Тема: «Функция у= х 2 и ее график».

Цели урока:

Образовательная: Ввести определение функции у= х 2 . Научить строить график этой функции.

Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.

Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

Что есть больше всего на свете? – Пространство.

Что быстрее всего? – Ум.

Что мудрее всего? – Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

3.Актуализация знаний.

Сегодня на уроке мы вспомним и повторим пройденный материал. А вот по какой теме вы узнаете, расшифровав её название, заменив каждую пару чисел буквой.

Итак, сегодня мы с вами будем говорить о функции, а точнее о функции у = х 2 . Откройте тетради и запишите тему урока «Функция у = х 2 , её свойства и график».

1. Какую зависимость называют функциональной или функцией?

2. Что такое аргумент и что такое функция?

3. Что называют областью определения функции?

Какой формулой задается линейная функция?

Что является графиком линейной функции?

Построить график функции у=2х-1. Проходит ли график функции через точки А(30; 59), В(-15; -29)?

4. Повторим координатную плоскость:

Что собой представляет прямоугольная система координат?

Что такое абсцисса точки?

Что такое ордината точки?

Какую координатную ось называют осью абсцисс?

Какую координатную ось называют осью ординат?

– Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, как вы думаете, почему? (Портрет Рене Декарта (1596-1650))

– «Для того, чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать», – писал Декарт. Декарт – знаменитый французский ученый, так проявил себя в литературном мастерстве, что занесен в ряд основателей французской прозы нового времени. Вообще-то он и начинал свою творческую жизнь с поэзии и много работал в этом жанре. Увековечил он себя в области математики и философии, а все же его последней работой была пьеса в стихах.

4. Изучение нового материала.

Как заметил Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы - математические знаки и геометрические фигуры - невозможно понять её слова. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

Обозначим через у площадь квадрата со стороной х. Тогда у = х 2.

Если изменять сторону х квадрата, то соответственно будет изменяться и его площадь у.

Понятно, что каждому значению переменной х соответствует единственное

значение переменной у. Следовательно, зависимость переменной у от переменной х является функцией. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице.

Соединив последовательно точки, получим график функции –парабола.

Точка (0;0) делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку – вершиной параболы.

Свойства функции у= х 2

Область определения	Все числа
Область значений	Все неотрицательные числа
	парабола
Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Я сегодня покажу ещё один способ решения уравнения– графический. Задание: Решить графически уравнение х 2 = ─ 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х 2 и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х 2 и

g(x) = ─2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х 2 ─ парабола

g(x) = ─2х + 3 ─ прямая

х = -3, х = 1.

5. Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 350, 353(1), 355(1), 357.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 355(2).

8. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Что нового для себя узнали?

В чём затруднялись?

Чему научились?

Какую проблему ставили на уроке?

Удалось ли нам её решить?

Напишите, как усвоили материал урока на листах обратной связи.

Получил хорошие знания.

Усвоил весь материал.

Усвоил материал частично.

9. Домашнее задание.

Выучить п.11. Решить № 351, 354(1), 359.

Инструкция

Способ подстановкиВыразите одну переменную и подставте ее в другое уравнение. Выражать можно любую переменную по вашему усмотрению. Например, выразите «у из второго уравнения:
х-у=2 => у=х-2Затем подставьте все в первое уравнение:
2х+(х-2)=10Перенесите все без «х в правую часть и подсчитайте:
2х+х=10+2
3х=12 Далее, чтобы «х, разделите обе части уравнения на 3:
х=4.Итак, вы нашли «х. Найдите «у. Для этого подставьте «х в то уравнение, из которого вы выразили «у:
у=х-2=4-2=2
у=2.

Сделайте проверку. Для этого подставьте получившиеся значения в уравнения:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестные найдены верно!

