Формула свертки. Устойчивость нормального распределения.

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х-погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача-найти закон распределения суммы погрешностей.

Случай 1. Пусть Х и Y-дискретные независимые случайные величины . Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

Х
Р 0,4 0,6
Y
P 0,2 0,8

Составить распределение случайной величины Z=X+Y.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения Х со всеми возможными значениями Х.

Найдем вероятность этих возможных значений. Для того чтобы Z=4 достаточно, чтобы величина Х приняла значения х 1 =1 и величина Y-значение y 1 =3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равно 0,4 и 0,2.

Поскольку случайные величины Х и Y независимы, то события Х=1 и Y=3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е вероятность события Z=1+3=4) по теореме умножения равна 0,4·0,2=0,08.

Аналогично найдем

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместимых событий Z=z 2 и Z=z 3 . (0,32+0,12=0,44)

Z
P 0,08 0,44 0,48

Контроль: 0,08+0,44+0,48=1.

Рассмотрим общий случай:

Пусть Х и Y-независимые случайные величины, принимающие значения. Обозначим через, .

Z=X+Н. Обозначим через

Таким образом, -формула свертки.

Случай 2. Пусть Х и Y-непрерывные случайные величины.

Теорема. Если Х и Y-независимые непрерывные случайные величины, то случайная величина Z=X+Y-также непрерывна, причем плотность распределения случайной величины Z -формула свертки.

o Плотность распределения суммы независимых случайных величин называется композицией.

Замечание. Если возможные значения X и Y неотрицательны, то формула свертки .

o Закон распределения вероятностей называется устойчивым , если композиция таких законов есть тот же закон распределения (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойствами устойчивости, т.е. композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение, причем математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых:

В частности, если Х~N(0,1) и Y~N(0,1), то Z=X+Y~N(0,2).

Пример 2. Пусть случайная величины Х 1 ,…,Х k -независимы и имеют показательное распределение с параметром λ>0, т.е. .

Найти плотность распределения.

Если x≤0, то.

Проводя аналогичные рассуждения, получим:

Числовые характеристики системы

Двух случайных величин.

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий используют и другие характеристики. К их числу относятся ковариация и коэффициент коррекции.

o Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число, где.

Для непрерывных случайных величин X и Y используют формулу.

Покажем, что если случайные величины Х и Y независимы, то. Пусть Х и Y-непрерывные случайные величины

o Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число.

Свойства корреляции.

Свойство 1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

Свойство 2. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

Свойство 3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Пусть Х и Y-независимы, тогда по свойству математического ожидания

o Две случайные величины Х и Y называют коррелированными , если их коэффициент корреляции отличен от нуля.

o Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0.

Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Коэффициент корреляции характеризует тенденцию случайных величин к линейной зависимости. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем больше тенденция к линейной зависимости.

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения .

Если x .- случайная величина, то функция F (x ) = F x (x ) = P (x < x ) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P (x < x ) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x .

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением .

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

функция двух случайных аргументов:Если каждой паре возможных значений случайных величин и соответствует одно возможное значение случайной величины, то называют функцией двух случайных аргументов и и пишут:

Если и - дискретные независимые случайные величины, то для того, чтобы найти распределение функции, надо найти все возможные значения, для чего достаточно сложить каждое возможное значение со всеми возможными значениями; вероятности же найденных значений равны произведениям вероятностей складываемых из значений и.

19. Закон больших чисел. теоремы закона больших чисел устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью.

Закон больших чисел- это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Неравенство Чебышева.

Лемма: Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание М(Х) и дисперсию Д(Х), то для любого положительного eсправедливо неравенство

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , Х 3 , ..., Х n , дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что среднее арифметичес­кое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.



частный случай теоремы Чебышева:Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х 1 , Х 2 , Х 3 , ..., Х n ,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, ..., п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение x i случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение x i можно считать случайной величиной X i .

Теорема Бернулли. Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство

Переходя к пределу, имеем Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность того, что отклонение числа т появления события в п испытаниях от ожидаемого результата пр не превысит определенного числа e. Для данной оценки неравенство переписывают в виде

20.Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.



Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Xv Х2, ..., Хп. Вид функции Z = ср (Хр Х2, ..., XJ и ее
(Эконометрика)
  • х с плотностью распределения рх. Другая случайная величина у у
  • Ожидаемые и воображаемые случайности в международных отношениях
    Случай - псевдоним Бога, когда он не хочет подписаться своим собственным именем. Анатоль Франс В теории международных отношений прочно закрепилось представление об их системном характере. Обнаружение отличий в проявлении важнейших системных признаков дало возможность выстроить историю международных...
     (Социология воображения международных отношений)
  • Определение числовых характеристик функций случайных аргументов
    Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функций случайных аргументов в следующей постановке. Случайная величина Z является функцией системы случайных аргументов Xv Х2, ..., Хп. Вид функции Z = ср (Хр Х2, ..., XJ и ее параметры известны, а числовые характеристики...
     (Эконометрика)
  • Законы распределения функций случайных аргументов
    Имеется непрерывная случайная величина х с плотностью распределения рх. Другая случайная величина у связана с нею функциональной зависимостью Плотность распределения величины у в случае монотонной функции / согласно определяется следующим образом: где /_1...
     (Численный вероятностный анализ неопределенных данных)
  • ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
    МЕТОД СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ Описание стратегии поиска глобального экстремума Метод случайного поиска глобального экстремума с последовательной редукцией области исследования, метод Лууса- Яакола (Luus- Jakola, LJ), применим к решению задачи...
     (Метаэвристические алгоритмы поиска оптимального программного управления)

    • Если каждой паре случайных величин
    исоответствует одно из возможных значений случайной величи- ны, то
    называют функцией двух случайных агументов
    и. На практике наиболее часто встре- чается задача - найти закон распределения функции
    по известным распределениям слагаемых. Напри- мер, если
    - погрешность показаний некоторого измеритель- ного прибора (распределена, обычно, нормально) , а- погрешность округления показаний этого прибора (распределе- на равномерно), то возникает задача - найти закон распреде -ления суммы погрешностей
    .


    которые заданы своими законами распределения. Тогда воз- можные значения случайной величины
    - это все возможные значения сумм значений
    и, а вероятности соответствующих значенийнаходятся, как произведения со- ответствующих вероятностей значений
    и, входящих в

    и как суммы этих произведений, в случае, если одному значению суммы отвечают различные комбинации значений
    и.

    Пример 1. Пусть даны ряды распределения дискретных случайных величин
    и.

    Тогда функция
    принимает значения: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Вероятности этих значений находим, используя теоре -мы умножения и сложения вероятностей следующим образом:

    Получаем ряд распределения случайной величины :

    Сумма вероятностей, стоящих в нижней строке, равна 1, поэтому эта таблица в самом деле задаёт ряд распределения случайной величины
    .

    7.2. Пусть теперь
    и-непрерывные случайные величины. Если
    и- независимы, то зная плотности таспределения случайных величин
    и-
    , соответственно, плотность распределения случайной величины

    можно найти по одной из следующих формул:

    ;

    .

    В частности, если
    принимают только положи- тельные значения на промежутке
    , то выполняютя сле- дующие формулы:


    ПРИМЕР 2. Пусть независимые случайные величины
    изаданы своими плотностями распределения:


    Найти закон распределения случайной величины
    .

    Таким образом,

    Легко проверить, что выполняется основное свойство плотнос -ти распределения, а именно,

    § 8. Системы случайных величин

    8.1 Законы распределения системы случайных величин.

    Все случайные величины, которые рассматричались до сих пор, определялись одним числом (одним аргументом) - одно -мерные случайные величины. Но, кроме них, можем рассмот- реть величины, которые зависят от двух, трёх и более аргу –ментов, так называемые, многомерные случайные величины, которые можно рассматривать как системы одномерных слу -чайных величин. Через
    - обозначают двумерную слу- чайную величину, а каждую из величин
    и- называютсоставляющей (компонентой) .

    Двумерную случайную величину называют дискретной , если её составляющие - дискретные случайные величины.

    Непрерывной называют двумерную случайную величину, сос- тавляющие которой - непрерывные случайные величины.

