ФУНКЦИЯ - F(X) y=f(x).

Что такое функция f(х)?
Как бывший школьный учитель математики напоминаю тем, кто забыл.
Y – функция, Х-аргумент, f- закон, по которому находим Y.
Пример:
Поезд идет со средней скоростью 30 км. в час. Два часа в пути – 60 км прошел. 4 часа в пути – 120 км. и т.д. Чем больше времени поезд в пути, тем большее расстояние он проходит. Х и Y –переменные величины, и функция y =f(x) ,где Y – расстояние, a X – время в пути, и есть необходимый закон.
Вспомнили? Я тоже вспомнил, нo другое.
По окончании физмата Хабаровского пединститута меня направили на работу в Биробиджан, в школу номер 6, которая располагалась в поселке Сопка, за рекой, где стоял военный гарнизон, довольно многочисленный, со своим госпиталем, Домом офицеров, мастерскими по ремонту танков, деревянными двухэтажными домами, где жили семьи военослужащих.
Школа имела два здания: большое, кирпичное, двухэтажное, и маленькое, деревянное, одноэтажное, где располагались классы начальной школы – с 1-го по 4-й. В ней меня и поселили. В маленьком угловом классе я жил с бабушкой, которая поехала со мной, зная мою житейскую неприспособленность. Она мне варила, стирала, сидела рядом, когда я проверял тетради, защищала от работников местного КЭЧ, которые сильно хотели забрать наши две кровати, числящиеся у них на учете.
Зарплата была минимальная для учителя. 18 рабочих часов в неделю, три 5-х класса, самый трудный для учителя возраст. Денег нехватало даже на еду, и бабушка отказалась от мяса, ела картошку, так как считала, что мясо стоит слишком дорого. Хорошо, что не нужно было платить за свет, печное отопление и канализацию, которой не было. Кроме того, в классе, в котором я был классным руководителем, учились дети высокопоставленных офицеров гарнизона: сын командира части полковника Андронова, сын начальника госпиталя подполковника мед, службы Заровняева, дочь начмеда Жекова, дети врачей госпиталя и офицеров. Контроль за моей деятельностью, как воспитателя, был постоянный. Надо сказать, что дети этих высоких чинов были исключительно дисциплинированными, все они учились только на отлично, с ними было приятно работать. Мне был 21 год, я играл с ними в баскетбол, футбол, но, к сожалению, это не прибавляло денег в мой кошелек. К тому же, в классе учились и другие дети, которые резко отличались по уровню развития от детей военных.
Но мне, случайно, улыбнулась удача. Моя коллега сообщила мне, что требуется, временно, преподаватель математики в «Школу паровозных машинистов», которая существовала в то время в Биробиджане.
Это был хороший приработок. Меня приняли преподавателем по совместительству.
Известно, что на тепловозную тягу Дальний Восток перешел последним на Транссибе.
Студентами «Школы" были мужики, все старше меня: демобилизованные солдаты, бывшие заключенные, которых на Дальнем Востоке всегда было много, бывшие деревенские жители, часто малограмотные, хотя принимали в школу только закончивших семилетку. Школа давала им шанс хорошего заработка, и они «грызли гранит науки» очень добросовестно, хотя многим было трудно.