Способ сложения или вычитания уравненийИзбавьтесь сразу от -нибудь перемененной. В нашем случае это проще сделать с «у.
Так как в «у со знаком «+ , а во втором «- , то вы можете выполнить операцию сложения, т.е. левую часть складываем с левой, а правую с правой:
2х+у+(х-у)=10+2Преобразуйте:
2х+у+х-у=10+2
3х=12
х=4Подставьте «х в любое уравнение и найдите «у:
2*4+у=10
8+у=10
у=10-8
у=2По 1-ому способу можете , что найдены верно.

Если нет четко выраженных переменных, то необходимо немного преобразовать уравнения.
В первом уравнении имеем «2х, а во втором просто «х. Для того, чтобы при сложении или «х сократился, второе уравнение умножьте на 2:
х-у=2
2х-2у=4Затем вычтите из первого уравнения второе:
2х+у-(2х-2у)=10-4Заметим, если перед скобкой стоит минус, то после раскрытия поменяйте на противоположные:
2х+у-2х+2у=6
3у=6
у=2«х найдите, выразив из любого уравнения, т.е.
х=4

Видео по теме

Совет 2: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение , в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными . Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.

Вам понадобится

- линейное уравнение с двумя переменными;
- второе уравнение или дополнительные условия.

Инструкция

Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.

Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.

Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

как решить уравнение с одной переменной

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

- система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

решений уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений сложно и увлекательно. Чем сложнее система, тем интереснее ее решать. Чаще всего в математике средней школы встречаются системы уравнений с двумя неизвестными, но в высшей математике переменных может быть и больше. Решать системы можно несколькими методами.

Инструкция

Самый распространенный метод решения системы уравнений - это подстановка. Для этого необходимо выразить одну переменную через другую и подставить ее во второе уравнение системы, таким образом приведя уравнение к одной переменной. Например, дана уравнений:2х-3у-1=0;х+у-3=0.

Из второго выражения удобно выразить одну из переменных, перенеся все остальное в правую часть выражения, не забыв при этом сменить знак коэффициента:х=3-у.

Раскрываем скобки: 6-2у-3у-1=0;-5у+5=0;у=1.Полученное значение у подставляем в выражение:х=3-у;х=3-1;х=2.

В первом выражении все члены 2, можно вынести 2 за скобку распределительному свойству умножения:2*(2х-у-3)=0. Теперь обе части выражения можно сократить на это число, а затем выразить у, так как коэффициент по модулю при нем равен единице:-у=3-2х или у=2х-3.

Так же, как и в первом случае, подставляем данное выражение во второе уравнение и получаем:3х+2*(2х-3)-8=0;3х+4х-6-8=0;7х-14=0;7х=14;х=2.Подставляем полученное значение в выражение: у=2х-3;у=4-3=1.

Мы видим, что коэффициент при у одинаков по значению, но различен по знаку, следовательно, если мы сложим данные уравнения, то вовсе избавимся от у:4х+3х-2у+2у-6-8=0;7х-14=0;х=2.Подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и получаем у=1.

Видео по теме

Биквадратное уравнение представляет собой уравнение четвертой степени, общий вид которого представляется выражением ax^4 + bx^2 + c = 0. Его решение основано на применении метода подстановки неизвестных. В данном случае х^2 заменяется другой переменной. Таким образом, в итоге получается обычное квадратное уравнение , которое и требуется решить.

Инструкция

Решите квадратное уравнение , получившееся в результате замены. Для этого сначала посчитаем значение в соответствии с формулой: D = b^2 ? 4ac. При этом переменные a, b, c являются коэффициентами нашего уравнения.

Найдите корни биквадратного уравнения. Для этого возьмите корень квадратный из полученных решений . Если решение было одно, то будет два – положительное и отрицательное значение корня квадратного. Если решений было два, у биквадратного уравнения будет четыре корня.

Видео по теме

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.

Инструкция

Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .

Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

Итак, составим таблицу:

Рис. 1

По графику несложно отметить следующие свойства:

Ось у - это ось симметрии графика;

Вершина параболы - точка (0; 0);

Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

Наибольшего значения функции не существует;

Пример 1

Условие:

Решение:

Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение

Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Представим такую ситуацию: вы включаете телевизор, нажимаете на кнопку, где раньше всегда был 2х2, и... Понимаете, что 2х2 исчез. Главное - не паниковать. Это временно и очень легко лечится.