    Законом распределения дискретной двумерной случайной величинв называют таблицу вида:

    Так как события
    ,

    образуют полную группу несовместных событий, то сумма всех вероятностей, стоящих в таблице, равна единице.

    Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти закон распределения каждой составляющей:

    (сумма вероятностей в столбце таблицы);

    (сумма вероятностей в строке таблицы).

    Пример 1 . Дан закон распределения двумерной случайной величины:

    Составить законы распределения случайных величин
    и.

    Случайная величина
    имеет распределение:

    Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , которая имеет смыс как для дискретных, так и для непрерыв- ных случайных величин. Геометрически это равество можно истолковать, как вероятность того, что случайная точка
    попадает в бесконечный квадрат с вершиной в точке
    , расположенный левее и ниже этой вершины.

    ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

    Свойство 1.
    .

    Свойство 2. Функция распределения - неубывающая функция по обоим аргументам, т.е.

    Свойство 3. Для всех ивыполняются следующие соотношения:

    Свойство 4. Функции распределения составляющих можно найти из равенств:

    Определение. Плотностью совместного распределения ве- роятностей двумерной непрерывной случайной величины назы- вается вторая смешанная производная от фукнкции распреде –ления, т.е.

    .

    Пример 2. Дана функция распределения системы случайных величин
    :
    Найти её плотность распределения.

    Пусть известна плотность распределения системы случай - ных величин
    -
    . Тогда функцию распределе -ния можно найти, используя равенство:

    ,

    Это непосредственно следует из определения плотности рас- пределения.

    Вероятность попадания
    в область
    определя -ется равенством

    СВОЙСТВА ДВУМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

    Свойство 1. Двумерная плотность распределения всегда по- ложительна:

    Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконеч - ными пределами интегрирования от плотности распределения равен единице

    Если известна плотность совместного распределения веро- ятностей системы двух случайных величин, то можно найти плотности распределения каждой составляющей.
    но
    . Тогда

    .

    Аналогичным образом получаем

    ,

    Пример 3. Пусть дана двумерная плотность распределения

    Найти плотности распределения случайных величин
    и

    при
    и равна нулю вне этого промежутка. Аналогично, ввиду симметрии функции
    относительнои, получаем:

        Условные законы распределения.

    Понятие, аналогичное понятию условной вероятности для случайных событий
    , можно ввести для характеристики зависимости между случайными величинами.

    Рассмотрим отдельно случаи дискретной и непрерывной двумерной случайной величины.

    а) Для дискретной двумерной сдучайной величины, заданной таблицей:

    условные вероятности вычисляются по формулам:

    Замечание. Суммы соответствующих условных вероятностей равны единице, т.е.

    Пример 4. Пусть дискретная случайная величина задана таблицей:

    Найти условный закон распределения составляющей
    при условии, что случайная величинаприняла значение.

    Очевидно, что сумма этих вероятностей равна единице.

    б) Для Непрерывной двумерной случайной величины услов -ной плотностью распределения
    составляющей
    при данном значении
    называют отношение

    ,

    аналогично, условной плотностью распределения
    при данном значении
    -
    .

    Пример 5. Пусть плотность совместного распределения не- прерывной двумерной случайной величины
    задана функцией:
    . Найти условные плотности распределения составляющих.


    При вычислении использовали интеграл Пуассона

    Тогда условные плотности распределения имеют вид:

        Условное математическое ожидание.

    Определение. Условным математическим ожиданием диск- ретной случайной величины при
    называется сумма произведений возможных значенийна их условные вероят -ности:

    аналогично

    Пример 6. Пусть двумерная дискретная случайная величи -на задана таблицей:

    Найти условные математические ожидания: при
    и
    при

    Тогда

    Тогда

    Для непрерывных величин:

        Зависимые и независимые случайные величины.

    Определение. Две случайные величины называются незави- симыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. Из этого определения следует, что условные законы распределения независимых случайных величин равны их бе – зусловным законам распределения.