Однажды, когда я проверял тетради, бабушка привела посетителя, который искал в здании средней школы «Владимира Давидовича». Оказалось – курсант «Школы» по имени Вася Дорошенко, бывший деревенский житель из пригородного совхоза. Поставил на стол чемоданчик, открыл. Там – бутылка водки с закуской: деревенская колбаса, копченое мясо, деревенский хлеб. Я – опешил.
Васю я приметил давно, Он ничего не понимал из моих обьяснений, от опросов уклонялся, контрольные списывал.
-Что тебя привело ко мне?
-Владимир Давидович, я все понимаю, что Вы обьясняете, но функция F(X) ! Что это?
Мы с бабушкой еле-еле заставили Васю сложить все принесенное обратно в чемодан, я отставил в сторону тетради, и мы начали занятия. К своему ужасу, я обнаружил, что Вася не знает таблицы умножения. Дла меня это был шок. Теперь, с высоты своих лет и опыта я понимаю всю нищету моих тогдашних понятий. В дальнейшей своей жизни мне встретились и директор музыкальной школы, который всегда ходил с карандашом, на котором была таблица умножения, и жена моего друга, русского писателя Эдуарда П…… Наталия К........., - бывший преподаватель МАИ - профессор математики, которая сама мне сказала, что таблицу не знает до сих пор.
Но тогда, в далекой молодости, мне это казалось невероятным, отбивало охоту что-то обьяснять. Я сосредоточился на функции
F(x). Долго обьяснял, приводил примеры, что-то получилось. Вася встал удовлетворенный. Опять открыл чемодан, предложил выпить и закусить. Для меня выпивка - острый нож в сердце. Душа не приемлет, возможно, на генетическом уровне, хотя мой отец вернулся с фронта с большим пристрастием к водке.
Ах, водка! Сколько раз мне пришлось ее выливать незаметно, заменять, отдавать, когда участвовал в застольях, как гармонист, затем, баянист! Ведь на Руси всегда первый стакан – гармонисту!
Наконец, мы убедили Васю снова собрать все в чемоданчик. Он сказал, что идет в туалет и больше не вернулся. Чемоданчик остался на столе.
Я боялся, что его примеру последуют и другие курсанты, имеющие с математикой проблемы, но обошлось. Очевидно, сработал слух, что я не пью.
Вася «Школу» закончил. Я уже там в это время не работал, вернулась прежняя преподавательница, которая была в декрете. Скоро «Школу» закрыли. Дорога переходила на тепловозную тягу, значит снова Васе учиться. Мне, наконец, дали две небольшие комнаты в «коммуналке» и мои родители, жившие в городке Пограничный, возле Уссурийска, все бросили и приехали ко мне.
А Вася? Думаю, что стал достойным железнодорожником и без функции Y = F(X).
А эта функция, как маленький золотой ключик, открывает потайную дверь в ту область знаний, которая приучает человека мыслить отвлеченно, абстрактно и которая на всех великих языках называется почти одинаково – МАТЕМАТИКА.
P.S.
|Эти дети, у которых я был классным руководителем в 5,6,7,8 классах, были моими первыми учениками в моей учительской карьере, я их запомнил навсегда. Они – на 10 лет младше меня, сегодня им – по 68. Некоторые из них стали очень известными людьми в России и Израиле.

Рецензии

Здравствуйте, Владимир! С удовольствием и интересом прочитал Ваш рассказ. Должен сказать, что к старости пропадает желание читать выдуманные истории, даже если написано хорошим языком и, с художественной точки зрения, правдиво. Не знаю, хорошо это или плохо. ...А математику я люблю. Как и Вы. С уважением, Юрий.

ОБРАТИ ВНИМАНИЕ
Понятие функции в школьном курсе математики часто встречается и хорошо известно ученикам. Слово «функция» используется в математике в нескольких смыслах, об этом в школе говорят редко, а в учебниках эта тема почти не затрагивается. Поэтому мы прежде всего обратимся к определению функции и другим относящимся сюда понятиям и подробно остановимся на тех различных пониманиях слова «функция», которые встречаются в школьном курсе математики.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Понятия переменной величины и функции фактически в неявном виде использовались в математике задолго до появления работ французских математиков П. Ферма (1601 - 1665) и Р. Декарта (1596 - 1650), в которых они ввели метод координат. Этот метод использовали для графического исследования свойств функции и графического решения уравнений. Термин "функция" ввел немецкий математик Г. Лейбниц (1646 - 1716). У него функция связывалась с графиком.

Под влиянием Л Эйлера (1707 - 1783) И. Бернулли (1667 - 1748) функцию стали понимать как аналитическое выражение, т. е. выражение, состоящее из переменных, чисел и знаков действий. У Л Эйлера появился и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной от другой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах Н.И. Лобачевского (1792 - 1856) и немецкого математика Дирихле (1805 - 1859). Примерно с этого момента функцию стали понимать как соответствие между числовыми множествами, которое могло быть установлено различными способами (таблицей, графиком, формулой, описанием).

Функция.

Самым общим (и, безусловно, основным) является в математике следующее определение понятия функции.

Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее определение.

Пример 1. Обозначим через А множество всех треугольников на плоскости, а через В - множество всех окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем считать областью определения, а множество В - областью значений (той функции, которую мы определяем). Наконец, каждому треугольнику поставим в соответствие окружность, вписанную в этот треугольник. Это есть вполне определенное правило, которое каждому элементу, взятому из области определения (т. е. треугольнику), ставит в соответствие некоторый элемент из области значений (т. е. окружность).

Пример 2. Сохраним те же самые множества А и В , что и в примере 1, т. е. по-прежнему будем считать областью определения множество всех треугольников на плоскости, а областью значений - множество всех окружностей. Далее, каждому треугольнику поставим в соответствие его описанную окружность. Мы получаем функцию с той же областью определения А и той же областью значений В . Но это уже другая функция, так как окружность сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.

Пример 3. Обозначим через К множество всех кругов на плоскости, а через D - множество исех действительных чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и каждому элементу множества К .(т. е. кругу) поставим в соответствие число, равное площади этого крута. Мы получаем функцию с областью определения K и областью значений D .

Пример 4. Обозначим через N множество всех натуральных чисел, а через R - множество всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a и r и каждому натуральному числу n поставим в соответствие действительное число, равное n -му члену арифметической прогрессии с первым членом а и разностью r (т. е. натуральному числу n поставим в соответствие действительное число а + (n - 1)r. Мы получаем функцию с областью определения N и областью значений R .

Пример 5. Теперь мы примем и в качестве области определения, и в качестве области значений множество R всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа а и r и каждому действительному числу х поставим в соответствие число а + (х - 1)r . Мы получаем функцию с областью определения R и областью значений R . Заметим, что в примерах 4 и 5 одинакова область значений R и одинаково правило соответствия: формулы a + (n - 1)r и а + (х - 1)r показывают, что в обоих случаях надо над выбранным числом (n или х ) проделать одни и те же действия, чтобы узнать, какое число поставлено ему в соответствие. Однако области определения этих двух функций различны, и потому мы имеем в примерах 4 и 5 разные функции. Таким образом, для задания функции мало указать правило соответствия, а надо еще обязательно указать область определения и область значений.

Для обoзначения функций обычно пользуются буквами. Одна буква (чаще всего х ) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области определения функции. Эта буква называется аргументом. Таким образом, если сказано, что х - аргумент некоторой функции, то вместо х мы можем подставить любой элемент, принадлежащий области определения этой функции. Далее, другая буква (чаще всего у ) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области значений. Эта буква называется функцией (и это второе значение слова «функция»). Наконец, третья буква (чаще всего f используется для обозначения правила соответствия. Это значит, что если а - произвольное значение аргумента (т. е. произвольный элемент, взятый из области определения функции), то элемент, поставленный ему в соответствие, обозначается через f(a) . Элемент у = f(a) называется значением рассматриваемой функции при х = а. Все три буквы х, у, f объединяются одной записью: y = f{x) . («игрек равен эф от икс»), которая и означает, что х - аргумент, y - функция, f -правило соответствия. Иногда букву y или выражение f(х) также называют функцией (и это - уже третье значение слова «функция»).

Пример 6. Обратимся снова к функции, рассмотренной в примере 4. Аргумент обозначим через n , функцию - через у, а правило соответствия - через f . Таким образом, мы запишем эту функцию в виде y = f(n) . Вот несколько значений этой функции:

f(1) = а 1 , f(2) = а 2 , где a 2 = a 1 + r и т. д.

Пример 7. Рассмотрим функцию у = q(х) , у которой областью определения и областью значений является множество R всех действительных чисел, а правило соответствия имеет - следующий вид:

Вот несколько значений этой функции: q(-15) = 0, q(-23) = 0, q(-1) = 0, q(0) = 0, q(1) = 1, q(3) = 3, q(14) = 14, q(107) = 107, ...

Разумеется, вместо букв х, у, f можно использовать и другие буквы. Например, запись s = p(t) означает, что s есть функция аргумента t (или короче: s есть функция от t ), причем правило соответствия обозначается буквой р .

Следует подчеркнуть, что область значений функции представляет собой множество элементов (или чисел), среди которых обязательно содержатся все значения рассматриваемой функции. Однако в области значений могут содержаться и «лишние» элементы, не являющиеся значениями функции. Иными словами, множество значений функции обязательно содержится в области значений, но не обязательно совпадает с ней. Так, в примере 3 значениями функции являются лишь положительные числа, тогда как область значений есть множество всех действительных чисел. Несовпадение множества значений функции и области значений можно видеть также в примерах 4 и 7.

В заключение рассмотрим еще одно (четвертое!) понимание слово «функция», являющееся для школьного курса математики наиболее важным. Именно, функцией называют произвольное выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действий и числа.

Например, функциями (в этом смысле) являются

y = x 2 + 2 (2),

(3),

y = | 7x - 3 | (4),

Почему же такие формулы называют «функциями» и не противоречит ли это понимание функции сказанному выше?

Связь со сказанным выше устанавливается следующим соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем придерживаться:

Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х или другую букву, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать:
1) что за область значений принимается все множество R действительных чисел;
2) за область определения принимается множество всех тех действительных чисел, при подстановке которых вместо х выполнимы (в множестве действительных чисел) все действия, указанные в правой части;
3) если число а принадлежит области определения, то значение функции при х = а равно числу, получающемуся, если в правую часть подставить х = а и произвести указанные действия.
Итак, задание функции формулой содержит в себе и указание области определения, и задание правила соответствия.

Пример 8 . y = x 2 + 3.

В выражении, стоящем в правой части равенства, указан действия возведение в степень и сложение, они выполнимы при любом действительном значении х, т. е. областью определения функции является все множество D действительных чисел (или, иначе, бесконечный интервал

Пример 9. Найти область определения функции.

В выражении, стоящем в правой части равенства, указаны действия: возведение в степень, умножение, сложение, извлечение квадратного корня и деление. Первые три действия всегда выполнимы. Извлечь квадратный корень можно лишь тогда, когда x 2 - 90, а деление возможно, если x - 50. Так как x 2 - 90,
при x(-; -3]}