Если вы не нашли 2х2 на привычной кнопке, это не значит, что мы пропали навсегда. Это значит, что мы переехали на другую кнопку. Все, что надо сделать, - это просто перенастроить телевизор. Тогда "Симпсоны", "Гриффины", "Рик и Морти", "Губка Боб" и марафоны "Аватара" вернутся в вашу жизнь.

Если вы абонент "АКАДО " в Москве

Поднимаем победоносные кубки и запускаем в небо салюты: благодаря многочисленным просьбам абонентов 2х2 возвращается в основные пакеты "Акадо". С 1 ноября 2017 телеканал снова будет доступен как в открытой цифре (режим FTA), так и в аналоговом формате (пакет "Антенна АКАДО" на кнопке №37). Спасибо всем, кто беспокоился. Мы снова вместе! Так победим!

Если вы абонент "РОСТЕЛЕКОМ " в Санкт-Петербурге

С 4 сентября 2х2 изменил свое вещание в сетях ПАО "Ростелеком". Телеканала больше нет в аналоговой сети, но он доступен абонентам цифрового и интерактивного ТВ - продвинутой технологии для продвинутых нас.
Тема: «Функция у= х 2 и ее график».

Цели урока:

Образовательная: Ввести определение функции у= х 2 . Научить строить график этой функции.

Ход урока

1. Организационный момент.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

Что есть больше всего на свете? – Пространство.

Что быстрее всего? – Ум.

Что мудрее всего? – Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

3.Актуализация знаний.

(2;-2)	(-2;2)	(1;2)	(-2;-2)	(-1;1)	(1;-1)	(2;2)

У	А	Н	Я
Б	Ц	Т	Ш
Е	Д	И	О
К	Л	М	Ф

1. Какую зависимость называют функциональной или функцией?

Построить график функции у=2х-1. Проходит ли график функции через точки А(30; 59), В(-15; -29)?

4. Повторим координатную плоскость:

Что такое абсцисса точки?
Что такое ордината точки?

4. Изучение нового материала.

Обозначим через у площадь квадрата со стороной х. Тогда у = х 2.

Если изменять сторону х квадрата, то соответственно будет изменяться и его площадь у.

Понятно, что каждому значению переменной х соответствует единственное

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	9	4	1	0	1	4	9

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице.

Соединив последовательно точки, получим график функции –парабола.

Свойства функции у= х 2

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х 2 и

g(x) = ─2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х 2 ─ парабола

х	0	+ 1	+ 2	+3
у	0	1	4	9

g(x) = ─2х + 3 ─ прямая

х	-3	1
у	9	1

В
А

х = -3, х = 1.

5. Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

Решить № 350, 353(1), 355(1), 357.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 355(2).

8. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Что нового для себя узнали?

В чём затруднялись?

Чему научились?

Какую проблему ставили на уроке?

Удалось ли нам её решить?

Напишите, как усвоили материал урока на листах обратной связи.

Получил хорошие знания.
Усвоил весь материал.
Усвоил материал частично.

9. Домашнее задание.

Выучить п.11. Решить № 351, 354(1), 359.

Тема: «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень».

Цели урока:

Образовательная: Ввести определение квадратного корня, арифметического квадратного корня;

Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.

Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент.

Среди наук из всех главнейших

Важнейшая всего одна.

Для жизни очень всем нужна,
Познаешь цену знаниям своим,

2. Мотивация урока.

Опрос учащихся

Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной)

Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

Что называется областью значений функции?

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

С какими функциями мы с вами познакомились?

а) с линейной функцией вида у = кх + b, прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х, у = к/х

Что представляет собой график линейной функции? (прямая).

Сколько точек необходимо для построения данного графика?

Что является графиком функции у = х (парабола).

Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы)\

Какая из точек не принадлежит графику функции у=х

а) (64;8); б) (-81; 9); в) С (25; 5); г) Д (0,01; 0,1)?