    ТЕОРЕМА.
    ибыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выпол -нялось равенство:

    Доказывать теорему не будем, но как следствие, получаем:

    Следствие. Для того, чтобы случайные величины
    ибыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плот -ность совместного распределения системы
    была рав -на произведению плотностей распределения составляющих, т.е.

        Числовые характеристики системы двух случайных

    величин. Корреляционный момент. Коэффициент

    корреляции.

    Определение. Корреляционным моментом
    системы слу- чайных величин
    иназывают математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

    Замечание 1. Нетрудно убедиться, что корреляционный мо -мент можно записать в виде:

    Замечание 2. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю.

    Это следует из условия независимости случайных величин.

    Замечание 3. Для корреляционного момента случайных ве – личин
    ивыполняется неравенство

    Определение. Коэффициентом корреляции
    случайных величин
    иназывают отношение корреляционного мо -мента к произведению средних квадратических отклонений этих величин, т.е.

    (2)

    Если случайные величины независимы, то их корреляци- онный смомент равен нулю и, соответственно равен нулю их коэффициент корреляции.

    Учитывая замечание 3, получаем основное свойство коэффициента корреляции:

    (3)

    Пример 7. Рассмотрим случай системы дискретных случай- ных величин, распределение которых забано таблицей:

    Найти математические ожтдания и дисперсии составляющих и найти для них коэффициент корреляции .

    Найдём одномерные законы распределения составляющих

    и их числовые характеристики.

    Для

    Для

    Математическое ожидание произведения:

    Тогда корреляционный момент равен:

    И окончательно, коэффициент корреляции равен:

    Это означает, что случайные величины
    иимеют очень слабую зависимость.

    Рассмотрим аналогичную задачу для случая непрерывных случайных величин.

    Пример 8. Пусть система случайных величин
    подчинена закону распределения с плотностью:

    где область . Найти значение параметра, числовые характеристики случайных величин
    ии их коэффициент корреляции.

    Область
    - это треугольник:

    0 2

    Сначала найдём значение параметра , учитывая ос -новное условие плотности распределения:

    В нашем случае,

    Отсюда,
    и плотность распределения имеет вид:

    Найдём числовые характеристики составляющих.

    Так как функция
    и область
    симметричны относи -тельнои, то числовые характеричтики случайных вели -чин
    исовпадают, т.е.

    Математическое ожидание произведения случайных величин


    Корреляционный момент равен:

    И окончательно,

        Коррелированность и зависимость случайных

    величин

    Определение. Две случайные величины
    иназываюткоррелированными , если их корреляционный момент (или, что равносильно, коэффициент корреляции) отличен от нуля.

    Коррелированные величины являются зависимыми. Обрат -ное предположение не всегда имеет место, т.е. зависимые случайные величины могут быть и коррелированными и не коррелированными. Если случайные величины независимые, то они обязательно некоррелированы.

    Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

    Пример . Пусть двумерная случайная величина
    за – дана плотностью распределения:

    Доказать, что
    и- некоррелированные величины.

    Плотности распределения составляющих, как нетрудно убе -диться внутри заданного эллипса задаются соответствующими формулами и равны нулю вне эллипса.

    Так как , то
    и- зависимые случайные величины.

    Так как функция
    симметрична относительно оси Оу, то
    , аналогично,
    , ввиду симметрии
    относительно оси Ох (чётные функции).

    так как равен нулю внутренний интеграл (интеграл от нечётной функции равен чётной функции, а пределы интегрирования симметричны). Тогда

    т.е. данные зависимые случайные величины не являются кор- релированными.

    Замечание 1. Для нормально распределённых составляющих двумерной случайной величины понятия некоррелированности и независимости равносильны.

    Замечание 2. Если составляющие
    исвязаны линей- ной зависимостью, т.е.
    , то

    БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

      Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Высш. шк., 2001.

      Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике - М.: Высш. шк. , 2001

      Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики - М.: Высш. шк., 1971.

      Изосова Л.А., Изосов А.В. Случайные величины //метод указания// - Магнитогорск, 2003.

      Изосова Л.А., Изосов А.В. Случайные величины и законы их распределения //индивидуальные задания// - Магнито- горск, 2004.

      Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика - М.: Юнити, 2000.

      Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1982.