали к ней (так, что вращение от вектора к происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных, а следовательно, и их комбинаций и, равенство имеет место и на границе C области D. поэтому вдоль замкнутого контура С

в силу однозначности функции.

Глава 2. Бигармоническая функция.

Уравнение называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

Основная краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом:

Найти функцию, непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению внутри S и граничным условиям на С

где и - непрерывные функции дуги s.

При решение задачи (с граничными условиями и на границе, кроме того, функция должна удовлетворять начальным условиям) с начальными условиями методом разделения переменных полагают, как обычно,

Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных значений уравнения

При граничных условиях

1.1Единственность решения.

Докажем, что бигармоническое уравнение

при граничных условиях

имеет единственное решение.

Пусть существует два решения и. Рассмотрим их разность

Функция удовлетворяет бигармоническому уравнению и однородным граничным условиям

Применяя формулу Грина

к функциям, получаем:

Принимая во внимание, что, получаем и. Следовательно, бигармоническая функция однозначно определяется граничными условиями

      Представление бигармонических функций через гармонические функции.

Докажем следующую теорему:

Если и - две гармонические в некоторой области G функции, то функция бигармонична в области G.

Для доказательства воспользуемся тождеством

Полагая, найдем

Применяя еще раз оператор, учитывая, что, получим:

Если область G такова, что каждая прямая параллельная оси, пересекает её границу не более чем в двух точках, то имеет место обратная теорема:

для каждой заданной в области G бигармонической функции найдутся такие гармонические функции и, что

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно установить возможность выбора функции, удовлетворяющей двум условиям:

Из условия и формулы следует:

Этому уравнению удовлетворяет функция

Так как =, то зависит только от:.

Определим функцию так, чтобы, и положим. Эта функция очевидно будет удовлетворять условиям.

Рассмотрим другой вид представления гармонических функций. Допустим, что начало координат выбрано внутри области G, в одной точке. Тогда любая бигармоническая в G функция может быть представлена с помощью двух гармонических функций и в виде. Здесь

А - заданная постоянная. Это доказывается Аналогично с помощью тождества

и соотношений.

      Решение бигармонического уравнения для круга.

Рассмотрим круг радиуса с центром в начале координат и будем искать бигармоническую функцию, удовлетворяющую при граничным условиям

Как было указано выше искомую функцию можно представить в виде суммы,

где и - гармонические функции. Из граничных условий находим:

Отсюда видно, что есть решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть представлено с помощью интеграла Пуассона

Из второго граничного условия получаем:

Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, что функция

Удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому может быть выражена интегралом Пуассона

Продифференцировав по и подставляя значение в формулу, найдем

Заменяя в формуле и их выражениями, получим:

Заключение.

Список используемой литературы

    Владимиров B.C., Уравнения математической физики, М., 1967;

    Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953;

    Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

    Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск. 1962;

    Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968;

    Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;

    Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л. 1950;

    Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгармонические функции и их обобщения;

    Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;

    Закону. В устройствах-потребителях... гармоническое развитие личностиРеферат >> Музыка

    Естественными и общественными условиями. Важнейшей задачей гармонического развития личности и массового эстетического воспитания... отношение к жизни и искусству характеризуют целостную, гармонически развитую личность, нравственное совершенствование которой...

Функция а(t) называется гармонической, если она изменяется по синусои-дальному или косинусоидальному закону:

а(t) = А m Cos(ωt + φ) = А m sin(ωt + ψ).

Здесь аргумент υ(t) = ωt + ψ называется фазой. Величина ψ = φ + π/2, равная значению фазы при t = 0 , называется начальной фазой. Наибольшее значение функции – амплитуда А m , наименьшее значение – (–А m).

Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ω её изменения называется угловой частотой и измеряется в
рад/с. Гармоническая функция – простейший вид периодической функции. Величина f, обратная периоду функции Т, называется линейной частотой и измеряется в герцах, обозначается Гц.

Установившимся режимом схемы называется такой, при котором закон изменения напряжения и тока не изменяется в течение всего исследуемого ин-

тервала времени. В противном случае режим является переходным.

Рассмотрим установившиеся процессы.

Построим график гармонической функции:

1. Выберем масштаб. По оси абсцисс – фазу ωt, чтобы определить период функции 2π. По оси ординат – амперы (если это функция тока) или вольты (если это функция напряжения). Отложим амплитуду функции А m (рис. 2.2):


3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на величину начальной фазы ψ. Если ψ > 0, то сдвигаем её влево, то есть функция а(ωt) опережает начало отсчета по оси абсцисс на величину ψ. Если ψ < 0, то сдвигаем вправо, то есть

функция а(ωt) отстает от начала отсчета на величину ψ.

Например, при , получим (рис. 2.4):



Пример 9 . Построить график функции тока i(t) = 2 Sin(ωt + ) А.

1. Выбираем масштаб по осям ординат (рис. 2.5).

2. Строим функцию i´(t) = 2 Sin(ωt +0) А (рис. 2.6).

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на влево, так как

Ψ = > 0 (рис. 2.7):


3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на вправо, так как

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Среднее и действующее значения гармонических токов и

Напряжений

Среднее значение периодической функции i(t) , u(t), за период Т определяется выражением:

Среднее значение не зависит от момента времени t 0 .

Среднее значение за период гармонической функции (а таковыми являются ток и напряжение (э.д.с.)) равно нулю.

Действующим значением периодической функции i(t) , u(t), называется среднее квадратическое значение этой функции за период Т:

.

По физическому смыслу действующее значение периодического тока за период – это такой постоянный ток, который, проходя черех неизменное сопротивление, выделяет то же количество тепла, что и данный ток.

Действующее значение I, U, E гармонической функции i(t) , u(t), в

Раз меньше амплитуды

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Следовательно,

Пример 11 . Ток i(t) = 5Sin(ωt + ). Определить среднее, действующее и
амплитудное его значения.

Среднее значение I СР = 0, так как i(t) – гармоническая функция. Амплитудное значение I m = 5 А, а действующее ) - 1 = 0,707·5 = =3,535 А.

Операции с комплексными числами

В математике и электротехнике находит достаточно широкое применение мнимая единица , лежащая в основе комплексных чисел.

В общем случае комплексные величины, за исключением тока и напряжения, обозначаются как символ и жирная черта под ним: А . Комплексные числа имеют пять форм представления.

Алгебраическая

А = а + jb; а = Rе [A ]; b = Im[А ] .

здесь а и b – соответственно действительная и мнимая составляющие числа А .

Показательная

А = А·е j ψ ,

где А = − модуль числа А , − аргумент числа А .

Полярная

Тригонометрическая

А = АCosψ + jАSinψ,

где АCosψ = а; АSinψ = b.

Геометрическая – число в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.11).

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные составляющие совпадают, а мнимые различаются только знаками, Сопряженное числу А комплексное число обозначается. Если А = а + jb, то = а – jb.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно делать в алгебраической и геометрической формах, однако в расчетах – только в алгебраической:

А 1 + А 2 = (а 1 + jb 1) ± (а 2 + jb 2) = (а 1 ± а 2) + j(b 1 ± b 2)

Умножение и деление лучше делать в показательной форме

А 1 ·А 2 = А 1 · А 2 · = А 1 ·А 2 · ,

=

Пример 12. Дано А 1 = 2 + j3; А 2 = 5 – j10. Определить сумму и разность
чисел А 1 и А 2 .

А 1 + А 2 = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

А 1 – А 2 = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Пример 13. Дано А 1 = 10·е j 30° ; А 2 = 20 е –j6 0° . Определить произведение
и частное чисел А 1 и А 2 .

Ā 3 = А 1 ·А 2 = 10·е j 30° · 20 е –j6 0° = 200·е –j3 0° .

Ā 4 = А 1 · = 10·е j 30º · (20 е –j6 0°) –1 = 0,5·е j 90º = 0,5j.

Очень часто в расчетах возникает необходимость перехода от показательной формы комплексного числа к алгебраической или наоборот. Предлагаются алгоритмы перехода.

Алгоритм перехода от показательной А·е jψ формы к алгебраической а + jb.

1. Определяем Cosψ.

2. Определяем А·Cosψ = а (сброс).

3. Определяем Sin ψ.

4. Определяем А·Sin ψ = b.

Алгоритм перехода от алгебраической а + jb формы к показательной А·е jψ .

1. Определяем – рассчитанный аргумент ψ.

2. Истинный аргумент ψ определяется по ψ РАСЧ в зависимости от квадранта в соответствии со схемой (рис. 2.12):

3. Определяем Sin ψ РАСЧ .

4. Определяем .

Пример 14 . Перевести А = 10· в алгебраическую форму.

А = 10· ; .

10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Перевести А =3 + j6 в показательную форму.

; ψ РАСЧ = arctg 2 = 63°; А = 6,7;

А = 6,7е j63° .

2.4. Представление гармонической функции на комплексной
плоскости

Установившиеся значения токов и напряжений линейных схем при воздействии гармонических сигналов в принципе могут быть найдены путем составления и решения соответствующих этим процессам дифференциальных уравнений. Однако это достаточно сложный путь.

В конце ХIХ века американскими инженерами А. Кеннели и И. Штейнметцем был предложен более простой путь, основанный на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, то есть на переводе исходных функций из временной области в частотную.

Введем понятие комплексных амплитудных значений гармонических функций тока (напряжения , э.д.с. ). Представим для этого каждую из этих функций в виде вектора на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде А m . При этом он вращается с круговой частотой ω против часовой стрелки (рис. 2.13).

+1

Если остановить вектор в произвольный момент времени t, то его проекция а(t) на мнимую ось определится:

а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) .

При t = 0 а(0) = А m ·Sinψ.

Таким образом, гармонической функции а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) соответствует комплексное число А m = А m е jψ .

Аналогично гармоническим воздействиям

i(t) = I m ·Sin (ωt + ψ i), u(t) = U m ·Sin (ωt + ψ u) и е(t) = Е m ·Sin (ωt + ψ е) значение тока или напряжения гармонической функции – это комплексное число, модуль которого равен действующему значению тока или напряжения, а аргумент равен начальной фазе гармонической функции. = 10 ()‾ 1 · = 7,07· В.

Справедливо и обратное преобразование.

Известно комплексное действующее значение тока = 0,2е j 70° А на частоте ω = 100 рад/с. Найти гармоническую функцию тока.

i(t) = I m ·Sin (ωt+ψ i) = I · ·Sin (ωt+ψ i) = 0,2· ·Sin (100t+70°) =

Гармоническая функция включает в себя не только верти­кальное сложение хоровой ткани, но и характер гармоничес­кого развития по горизонтали. К числу ее важнейших компо­нентов и признаков относятся расположение аккорда, его плотность, количество голосов и т.д. Наиболее типичным принципом вертикального расположения хорового аккорда яв­ляется принцип «от широкого - к узкому», суть которого в выстраивании широких интервалов внизу с постепенным сжа­тием их по мере перехода к высоким звукам в соответствии с обертоновым рядом. Расположение аккорда в хоре может быть тесным, широким и смешанным (включающим и тесное, и ши­рокое). Тесное расположение, как правило, производит впе­чатление компактности и собранности. Обычно оно использу­ется в однородном хоре (чаще - женском и детском, реже - мужском). Широкое расположение менее концентрированно и слитно, но зато более объемно и полно. Оно преимуществен­но применяется в смешанном и мужском хоре. Не менее часто в смешанных и мужских составах используется и смешанное расположение аккорда (в мужском хоре оно строится на пре­обладании широких интервалов в нижнем регистре и узких - в верхнем, а в смешанном - в постепенном переходе от широ­ких интервалов в мужских голосах к более узким - в жен­ских). При широком расположении, в отличие от тесного, поле свободного развития мелодического голоса ограничивается, что вызывает необходимость сужения его диапазона.

В гомофонно-гармоническом складе исторически выдели­лись три функции голосов:

В аккордовом складе, в отличие от гомофонного, - только две функции голосов: 1) бас; 2) гармонические голоса.

В целом же звучание хоровой вертикали зависит от мно­жества обстоятельств и условий, среди которых весьма суще­ственными являются: состав хора (однородный, смешанный, неполный), тесситура (низкая, высокая, средняя), плотность звучания, количество голосов, особенности их функциональ­ных связей, динамика, тембровая окраска. Особое влияние на характер звучания аккорда оказывает регистровая напряжен­ность составляющих его звуков. В том случае, если звуки ак­корда расположены в сходных регистрах, аккорд будет зву­чать слитно и уравновешенно. Если же звуки аккорда располагаются в различных по напряженности регистрах, то одни из них могут оказаться более сильными, а другие - бо­лее слабыми. Естественно, что это потребует от хормейстера соответствующей динамической и тембровой корректировки. Одним из приемов такой корректировки может быть измене­ние расположения аккорда, поскольку тесное расположение основывается на сочетании одних, а широкое - других регис­тров одного и того же голоса. В отличие от однородного хора, в котором более уравновешенным является тесное расположе­ние, в смешанном большую уравновешенность создает широ­кое расположение. Оно придает звучанию мягкость и глуби­ну, не лишая его при этом плотности и силы.



Тесное или широкое расположение голосов по вертикали оказывает влияние на динамические нюансы. Так, при широ­ком расположении - в силу удаленности голосов друг от дру­га - не всегда удается создать полноценное насыщенное forte, которое легче достигается при компактном тесном расположе­нии. Зависит динамика и от того, в каком (низком, среднем или высоком) регистре расположен аккорд. Для аккорда, рас 1 положенного в низком регистре, наиболее естественным ню­ансом будет piano, в среднем регистре - mezzo-forte, в высо­ком - forte. Самая широкая динамическая амплитуда возможна в среднем регистре. В нижнем регистре легко полу­чить тишайшее pianissimo, достичь же яркого, насыщенного forte очень трудно. Если же пытаться добиться большой звуч­ности искусственным путем, это может привести к интонационным погрешностям. В высоком регистре, напротив, представ­ляет большую трудность пение piano, что нередко вызывает по­нижение интонации. В целях увеличения насыщенности, плот­ности хоровой ткани и красочности звучания композиторы часто используют разделение партий на несколько голосов (divizi). В однородных и неполных составах хора такое разде­ление позволяет получить полнозвучные аккордовые комплек­сы, компенсирующие отсутствие какого-либо голоса. Исполь­зуется этот прием и для заполнения широких интервалов между голосами в момент кульминации, дабы создать ком­пактную и напряженную звучность. Divizi часто возникают в расходящихся мелодических ходах с постепенным рассло­ением хоровой партии до двух-трехголосия. Чаще же всего применение divizi связано с уплотнением гармонической вер­тикали хорового аккорда путем октавных удвоений (так на­зываемые дублировки), которые создают усиление звучнос­ти и дополнительные фонические эффекты (совпадение октавных обертонов нижних голосов с реально звучащими верхними). Вместе с тем divizi следует рассматривать не толь­ко как средство расцвечивания многоголосной хоровой па­литры, но и как фактор динамизации и развития звучности. В этой связи обратный процесс - слияние divizi в унисон является фактором противоположного выразительно-изобра­зительного воздействия.

Одним из важных условий удобства партитуры с точки зре­ния строя и ансамбля является ясность и логичность голосо­ведения. Чем ближе мелодическая линия каждого голоса к ес­тественному развитию в рамках гармонической вертикали, тем больше предпосылок для достижения хорошего строя и ансамбля.

В хоровой практике зафиксированы следующие наиболее типичные виды голосоведения: прямое, когда голоса движут­ся в одном направлении; параллельное, когда голоса движут­ся, в одном направлении, сохраняя между собой одинаковый интервал; косвенное, при котором один из голосов остается на месте; противоположное, когда голоса движутся в про­тивоположном направлении. Характер совместного движе­ния накладывает соответствующий отпечаток на хоровой колорит. Так, прямое и особенно параллельное движение (как разновидность прямого) создает условия для неизмен­ного объема звучности. При этом уравновешивание по звучности верхней и нижней линий происходит более естествен­но, если композитор или аранжировщик выбрал для них сходные регистры голосов.

Косвенное и противоположное движение обычно связано с изменением общего фактурного и звукового наполнения и объема: ощущение расширения при расходящемся движении и сужения - при сходящемся. В чистом виде на протяжении всей партитуры эти типы движения используются довольно редко. В большинстве случаев они гибко сочетаются и взаи­модействуют в зависимости от изменчивости музыкального об­раза и характера сочинения.

Заметим также, что от характера голосоведения в большой мере зависит выразительно-эмоциональная сторона произведе­ния. Некоторые его типы благодаря ярко выраженной экспрес­сии приобрели даже значение своего рода знака. Так, параллель­ное движение голосов при всем своем образно-экспрессивном богатстве воспринимается чаще всего как единый фонический комплекс, лишенный яркой драматической конкретности. На­против, встречное и противоположное движение мелодий и фак­турных пластов, обозначающее столкновение двух полярных тенденций - спада и подъема, ослабления и усиления энергии, - воспринимается как фактор, свидетельствующий о динамичес­ком и драматургическом развитии музыкальной ткани.

Наслоение - прием соединения, в котором порядок рас­положения голосов по вертикали определяется их естествен­ным высотным соотношением: тенора располагаются над ба­сами, альты - над тенорами, сопрано - над альтами.

Прием перекрещивания характеризуется тем, что при его использовании хоровая партия, более низкая по тесситуре, рас­полагается над вышестоящей (альты - выше сопрано, басы - выше теноров). Такое расположение обычно связано с особен­ностями голосоведения или со стремлением автора получить максимально слитное звучание аккорда.

Следует отметить, что подлинный ансамбль в хоре возникает в результате взаимодействия гармонических и мелодических фун­кциональных элементов хоровых голосов. Иллюстрацией такого взаимодействия является, например, мелодизация средних голо­сов хоровой партитуры, придающая гармоническому развитию гибкость и текучесть, или разнообразные проявления гармоничес­кого начала в самой мелодике. Уяснение роли и характера взаи­модвижения средних голосов, выполняющих роль сердцевины фактуры, ее внутреннего стержня, для дирижера и певцов очень важно. Как справедливо отмечает В.О. Семенюк, «жизнь средних голосов, интонационное выявление их взаимоотношений (прояв­ления "ростков" мелодичности в аккордовых последованиях и т.п.) является наиболее существенной и одной из главных сторон работы над многоголосной фактурой» 1 . Влияние мелодической функции на гармоническую явно просматривается и в фактуре, в частности в тесном или широком расположении голосов.

Солирующая партия звучит рельефнее, если вблизи нее не располагаются другие голоса с развитым голосоведением, ме­шающие восприятию ведущего голоса. Свободное пространство особенно необходимо в тех случаях, когда мелодия оказывает­ся окруженной голосами, выполняющими гармоническую функцию (с этим исполнители чаще всего встречаются при мелодико-гармоническом и гомофонном складе). Гораздо более выиг­рышна для тембрового обособления ситуация, когда мелодия рас­положена над или под сопровождающими голосами (фоном).

Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина (6) к этой функции U и к гармонической функции , получим, в силу

т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу , получим

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (13).

Отметим, что интегралы в формулах (12) и (13) не содержат производных второго порядка функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (S). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы (12) и (13) для сжатой области (D), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D) до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой . Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV.

Применим формулу (13) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в и радиусом R, считая, конечно, что

функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности (21)

В данном случае направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

и формула (13) дает

Но на поверхности сферы величина имеет постоянное значение R, так что

или, в силу (12), будем иметь окончательно

Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции:

Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этого утверждения. Пусть достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке той области где гармоническая функция. Построим сферу с центром и радиусом , принадлежащую применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением на сфере Таким образом получим

причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере есть постоянная, равная . Поскольку по предположению и есть наибольшее значение в мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно,

Равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что есть постоянная и во всей области

Пусть N - любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что Соединим с N линией конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри и пусть d - кратчайшее расстояние от границы S области D (d - положительное число). В силу доказанного выше равна постоянной в шаре с центром и радиусом d. Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мы имеем и по доказанному выше равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d. Пусть последняя точка пересечения l с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что что и требовалось доказать. Можно показать также, что не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в , может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции гармонические внутри D и принимающие на поверхности S этой области одни и те же предельные значения то разность будет также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно следует, что обращается в нуль тождественно во всей области ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения задачи Дирихле должны совпадать во всей области D. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обращаться в нуль.

Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу

и теорема о среднем будет выражаться в виде

где - окружность с центром и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.

Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функция, удовлетворяющая предельному условию

откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями т. е. решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функция входящая в предельное условие внутренней задачи Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию

В заключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверхности S. При этом надо только сделать предположение о порядке малости на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства

Связь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравнения Лапласа

В самом деле, дифференцируя первое из условий аналитичности

Мы найдем, что функция и- действительная часть аналитической функции - является гармонической функцией. Точно так же доказывается, что и мнимая часть аналитической функции является функцией гармонической.

будет аналитической в D. В самом деле, в силу уравнения (1)

в односвязной области вляется точным дифференциалом некоторой функции v, которая и является искомой. Таким образом, сопряженные гармонические функции находятся простым интегрированием.

Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций:

принадлежит области гармоничности и.

Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума: непостоянная гармоническая в области D функция не может достигать внутри D ни максимума, ни минимума.

должна достигать и мак-

всюду в D.

Возникает естественная задача восстановления гармонической в области функции по ее граничным значениям. Эта задача является основной в теории гармонических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется:

Приведенное выше рассуждение показывает, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей существование решения можно доказать прямой конструкцией.

применить интегральную формулу Коши:

и, следовательно,воспользуемся теоремой

Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, предварительно подсчитав, что

1 мы имеем

мы получим

теперь стоит действительный множитель. Отделяя в последней формуле действительные части, мы получим так называемый интеграл Пуассона

определяет гармоническую в круге функцию u(z) с заданными граничными значениями.

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию f(z) по граничным значениям ее действительной части:

эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной.

обозначают, соответственно, значения действительной части f на нижней и верхней границах полосы.

гармонична в А. Теорема доказывается прямым подсчетом, по которому оператор Лапласа

В частности, гармоничность сохраняется при конформных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования.

Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит следующая задача Римана:

Реализующую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Остается вернуться к переменной г и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображениях; мы получим искомое решение:

Которую искомое

отображение f переводит в центр круга w = 0 (рис. 19).

В ней функция f должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности z0 функция f должна иметь тейлоровское разложение вида

Но тогда логарифм этой

функции аналитичен в D, а значит, его действительная часть, т. е. функция

должна быть гармонической в D.

Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если f отображает D на единичный круг, то должен равняться 1 на границе D, а значит, еще не зная самого конформного отображения, мы знаем граничные значения функции (9), они равны

и определяются геометрической формой границы области и выбранной точкой z0 (рис. 19). Чтобы найти искомое конформное отображение, нужно, следовательно, выполнить следующие операции: 1) по известным граничным значениям (1СН построить гармоническую в D

функцию и(z) (задача Дирихле), 2) найти функцию v(z), гармонически сопряженную с и (интегрирование). Теперь мы знаем функцию

откуда искомое отображение находится по формуле

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция f аналитична в D и что на границе D ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает D на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения D на круг), то такая проверка излишня - проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11).

будет искомым конформным отображением.