Выполнить № 363.

Вводная беседа.

1. Сколько арифметических действий вы знаете?

(Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. 5 действий.)

2. Назовите обратные им действия. (Сложение и вычитание имеют по одному обратному действию, которые называются “вычитание” и “деление”.

Пятое действие – возведение в степень имеет два обратных действия:

а) нахождение основания

) нахождение показателя

Нахождение основания называется извлечением корня.

Второе действие - логарифмирование. Его будем изучать в 11 классе.

Займемся 1-м действием. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого известна, с давних времен встречалась обратная задача:

Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b?

Решить устно № 372, 373, 374.

Решим задачу:

Площадь квадратного листа равна 49 м. Чему равна длина стороны квадрата?

Решение: Пусть сторона листа – х м. Площадь S=x м. Так как 7=49 и (–7)=49, т.е. числа 7 и –7 называются квадратными корнями.

Определение : Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а .

Определение : Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .

Запись читается «квадратный корень из а», опуская при этом слово «арифметический».

А- подкоренное выражение, а знак-радикал (от латинского - корень).

Подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называется извлечением квадратного корня.

Равенство является верным, если выполняются два условия: 1) в 0 ; 2) в 2 =а . При а не имеет смысла.

Решить устно № 377, 378.

Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

5. Закрепление нового материала.

Вычислите: 1)

Решить № 379, 382, 383, 391.

6. Физкультминутка.

Во всех делах умеренность нужна,

Пусть будет главным правилом она.

Гимнастикой займись, коль мыслил долго,

Гимнастика не изнуряет тела,

Но очищает организм всецело!
Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

7. Самостоятельная работа.

Решить № 389(1-3).

8. Рефлексия.

Синквейн к слову «квадратный корень».

9. Д/з: выучить п.12, вопросы с.1-8 с.104, решить № 380-7б., 384-8б, 390(1-4)-10б., 392-12б.
Урок по теме «Уравнение вида х =а»

Цели урока:

Образовательная: Закрепить понятия квадратного корня, арифметического квадратного корня.

Научить решать уравнения вида х=а.

Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.

Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент:

Здравствуйте, друзья! Садитесь.

Мы урок наш начинаем,

Всем удачи пожелаем.

Вы друг друга поддержите

Постарайтесь, не ленитесь.

На 12 лишь трудитесь.

А дежурных прошу встать,

Кто отсутствует сказать.

2. Мотивация урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

Математика много дает для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует помять, внимание, закаляет характер. Надеюсь, что сегодня вы все будете работать с большим желанием узнать, что-то новое и в тоже время закрепить свои прошлые знания. Ведь как гласит народная мудрость: «Была бы охота – заладится всякая работа».

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.

Проверка д/з в виде математического диктанта № 380.

Устный опрос:

3. Как называется знак ?

5. Как читается запись ?

7. Как называется действие нахождения арифметического квадратного корня7

Докажите, что:

а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25

б) число 0.3 есть арифметический квадратный корень из 0,09

в) число –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49

г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.

Работа с таблицей квадратов на форзаце учебника.

Решить № 389(5-8), 381.

4. Изучение нового материала.

При любом значении х верно равенство

Решить №387, 389(9-12), 393, 401(1-3).

К понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида х=а, где а принимает неотрицательные значения?

Нахождение корней уравнения х=4 проиллюстрируем, решив графически уравнение.

В одной системе координат строим графики функций у=4 и у= х. Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и -2, которые и являются корнями данного уравнения.

Уравнение х=а не имеет корней при а

Уравнение х=а имеет единственный корень х=0 при а=0.

5. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Выполним задание,

Задержим дыхание.

Раз, два, три, четыре –

Снова дышим:

Глубже, шире…

глубоко вдохнули.

спину потянули,

руки вверх подняли

радугу нарисовали

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

6. Закрепление нового материала.

Найдите корни уравнения:

Решить № 395, 403(1, 2).

7. Самостоятельная работа.

Решить № 395(5, 6)

8. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.

Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии

1 строчка –уравнение;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка –предложение, выражающее личное отношение.

Д/з. Решить № 388, 394, 396, 404(1).
Урок по теме «Числовые множества»

Цели урока:

Образовательная: Ознакомить с числовыми множествами, закрепить понятия квадратного корня, арифметического квадратного корня.

Развивающая: Учить обобщению, систематизации знаний, делать выводы, сравнивать, анализировать.

Воспитательная: воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент:

Мы будем учиться, работать с охотой

И ничего не попросим взамен.

Как хорошо, что есть на свете

Две дружных команды:

Учащихся и учителей!

2. Мотивация урока.

Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить тонким.

Г. Уордсворт.

Сегодня на уроке, ребята, нам предстоит выполнить серьёзную работу. От вас потребуется усидчивость, стремление, внимание, последовательность и правильность выполнения заданий.

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.

Устный опрос:

1. Квадратным корнем из числа а, называется…

2. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется…

3. Как называется знак ?

4. Как называется выражение, стоящее под знаком корня?

5. Как читается запись ?

6. Какие значения может принимать подкоренное выражение?

7. Как называется действие нахождения арифметического квадратного корня?

8. Что значит решить уравнение?

9. Каковы корни уравнения х=а?

Решить № 383(устно), 397(2, 5), 402(2).

4. Изучение нового материала.

Числовые множества

Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов

Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q вида m/n, где m - целое число, а n - натуральное число.

Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Числа, не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.

Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью

Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел R : рациональных и иррациональных.

N Z Q R

Ответить на вопросы 1-15, с.115.

5. Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Расслабляться, отдыхать.

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

Замедляется движенье,

Исчезает напряжение…

И становится понятно –

Расслабление приятно!

6. Закрепление нового материала.

Решить:

устно № 426,

письменно № 427, 431.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 429 (работа в парах).

Решить № 398(1), 401(6), 428, 432..

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

Я узнал…

Я почувствовал…

Я увидел…

Я сначала испугался, а потом…

Я заметил, что …

Я сейчас слушаю и думаю…

Мне интересно следить за…

Тема: «Арифметический квадратный корень из произведения, степени и дроби»

Цели урока:

Образовательные: изучить

Воспитательная:

Развивающие:

Ход урока

1. Организационный момент:

2. Мотивация урока.

Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти

До самой сути.

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности истекших дней

До их причины,

До оснований, до корней,

До сердцевины

Всё время схватывая нить

Судеб, событий,

Жить, думать, чувствовать, любить

Свершать открытья.

На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.

Устный опрос:

1) Как называется выражение

2) Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

3) При каких значениях выражение имеет смысл?

Устный счет:

Вычислите: 1) 2) 3)

Найдите корни уравнения:

Что больше?

1) или 2) или 7?

Решить устно №429, 436.

Вопросы по домашнему заданию.

4. Изучение нового материала.

Свойства арифметического корня

Рассмотрим арифметический корень

Найдите значение выражения

Вывод: корень из произведения двух чисел равен произведению корней этих чисел

Доказательство:

1) значит - имеют смысл

Вычислите значения корня:

Можно ли применить теорему в данном случае?

5. Физкультминутка

Быстро встали, улыбнулись

Выше-выше потянулись.

Ну-ка, плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали. Сели, встали.

И на месте побежали.

6. Закрепление нового материала.

Решить:

письменно № 454(1-6, 11-16), 456(1-8), 458.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 462 (работа в парах).

8. Постановка домашнего задания .

Решить № 455(1-5, 9-12), 457(1-5), 459.

9. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Трудным ли для тебя был материал урока?
На каком из этапов урока было труднее всего, легче всего?
Что нового ты узнал на уроке? Чему научился?
Работал ли ты на уроке в полную меру сил?
Как эмоционально ты чувствовал себя на уроке?

Урок по теме: Тождество

Цели урока:

Образовательные: закрепить основные свойства квадратных корней, сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни, вычислять значения квадратных корней.

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность.

Развивающие: развитие памяти, развитие умений преодолевать трудности.

Ход урока

1. Организационный момент:

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, - улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.

Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.

Девиз урока: Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость,

А умело применять – великое искусство.

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.

Блиц-опрос.

1. Квадратным корнем из числа а, называется

2. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется____________________________________________________

3. Как называется знак __ __________ ______________________

4. Как называется выражение, стоящее под знаком корня____________________________________________________

5. Как читается запись __________________________________

6. Имеет ли уравнение х 2 =а корни при а>0, а=0, а ТО СКОЛЬКО?

7. Корень из произведений неотрицательных множителей равен

8. Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен____________________________________________________

Устный счет :

Найдите значение выражения:

Как вычислить корень быстро?

Проверим умение применять свойство квадратного свойства

4. Изучение нового материала.

Чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством .

Найти ошибку:

Решить № 452(1, 3, 5, 7, 9).

5. Динамическая пауза.

Раз! Два! Час вставати,

Будемо відпочивати

Три! Чотири! Посідаймо.

Швидко втому проганяймо.

П’ять! Шість! Засміялись,

Кілька раз понахилялись

Зайчик сонячний, до нас

Завітав у світлий клас

Будемо бігати, стрибати

Щоб нам, зайчика впіймати.

Прудко зайчик утікає

І промінчиками грає.

Сім, вісім! Час настав

Повернутися до справ.

6. Закрепление нового материала.

Решить:

письменно № 453(1, 2), 454(7, 8), 456(9), 468(1-8).

7. Самостоятельная работа.

Решить № 452(2, 4, 6, 8) (работа в парах).

8. Постановка домашнего задания .

Решить № 455(6-8), 457(6), 469(1-5), 453(3).

9. Рефлексия.

Выбери один из вариантов.

1. Я пришел на урок с хорошим / плохим настроением

2. Мне на уроке было интересно / не интересно

3. Я считаю, что на уроке работал хорошо / плохо.

4. Тема урока мне была понятна / не понятна.

5. Я ушел с урока с хорошим/ плохим настроением.

6. Я доволен / не доволен своей работой на уроке

Цели урока:

Образовательные: закрепить основные свойства квадратных корней, сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни, научить вычислять значения квадратных корней.

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность.

Развивающие: развитие памяти, развитие умений преодолевать трудности.

Ход урока

1. Организационный момент:

Среди наук из всех главнейших

Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,

Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

2. Мотивация урока.

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.

1. Устный опрос:

сформулируйте определение арифметического квадратного корня;
при каких значениях а выражение а имеет смысл?
имеет ли уравнение х 2 =а корни при а>0, а=0, а
какова область определения функции у= х? как расположен график этой функции в координатной плоскости?
сформулируйте свойство арифметического квадратного корня из произведения неотрицательных множителей.
каким свойством арифметического квадратного корня из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен.

2. Выполнив задания, расшифруйте имя и фамилию великого математика.

* =24 Л 4 =9 А

1,1 Ш (3 ) 2 = 45 С

13 К =70 Т

Р * =6 Й

1 Е = 1 В

13	9		24		1	1	6	1		1,1	70		9	45	45
к	а	р	л		в	е	й	е	р	ш	т	р	а	с	с

4. Изучение нового материала.

Для сравнения числовых выражений, преобразования иррациональных выражений необходимы навыки и внесения множителя под знак корня. Рассмотрим эти приемы на примерах.

Сравнить значение выражений и .
Выполним это с помощью вынесения множителя из-под знака корня Преобразуем иррациональное число . Представим число 75 в виде произведения двух множителей . Используем свойство корней из произведения получаем: . Теперь легко сравнить: .

Вынесем множитель из-под знака корня в выражении

Выражение имеет смысл только при (если а а 3 а 3 =а 2 а . Учитывая свойства квадратного корня получаем: .

Преобразование выражений содержащих квадратные корни

Рассмотрим другие способы преобразований выражений, содержащих квадратные корни.

Первый способ . Выражение, содержащее квадратные корни преобразуется в сумму подобных слагаемых, затем выполняется суммирование. Два или несколько выражений, содержащих квадратные корни, называются подобными , если каждое из них есть произведение рационального числа на один и тот же квадратный корень. Например, подобные выражения.

Упростить выражение:

5. Динамическая пауза.

Раз! Два! Час вставати,

Будемо відпочивати

Три! Чотири! Посідаймо.

Швидко втому проганяймо.

П’ять! Шість! Засміялись,

Кілька раз понахилялись

Зайчик сонячний, до нас

Завітав у світлий клас

Будемо бігати, стрибати

Щоб нам, зайчика впіймати.

Прудко зайчик утікає

І промінчиками грає.

Сім, вісім! Час настав

Повернутися до справ.

6. Закрепление нового материала.

Решить:

письменно № 480, 481, 487(1, 2), 489(1-4).

7. Самостоятельная работа.

Решить № 487(3) (работа в парах).

8. Постановка домашнего задания .

Решить № 482, 488(1), 491(1-4).

Творческое задание: сообщение «Растут ли корни в огороде», «Из истории иррациональности».

9. Рефлексия.

Заверши фразу в соответствии с твоим настроением на данный момент.

На следующих уроках мне бы хотелось…

Изучать…

Искать решения…
Тема: «Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратный корень»

Цели урока:

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность.

Развивающие: развитие памяти, развитие умений преодолевать трудности.

Ход урока

1. Организационный момент:

2. Мотивация урока.

Здравствуйте. Французский писатель 19 столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4

А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6

А. 0 Б. 62,93 В. 1 Г.8,2

А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0

А. 0,1 Б. 0,7 В.1 Г.0

Найти в записях допущенные ошибки и попытаться их исправить.

Повторим алгоритм ВЫНЕСЕНИЯ МНОЖИТЕЛЯ ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ:

1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.

2) Применим теорему о корне из произведения.

3) Извлечь корень

Выполнить вынесение множителя из-под знака корня:

4. Изучение нового материала.

ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ:

1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.

2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений.

3) Выполним умножение под знаком корня.

Внести множитель под знак корня:

Сравните значения выражений :

а) так как

б) так как а

Избавление от иррациональности в знаменатели дроби вида

Пример 1. .

Решение.

Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на :

Пример 2. Избавиться от иррациональности в знаменателе .

Решение.

Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю исходной дроби, т.е. на :

Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе .

Решение.

5. Релаксация.

Реснички опускаются…

Глазки закрываются…

Мы спокойно отдыхаем… (два раза).

Сном волшебным засыпаем…

Дышатся легко… ровно… глубоко…

Наши руки отдыхают…

Отдыхают, засыпают… (два раза).

Шея не напряжена…

Губы чуть приоткрываются…

Всё чудесно расслабляется… (два раза).

Дышится легко… ровно… глубоко.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 483, 492, 498, 506(1-3).

7. Самостоятельная работа.

1) закончите внесение множителя

2) сравните значения выражений

3) расположите в порядке возрастания числа

Сопутствующие вопросы:

Кто самостоятельно решил пример?
У кого возникали сомнения в ходе решения?
Кому требуется помощь в решении примеров?
Кто не понял решение примера?
С какой целью выполнили это задание?

8. Итог урока . Рефлексия.

Над какой темой работали?
Какие цели ставили в начале урока?
Кто достиг поставленной цели?
Дать качественную оценку работы учеников на уроке.

9. Постановка домашнего задания .

Повторить п.15.Решить № 484, 493(1-3), 507, 505.

Тема: «Функция у= и ее график».

Цели урока:

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учеников.

Проверь-ка, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте,

Все в порядке,

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

2. Мотивация урока.

Французский писатель 19 столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Пусть эти слова послужат девизом сегодняшнего урока, урока-путешествия в страну положительных и отрицательных чисел.

Ребята, а что у нас принято на уроке?

А еще сегодня нам на уроке пригодятся: