Фундаментальные исследования. Анализ техники. Обратный маятник Обзор методов управления объекты типа обратный маятник

Схематическое изображение перевёрнутого маятника на тележке. Стержень не обладает массой. Массу тележки и массу шара на конце стержня обозначим через М и m . Стержень имеет длину l .

Перевёрнутый маятник представляет собой маятник , который имеет центр масс выше своей точки опоры, закреплённый на конце жёсткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Обзор

Перевёрнутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления (ПИД-регуляторов , нейронных сетей , нечёткого управления и т. д.).

Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести, вызывая нестабильность. Эта же проблема решена, например, в сегвее , самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника является быстрое колебание основания в вертикальной плоскости. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (в смысле величины ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями , то движение маятника описывается функцией Матьё .

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия :

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta))-{g \over \ell }\sin \theta =0}

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ {\displaystyle {\ddot {\theta))={g \over \ell }\sin \theta }

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где θ (t) {\displaystyle \theta (t)} угол маятника длиной l {\displaystyle l} по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил F {\displaystyle F} в направлении x {\displaystyle x} . Определим x (t) {\displaystyle x(t)} положение тележки. Лагранжиан L = T − V {\displaystyle L=T-V} системы:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2))Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2))mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }

где является скоростью тележки, а - скорость материальной точки m {\displaystyle m} . v 1 {\displaystyle v_{1)) и v 2 {\displaystyle v_{2)) может быть выражена через x {\displaystyle x} и θ {\displaystyle \theta } путём записи скорости как первой производной положения.

v 1 2 = x ˙ 2 {\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x))^{2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 {\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)){\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt)){\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2))

Упрощение выражения v 2 {\displaystyle v_{2)) приводит к:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 {\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x))^{2}-2\ell {\dot {x)){\dot {\theta))\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2))

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2))\left(M+m\right){\dot {x))^{2}-m\ell {\dot {x)){\dot {\theta))\cos \theta +{\frac {1}{2))m\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}-mg\ell \cos \theta }

и уравнения движения:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\partial {L} \over \partial {\dot {x))}-{\partial {L} \over \partial x}=F} d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\partial {L} \over \partial {\dot {\theta))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}

Подстановка L {\displaystyle L} в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F {\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x))-m\ell {\ddot {\theta))\cos \theta +m\ell {\dot {\theta))^{2}\sin \theta =F} ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta))-g\sin \theta ={\ddot {x))\cos \theta }

Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} .

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) {\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}

и скорость найдена через первую производную позиции:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . {\displaystyle v^{2}={\dot {y))^{2}-2\ell {\dot {y)){\dot {\theta))\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}.}

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

L = 1 2 m (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos ⁡ θ) {\displaystyle L={\frac {1}{2))m\left({\dot {y))^{2}-2\ell {\dot {y)){\dot {\theta))\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}

уравнения движения следуют из:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0} 1

Работа посвящена задаче стабилизации перевернутого маятника, которой уделяется большое внимание в теории управления, поскольку на примере данной неустойчивой системы строятся алгоритмы поддержания вертикального положения антропоморфных технических устройств. Вданной статье описана стратегия вывода обратного маятника в вертикальное неустойчивое положение, разработана опто-механическая система стабилизации обратного маятника, состоящая из лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo и устройства контроля перемещений. Показано, что после выведения маятника в крайнее верхнее положение система стабилизации удерживает маятник в этом положении путем перемещения каретки на определенное число шагов в зависимости от угла наклона маятника. Разработаны алгоритмы для выведения маятника в положение неустойчивого равновесия и последующего его удержания в этом положении, а также соответствующее программное обеспечение.

обратный маятник

равновесие

стабилизация

обратная связь

алгоритм

фотоизлучатель

микропроцессор

программное обеспечение

1. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса// ЖЭТФ. – 1951. – №21. – С.588–597.

2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом// УФН. – 1951. – №44. – С.7–20.

3. Кузнецов В.П., Иванов А.А., Кудряшов Б.П. Проектирование средств измерения параметров технологических объектов на основе волоконно-оптических преобразователей: учебное пособие. – Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2013. – 84 с.

4. Макаров А.В., Кузяков О.Н. Устройство для контроля перемещений// Патент России №2150086. – 2000. – Бюл. №15.

5. Формальский А.М. Остабилизации перевернутого маятника с неподвижной или подвижной точкой подвеса// ДАН. – 2006. – т.406, №2. – С.175–179.

6. Ashish S. Katariya Optimal state-feedback and output-feedback controllers for the wheeled inverted pendulum system; Georgia Institute of Technology, 2010. – 72 p.

7. Bradshaw A., Shao J. Swing-up control of the inverted pendulum systems// Robotica. – 1996. – Vol. 14. – Р. 397–405.

8. Bugeja M. Non-linear Swing-up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum System, Proc. of. EUROCON, Ljubljana. – 2003.

9. Positioning system. Smart Positioning Controller SPC200. Manual. Festo AG & Co. KG, Dept. KI-TD. – 2005. – 371 p.

10. SPC200 Smart Positioning Controller. WinPISA software package. Festo AG & Co. KG. – 2005. – 381 p.

Проблема управления объектами маятникового типа является фундаментальной для ряда областей науки, поскольку ее решение нашло отражение в теории автоматического управления, робототехнике и используется при моделировании летательных аппаратов, при решении задач стабилизации положения объектов на подвижной платформе, при разработке специальных средств передвижения - сегвеев и др.

Физический маятник - это одна из простых и наиболее распространенных физических моделей, представляющая собой груз, колеблющийся на нерастяжимой нити или жестком стержне. Частным случаем такой системы является обратный маятник, который представляет собой неустойчивый физический объект, обладающий двумя положениями равновесия: в нижней и верхней точках. При этом любое, сколь угодно малое возмущение способно вывести маятник из верхнего положения равновесия с последующим стремлением его перейти в нижнее положение равновесия. Для стабилизации маятника в верхней точке система может дополняться различными элементами, обеспечивающими обратную связь - необходимую составляющую системы управления .

Решению задачи стабилизации верхнего положения для перевернутого маятника посвящены работы . Модель системы выражается следующим уравнением:

где m - масса маятника; l - длина подвеса маятника; J - момент инерции маятника; θ - угол наклона маятника от вертикали; a - ускорение движения точки подвеса маятника (каретки); g - ускорение свободного падения. Проведя преобразования, получаем

Следовательно, на движение системы влияют следующие параметры: масса и длина подвеса маятника и ускорение движения его точки подвеса - каретки.

Описание работы системы

В данной работе была поставлена задача смоделировать процесс выведения маятника в крайнее верхнее положение с последующей стабилизацией этого положения при использовании лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo (Германия) в качестве задатчика крайнего верхнего положения маятника, а также других компонентов, используемых для созданной системы стабилизации.

1.Стратегия выведения маятника в верхнее положение равновесия

Очевидно, что возможности выведения маятника в крайнее верхнее положение равновесия ограничены параметрами (вчастности, длиной привода и максимально возможным значением ускорения движения каретки) лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo, на базе которого решается поставленная задача. Так, максимальное ускорение движения каретки a=4м/с2.

Путем математических расчетов было установлено, что пороговое значение ускорения движения маятника, определяющее необходимое количество изменения кареткой направления своего движения, является a0=13,1м/с2. Поскольку при использовании лабораторного стенда Festo ТР-802 это значение намного превышает максимально возможное значение ускорения каретки, в данной работе была использована такая стратегия вывода обратного маятника, при которой многократно изменяется направление движения каретки и увеличивается смещение каретки от текущего положения.

2. Математическое описание вывода маятника в крайнее верхнее положение

Известно, что для достижения маятником своего верхнего положения равновесия его потенциальная энергия должна достичь значения Ep=2mpgl, где mp - масса маятника; l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. При этом учитывается, что mp=0,06кг, l=0,25м, g=10м/с2. Таким образом, для решения поставленной задачи потенциальная энергия маятника должна стать равной Ep=0,3Дж.

Было решено, что раскачка маятника будет проводиться следующим образом: электромеханический привод смещает каретку относительно исходного положения на фиксированное число шагов сначала в отрицательном направлении, потом в положительном. Величина смещения от исходного положения возрастает каждый раз после того, как каретка сместилась в том и другом направлении. Для вывода маятника в крайнее верхнее положение равновесия был разработан алгоритм, представленный на рис.1. При этом принято: (1) каретка движется по оси Ox между точками X=0мм и X=300мм; (2) исходное положение каретки - координата X=150мм; (3) N - величина (в мм) смещения каретки от исходного положения, (4)K - задаваемое приращение (в мм) смещения каретки от этого положения.

Принимая во внимание, что при движении каретки с прикрепленным к ней маятником по горизонтальной оси кинетическая энергия движения каретки Eк превращается в потенциальную энергию движения маятника Ep, можно рассчитать прирост энергии маятника. Допустим, величина смещения каретки от исходного положения равна N=50мм, величина задаваемого приращения смещения каретки от исходного положения К=50мм. Тогда величина потенциальной энергии маятника после первого смещения каретки

после второго -

Таким образом, после трех движений каретки потенциальная энергия маятника должна превысить величину, требуемую для вывода его в верхнее положение равновесия.

3. Алгоритм вывода маятникав крайнее верхнее положение

На практике оказалось, что выводы, сделанные в предыдущем пункте с учетом превращения кинетической энергии каретки в потенциальную энергию маятника, не соответствуют экспериментальным данным. Большая часть энергии расходуется в окружающую среду ввиду несовершенства конструкции, трения каретки и подвеса маятника.

Таким образом, физическим объектом управления является обратный маятник, выведенный в крайнее верхнее неустойчивое положение за конечное число движений каретки электромеханического привода, приводимого в движение шаговым двигателем MTR-ST, которым управляет компьютер РС посредством координатного контроллера позиционирования SPC-200 . Начало работы системы стабилизации положения обратного маятника следует за выводом маятника в крайнее верхнее положение. Для решения этой задачи, с учетом , были разработаны алгоритм, представленный на рис.1, и соответствующая ему прикладная программа позиционирования каретки. При этом принято, что N - смещение каретки от центра оси привода, а K - задаваемое увеличение смещения каретки от центра оси привода.

Рис. 1. Алгоритм подпрограммы выведения маятника в верхнее положение

Листинг программы выведения маятника в крайнее верхнее положение, разработанной в ходе эксперимента над системой «каретка - маятник» с использованием программного приложения Festo WinPisa 4.41 , представлен ниже. Комментарии с пояснением кода программы приведены напротив соответствующих строк после знака «;».

В начале выполнения программы каретка перемещается в центр оси привода. Последующие 9строк программы соответствуют нарастающим колебаниям маятника, по окончании которых кареткой совершаются еще 2перемещения с целью недолговременной стабилизации маятника в верхней точке.

Непосредственно в момент достижения маятником верхнего положения равновесия управление движения системой «каретка - маятник» переходит к разработанной системе стабилизации.

4.Работа системы стабилизации

Одним из важных компонентов этой системы является оптическое устройство для контроля перемещений, описанное в работе . Структура системы приведена на рис.2.

На неподвижном основании1 расположена перемещающаяся по оси Х каретка3, на которой закреплен маятник7 с грузом8, содержащим излучатель9. Каретка жестко связана с шаговым двигателем4 посредством линейного электромеханического привода2. Шаговый двигатель4 управляется через контроллер двигателя5 с помощью контроллера позиционирования6. Компьютер14 управляет работой излучателя9 и дешифратора13, на входы которого поступают сигналы с фотоприемников 10, 11, 12 , содержащих устройство преобразования в величину тока, а их выходы связаны с компьютером14. При этом фотоприемник10 является центральным и формирует сигнал на своем выходе только тогда, когда обратный маятник находится в вертикальном положении (верхней точке).

Система работает следующим образом: маятник7 выводится в крайнее верхнее неустойчивое положение равновесия за конечное число движений каретки электромеханического привода, управляемого шаговым двигателем5, причем максимальное расстояние хода каретки составляет 300мм. Закрепленный на грузе маятника8 излучатель света9 включен с момента начала движения маятника7 вверх, а на фотоприемнике10 в момент вертикального положения маятника7 формируется сигнал, который через дешифратор 13 поступает на компьютер 14 и программно фиксируется, что соответствует крайнему верхнему положению маятника. Находясь под воздействием физических сил, маятник не может долго оставаться в этом положении и начинает отклоняться. При отклонении маятника от вертикали изменяется направление света фотоизлучателя, что регистрируется фотоприемниками. По тому, какой ближайший фотоприемник по отношению к фотоприемнику10 первым зарегистрировал сигнал излучателя (Лк или Пк), можно установить координаты маятника (угол отклонения маятника от вертикали) и направление отклонения. Количество фотоприемников и шаг их чередования прямо зависят от требуемой точности измерений.

Находясь под воздействием физических сил, маятник не может долго оставаться в этом положении и начинает отклоняться. При отклонении маятника от вертикали изменяется направление света фотоизлучателя, что регистрируется фотоприемниками. По тому, какой ближайший фотоприемник по отношению к фотоприемнику 10первым зарегистрировал сигнал излучателя (Лк или Пк), можно установить координаты маятника (угол отклонения маятника от вертикали) и направление отклонения. Количество фотоприемников и шаг их чередования прямо зависят от требуемой точности измерений. Информация о положении маятника7 поступает от фотоприемников в компьютер14, обрабатывается по заданной программе, на основании чего формируется управляющее воздействие для контроллера позиционирования 6: сдвинуть каретку в сторону отклонения маятника на определенное число шагов, зависящее от отклонения маятника от вертикали. Таким образом, данная система является замкнутой и позволяет стабилизировать обратный маятник в вертикальном положении. Алгоритм работы системы представлен на рис.3.

Рис. 2. Структура системы

Рис. 3. Алгоритм работы системы

Заключение

Таким образом, в данной работе были разработаны алгоритмы выведения маятника в крайнее верхнее положение равновесия с последующим его удержанием в вертикальном (неустойчивом) положении равновесия. Неидеальность конструкции маятника привела к необходимости выполнения большего числа движений каретки для вывода маятника в верхнюю точку. Также были разработаны принципы построения опто-механической системы стабилизации положения обратного маятника в верхней точке, состоящей из лабораторного электро-механического стенда ТР-802 фирмы Festo и оптического устройства контроля перемещений. Вкачестве рекомендаций предлагается использование полученных результатов для разработки систем мониторинга технологических объектов при перемещении управляемых сканирующих органов по трем координатам.

Библиографическая ссылка

Кузяков О.Н., Андреева М.А. ОПТО-МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ ОБРАТНОГО МАЯТНИКА // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 5-3. – С. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (дата обращения: 23.03.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Обзор

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

$\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = 0$

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

$\ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta$

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где $\theta(t)$ угол маятника длиной $l$ по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил $F$ в направлении $x$ . Определим $x(t)$ положение тележки. Лагранжиан $L = T - V$ системы:

L = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta где $v_1$ является скоростью тележки, а $v_2$ - скорость материальной точки $m$ . $v_1$ и $v_2$ может быть выражена через $x$ и $\theta$ путём записи скорости как первой производной положения.

v_1^2=\dot x^2

v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left(\ell\cos\theta \right)}\right)^2 Упрощение выражения $v_2$ приводит к:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = \frac{1}{2} \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta и уравнения движения:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0 Подстановка $L$ в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв $\theta \approx 0$ .

Маятник с колеблющимся основанием

$\left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)$

и скорость найдена через первую производную позиции:

$v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2.$ $\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.$

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся $y$ , маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если $y$ быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колебаться вокруг вертикальной позиции ( $\theta = 0$ ).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Примером является балансировка людей и предметов, например в акробатике или катание на одноколесном велосипеде . А также сегве́й - электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами. Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов .

См. также

Ссылки

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Дальнейшее чтение

Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишите отзыв о статье "Обратный маятник"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Обратный маятник

– Это брат Безуховой – Анатоль Курагин, – сказала она, указывая на красавца кавалергарда, который прошел мимо их, с высоты поднятой головы через дам глядя куда то. – Как хорош! неправда ли? Говорят, женят его на этой богатой. .И ваш то соusin, Друбецкой, тоже очень увивается. Говорят, миллионы. – Как же, это сам французский посланник, – отвечала она о Коленкуре на вопрос графини, кто это. – Посмотрите, как царь какой нибудь. А всё таки милы, очень милы французы. Нет милей для общества. А вот и она! Нет, всё лучше всех наша Марья то Антоновна! И как просто одета. Прелесть! – А этот то, толстый, в очках, фармазон всемирный, – сказала Перонская, указывая на Безухова. – С женою то его рядом поставьте: то то шут гороховый!
Пьер шел, переваливаясь своим толстым телом, раздвигая толпу, кивая направо и налево так же небрежно и добродушно, как бы он шел по толпе базара. Он продвигался через толпу, очевидно отыскивая кого то.
Наташа с радостью смотрела на знакомое лицо Пьера, этого шута горохового, как называла его Перонская, и знала, что Пьер их, и в особенности ее, отыскивал в толпе. Пьер обещал ей быть на бале и представить ей кавалеров.
Но, не дойдя до них, Безухой остановился подле невысокого, очень красивого брюнета в белом мундире, который, стоя у окна, разговаривал с каким то высоким мужчиной в звездах и ленте. Наташа тотчас же узнала невысокого молодого человека в белом мундире: это был Болконский, который показался ей очень помолодевшим, повеселевшим и похорошевшим.
– Вот еще знакомый, Болконский, видите, мама? – сказала Наташа, указывая на князя Андрея. – Помните, он у нас ночевал в Отрадном.
– А, вы его знаете? – сказала Перонская. – Терпеть не могу. Il fait a present la pluie et le beau temps. [От него теперь зависит дождливая или хорошая погода. (Франц. пословица, имеющая значение, что он имеет успех.)] И гордость такая, что границ нет! По папеньке пошел. И связался с Сперанским, какие то проекты пишут. Смотрите, как с дамами обращается! Она с ним говорит, а он отвернулся, – сказала она, указывая на него. – Я бы его отделала, если бы он со мной так поступил, как с этими дамами.

Вдруг всё зашевелилось, толпа заговорила, подвинулась, опять раздвинулась, и между двух расступившихся рядов, при звуках заигравшей музыки, вошел государь. За ним шли хозяин и хозяйка. Государь шел быстро, кланяясь направо и налево, как бы стараясь скорее избавиться от этой первой минуты встречи. Музыканты играли Польской, известный тогда по словам, сочиненным на него. Слова эти начинались: «Александр, Елизавета, восхищаете вы нас…» Государь прошел в гостиную, толпа хлынула к дверям; несколько лиц с изменившимися выражениями поспешно прошли туда и назад. Толпа опять отхлынула от дверей гостиной, в которой показался государь, разговаривая с хозяйкой. Какой то молодой человек с растерянным видом наступал на дам, прося их посторониться. Некоторые дамы с лицами, выражавшими совершенную забывчивость всех условий света, портя свои туалеты, теснились вперед. Мужчины стали подходить к дамам и строиться в пары Польского.
Всё расступилось, и государь, улыбаясь и не в такт ведя за руку хозяйку дома, вышел из дверей гостиной. За ним шли хозяин с М. А. Нарышкиной, потом посланники, министры, разные генералы, которых не умолкая называла Перонская. Больше половины дам имели кавалеров и шли или приготовлялись итти в Польской. Наташа чувствовала, что она оставалась с матерью и Соней в числе меньшей части дам, оттесненных к стене и не взятых в Польской. Она стояла, опустив свои тоненькие руки, и с мерно поднимающейся, чуть определенной грудью, сдерживая дыхание, блестящими, испуганными глазами глядела перед собой, с выражением готовности на величайшую радость и на величайшее горе. Ее не занимали ни государь, ни все важные лица, на которых указывала Перонская – у ней была одна мысль: «неужели так никто не подойдет ко мне, неужели я не буду танцовать между первыми, неужели меня не заметят все эти мужчины, которые теперь, кажется, и не видят меня, а ежели смотрят на меня, то смотрят с таким выражением, как будто говорят: А! это не она, так и нечего смотреть. Нет, это не может быть!» – думала она. – «Они должны же знать, как мне хочется танцовать, как я отлично танцую, и как им весело будет танцовать со мною».
Звуки Польского, продолжавшегося довольно долго, уже начинали звучать грустно, – воспоминанием в ушах Наташи. Ей хотелось плакать. Перонская отошла от них. Граф был на другом конце залы, графиня, Соня и она стояли одни как в лесу в этой чуждой толпе, никому неинтересные и ненужные. Князь Андрей прошел с какой то дамой мимо них, очевидно их не узнавая. Красавец Анатоль, улыбаясь, что то говорил даме, которую он вел, и взглянул на лицо Наташе тем взглядом, каким глядят на стены. Борис два раза прошел мимо них и всякий раз отворачивался. Берг с женою, не танцовавшие, подошли к ним.
Наташе показалось оскорбительно это семейное сближение здесь, на бале, как будто не было другого места для семейных разговоров, кроме как на бале. Она не слушала и не смотрела на Веру, что то говорившую ей про свое зеленое платье.
Наконец государь остановился подле своей последней дамы (он танцовал с тремя), музыка замолкла; озабоченный адъютант набежал на Ростовых, прося их еще куда то посторониться, хотя они стояли у стены, и с хор раздались отчетливые, осторожные и увлекательно мерные звуки вальса. Государь с улыбкой взглянул на залу. Прошла минута – никто еще не начинал. Адъютант распорядитель подошел к графине Безуховой и пригласил ее. Она улыбаясь подняла руку и положила ее, не глядя на него, на плечо адъютанта. Адъютант распорядитель, мастер своего дела, уверенно, неторопливо и мерно, крепко обняв свою даму, пустился с ней сначала глиссадом, по краю круга, на углу залы подхватил ее левую руку, повернул ее, и из за всё убыстряющихся звуков музыки слышны были только мерные щелчки шпор быстрых и ловких ног адъютанта, и через каждые три такта на повороте как бы вспыхивало развеваясь бархатное платье его дамы. Наташа смотрела на них и готова была плакать, что это не она танцует этот первый тур вальса.
Князь Андрей в своем полковничьем, белом (по кавалерии) мундире, в чулках и башмаках, оживленный и веселый, стоял в первых рядах круга, недалеко от Ростовых. Барон Фиргоф говорил с ним о завтрашнем, предполагаемом первом заседании государственного совета. Князь Андрей, как человек близкий Сперанскому и участвующий в работах законодательной комиссии, мог дать верные сведения о заседании завтрашнего дня, о котором ходили различные толки. Но он не слушал того, что ему говорил Фиргоф, и глядел то на государя, то на сбиравшихся танцовать кавалеров, не решавшихся вступить в круг.

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБИЛИЗАЦИЯ ОБРАТНОГО МАЯТНИКА НА ДВУХКОЛЕСНОМ ТРАНСПОРТНОМ СРЕДСТВЕ

В.И. Ряжских1, М.Е. Семенов2, А.Г. Рукавицын3, О.И. Канищева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Российская Федерация

2 Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, г. Воронеж, Российская Федерация

3 Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация

4 Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация

E-mail: [email protected]

Рассматривается механическая система, состоящая из двухколесной тележки, на оси которой располагается обратный маятник. Задача заключается в формировании такого управляющего воздействия, формируемого по принципу обратной связи, которое, с одной стороны, обеспечивало бы заданный закон движения механического средства, а с другой, стабилизировало бы неустойчивое положение маятника.

Ключевые слова: механическая система; двухколесное транспортное средство; обратный маятник; люфт; стабилизация; управление.

Введение

Возможность управления неустойчивыми техническими системами теоретически рассматривалась уже давно, однако практическая значимость такого управления отчетливо проявилась лишь в последнее время . Оказалось, что неустойчивые объекты управления при подходящем управлении обладают рядом «полезных» качеств. Примерами таких объектов могут служить космический корабль на этапе взлета, термоядерный реактор и многие другие. В тоже время при выходе из строя автоматической системы управления неустойчивый объект может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. В качестве катастрофического примера результатов отключения автоматического управления можно привести аварию на Чернобыльской АЭС. По мере того, как системы управления становятся все более надежными, все более широкий круг технических неустойчивых в отсутствие управления объектов применяется на практике. Одним из самых простых примеров неустойчивых объектов является классический обратный маятник. С одной стороны, задача о его стабилизации сравнительно простая и наглядная, с другой, она может найти практическое применение при создании моделей двуногих существ, а также антропоморфных устройств (роботов, киберов и др.), перемещающихся на двух опорах. В последние годы появились работы, посвященные проблемам стабилизации обратного маятника, связанного с движущимся двухколесным транспортным средством . Эти исследования имеют потенциальные перспективы применения во многих областях, таких как транспорт и разведка, в связи с компактной конструкцией, удобством эксплуатации, высокой маневренностью и низким расходом топлива таких устройств. Тем не менее, рассматриваемая задача еще далека от окончательного решения. Известно, что многие традиционные технические устройства имеют как устойчивые, так и не устойчивые состояния и режимы работы. Характерный пример - сегвей, изобретённый Дином Кейменом электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами, расположенными по обе стороны от водителя. Два колеса скутера расположены соосно. Сегвей автоматически балансируется при изменении положения корпуса водителя; для этой цели используется система индикаторной стабилизации: сигналы с гироскопических и жидкостных датчиков наклона поступают на микропроцессоры, которые вырабатывают электрические сигналы, воздействующие на двигатели и управляющие их движениями. Каждое колесо сегвея приводится во вращение своим электродвигателем, реагирующим на изменения равновесия машины. При наклоне тела ездока вперёд сегвей начинает катиться вперёд, при увеличении же угла наклона тела ездока скорость сегвея увеличивается. При отклонении корпуса назад само-

кат замедляет движение, останавливается или катится задним ходом. Руление в первой модели происходит с помощью поворотной рукоятки, в новых моделях - качанием колонки влево-вправо. Задачи управления колебательными механическими системами имеют значительный теоретический интерес и большое практическое значение.

Известно, что в процессе функционирования механических систем вследствие старения и износа деталей неизбежно возникают люфты, упоры, поэтому для описания динамики таких систем необходимо принимать во внимание влияние гистерезисных эффектов. Математические модели таких нелинейностей в соответствии с классическими представлениями сводятся к операторам, которые рассматриваются как преобразователи на соответствующих функциональных пространствах. Динамика таких преобразователей описывается отношениями «вход-состояние» и «состояние-выход» .

Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается механическая система, состоящая из двухколесной тележки, на оси которой располагается обратный маятник. Задача заключается в формировании такого управляющего воздействия, которое, с одной стороны, обеспечивало бы заданный закон движения механического средства, а с другой, стабилизировало бы неустойчивое положение маятника. При этом учитываются гистерезисные свойства в управляющем контуре изучаемой системы. Ниже графически представлены элементы, изучаемой механической системы - двухколесного транспортного средства с закрепленным на нем обратным маятником.

Рис. 1. Основные структурные элементы рассматриваемого механического устройства

тут / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Hr ! / / / / /1 / / /

Рис. 2. Левое и правое колеса механического устройства с управляюшим моментом

Параметры и переменные, которые описывают рассматриваемую систему: j - угол поворота транспортного средства; D - расстояние между двумя колесами вдоль центра оси; R - радиус колес; Jj - момент инерции; Tw - разность крутящих моментов левого и правого колес; v -

продольная скорость транспортного средства; в - угол отклонения маятника от вертикального положения; m - масса перевернутого маятника; l - расстояние между центром тяжести тела и

осью колеса; Ти - сумма крутящих моментов левого и правого колес; х - перемещение транспортного средства по направлению продольной скорости; М - масса шасси; М* - масса колес; И - раствор люфта.

Динамика системы

Динамику системы описывают следующие уравнения:

n = - + - Tn, W в á WR n

в = - - ml C0S в Tn,

где Т* = Ть - ТЯ; Тп = Ть + ТЯ; Мх =М + т + 2(М* + ^*); 1в = т/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 соъ2 в;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Модель, описывающую динамику изменения параметров системы, можно представить в виде двух независимых подсистем. Первая подсистема состоит из одного уравнения - р -подсистемы,

определяющего угловые движения транспортного средства:

Уравнение (5) можно переписать в виде системы из двух уравнений:

где е1 =Р-Рй, е2 =(Р-(Ра.

Вторая подсистема, описывающая радиальные движения транспортного средства, а также колебания установленного на ней маятника, состоит из двух уравнений - {у,в} -подсистемы:

U =-[ Jqml в2 sin в- m2l2 g sin в cos в] + Jq Tu W в S J WR u

в =- - ml С°*в Tv W WR

Систему (7) удобно представить в виде системы уравнений первого порядка:

¿4 = ТГ" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 +qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 +qd)] + ТЩT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +в)

где W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Рассмотрим подсистему (6), управлять которой будем по принципу обратной связи. Для этого введем новую переменную и определим поверхность переключения в фазовом пространстве системы как ^ = 0 .

5 = в! + с1е1, (9)

где с - положительный параметр. Непосредственно из определения вытекает:

■Я = е+с1 е1 -срй + с1 е1. (10)

Для стабилизации вращательного движения определим управляющий момент следующим образом:

Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)

где, - положительно заданные параметры.

Аналогично будем строить управление второй подсистемой (8), управлять которой, будем также по принципу обратной связи. Для этого введем новую переменную и определим поверхность переключения в фазовом пространстве системы, как ■2 = 0 .

■2 = вз + С2вз, (12)

где с2 - положительный параметр, тогда

1 . 2 2 2

■2 = е3 + с2 е3 = (в + в6) ^5 + вё) - т 1 § ^5 + вс1)С08(е5 + ва)] +

7^Т - + с2 ез

Для стабилизации радиального движения определим управляющий момент:

тт"2/2 ^ к Т =-Кт/ (вй+еб)г^т(еь + вй)+яп^ + вй)е08(е5 + вй)--0- \сг ез - +^п^)+кА ^],(14)

где к3, к4 - положительно заданные параметры.

Для того, чтобы одновременно управлять обеими подсистемами системы, введем дополнительное управляющее воздействие:

= § Хапв--[ва + с3(в-вй) - к588п(^3) - кб 53], (15)

где § - ускорение свободного

падения; с3, к5, кб - положительные параметры; 53 - поверхность переключения, определяемая соотношением:

53 = е6 + с3е5 .

Сформулируем основные результаты работы, заключающиеся в принципиальной возможности стабилизации обеих подсистем, в сделанных предположениях относительно управляющих воздействий, в окрестности нулевого положения равновесия.

Теорема 1. Система (6) с управляющим воздействием (11) абсолютно асимптотически устойчива:

Нш || е11|® 0,

Нш || е2 ||® 0. t®¥u 2

Доказательство: определим функцию Ляпунова как

где a = Dj 2 RJр.

Очевидно, что функция V > 0, тогда

V =Ш1 Si = Si. (18)

Подставив (14) в V, получим

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно, что V1

Теорема 2. Рассмотрим подсистему (8) с управляющим воздействием (14). В сделанных предположениях эта система абсолютно асимптотически устойчива, т. е. при любых начальных условиях выполняются соотношения:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 е41|® о.

Доказательство: определим функцию Ляпунова для системы (8) посредством соотношения

где b =Wo R!Je .

Очевидно, что функция V2 > 0, и

V2 = М S2 = S2, так как возникают зоны нечувствительности по отношению к управляющему воздействию. Приведем краткое описание используемого в дальнейшем гистерезисного преобразователя - люфта, основанное на операторной трактовке. Выход преобразователя - люфта на монотонных входах описывается соотношением:

x(t0) при тех t, при которых x(t0) - h < u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) > x(t0), (24)

u(t) + h при тех t, при которых u(t) < x(t0) - h,

которое иллюстрирует рис. 3.

С помощью полугруппового тождества действие оператора распространяется на все кусочно-монотонные входы:

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

и с помощью специальной предельной конструкции на все непрерывные. Так как выход этого оператора не является дифференцируемым, то в дальнейшем используется аппроксимация люфта моделью Боука-Вена . Эта известная полуфизическая модель широко используется для феноменологического описания гистерезисных эффектов. Популярность модели Боука-Вена обу-

славливается ее способностью охватывать в аналитическом виде различные формы гистерезис-ных циклов. Формальное описание модели сводится к системе следующих уравнений:

Fbw (х, ^ = акх() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -р\х \\z \п-1 z -ухе | z |п). (26)

Fbw(x,t) трактуется как выход гистерезисного преобразователя, а x(t) - как вход. Здесь п > 1,

D > 0 k > 0 и 0 <а< 1.

Рис. 3. Динамика входно-выходных соответствий люфта

Рассмотрим обобщение систем (6) и (8), в которых управляющее воздействие поступает на вход гистерезисного преобразователя, а выход является управляющим воздействием на систему:

Fbw (х, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + еб)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿б = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x- b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Как и ранее в рассматриваемой системе, основным являлся вопрос о стабилизации, т. е. асимптотическом поведении ее фазовых переменных. Ниже приводятся графики при одних и тех же физических параметрах системы с люфтом и без люфта. Эта система исследовалась посредством численных экспериментов. Данная задача была решена в среде программирования Wolfram Mathematica.

Значения констант и начальные условия приведены ниже:

m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0;x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = }