В требованиях по безопасности информации при проектировании информационных систем указываются признаки, характеризующие применяемые средства защиты информации. Они определены различными актами регуляторов в области обеспечения информационной безопасности, в частности - ФСТЭК и ФСБ России. Какие классы защищенности бывают, типы и виды средств защиты, а также где об этом узнать подробнее, отражено в статье.

Введение

Сегодня вопросы обеспечения информационной безопасности являются предметом пристального внимания, поскольку внедряемые повсеместно технологии без обеспечения информационной безопасности становятся источником новых серьезных проблем.

О серьезности ситуации сообщает ФСБ России: сумма ущерба, нанесенная злоумышленниками за несколько лет по всему миру составила от $300 млрд до $1 трлн. По сведениям, представленным Генеральным прокурором РФ, только за первое полугодие 2017 г. в России количество преступлений в сфере высоких технологий увеличилось в шесть раз, общая сумма ущерба превысила $ 18 млн. Рост целевых атак в промышленном секторе в 2017 г. отмечен по всему миру. В частности, в России прирост числа атак по отношению к 2016 г. составил 22 %.

Информационные технологии стали применяться в качестве оружия в военно-политических, террористических целях, для вмешательства во внутренние дела суверенных государств, а также для совершения иных преступлений. Российская Федерация выступает за создание системы международной информационной безопасности.

На территории Российской Федерации обладатели информации и операторы информационных систем обязаны блокировать попытки несанкционированного доступа к информации, а также осуществлять мониторинг состояния защищенности ИТ-инфраструктуры на постоянной основе. При этом защита информации обеспечивается за счет принятия различных мер, включая технические.

Средства защиты информации, или СЗИ обеспечивают защиту информации в информационных системах, по сути представляющих собой совокупность хранимой в базах данных информации, информационных технологий, обеспечивающих ее обработку, и технических средств.

Для современных информационных систем характерно использование различных аппаратно-программных платформ, территориальная распределенность компонентов, а также взаимодействие с открытыми сетями передачи данных.

Как защитить информацию в таких условиях? Соответствующие требования предъявляют уполномоченные органы, в частности, ФСТЭК и ФСБ России. В рамках статьи постараемся отразить основные подходы к классификации СЗИ с учетом требований указанных регуляторов. Иные способы описания классификации СЗИ, отраженные в нормативных документах российских ведомств, а также зарубежных организаций и агентств, выходят за рамки настоящей статьи и далее не рассматриваются.

Статья может быть полезна начинающим специалистам в области информационной безопасности в качестве источника структурированной информации о способах классификации СЗИ на основании требований ФСТЭК России (в большей степени) и, кратко, ФСБ России.

Структурой, определяющей порядок и координирующей действия обеспечения некриптографическими методами ИБ, является ФСТЭК России (ранее - Государственная техническая комиссия при Президенте Российской Федерации, Гостехкомиссия).

Если читателю приходилось видеть Государственный реестр сертифицированных средств защиты информации , который формирует ФСТЭК России, то он безусловно обращал внимание на наличие в описательной части предназначения СЗИ таких фраз, как «класс РД СВТ», «уровень отсутствия НДВ» и пр. (рисунок 1).

Рисунок 1. Фрагмент реестра сертифицированных СЗИ

Классификация криптографических средств защиты информации

ФСБ России определены классы криптографических СЗИ: КС1, КС2, КС3, КВ и КА.

К основным особенностям СЗИ класса КС1 относится их возможность противостоять атакам, проводимым из-за пределов контролируемой зоны. При этом подразумевается, что создание способов атак, их подготовка и проведение осуществляется без участия специалистов в области разработки и анализа криптографических СЗИ. Предполагается, что информация о системе, в которой применяются указанные СЗИ, может быть получена из открытых источников.

Если криптографическое СЗИ может противостоять атакам, блокируемым средствами класса КС1, а также проводимым в пределах контролируемой зоны, то такое СЗИ соответствует классу КС2. При этом допускается, например, что при подготовке атаки могла стать доступной информация о физических мерах защиты информационных систем, обеспечении контролируемой зоны и пр.

В случае возможности противостоять атакам при наличии физического доступа к средствам вычислительной техники с установленными криптографическими СЗИ говорят о соответствии таких средств классу КС3.

Если криптографическое СЗИ противостоит атакам, при создании которых участвовали специалисты в области разработки и анализа указанных средств, в том числе научно-исследовательские центры, была возможность проведения лабораторных исследований средств защиты, то речь идет о соответствии классу КВ.

Если к разработке способов атак привлекались специалисты в области использования НДВ системного программного обеспечения, была доступна соответствующая конструкторская документация и был доступ к любым аппаратным компонентам криптографических СЗИ, то защиту от таких атак могут обеспечивать средства класса КА.

Классификация средств защиты электронной подписи

Средства электронной подписи в зависимости от способностей противостоять атакам принято сопоставлять со следующими классами: КС1, КС2, КС3, КВ1, КВ2 и КА1. Эта классификация аналогична рассмотренной выше в отношении криптографических СЗИ.

Выводы

В статье были рассмотрены некоторые способы классификации СЗИ в России, основу которых составляет нормативная база регуляторов в области защиты информации. Рассмотренные варианты классификации не являются исчерпывающими. Тем не менее надеемся, что представленная сводная информация позволит быстрее ориентироваться начинающему специалисту в области обеспечения ИБ.

И,кстати, "лицензии на НДВ" не существует.

Я не докапываюсь, просто хочу разобраться.

Заявитель может быть одним из разработчиков, если разработка совместна.

Заявитель просто — тогда зачем ему это делать

Если для дальнейшего производства — то лицензия нужна.

Если нет — то необходим комплект документов для сертификации, договор с разработчиком об использовании разработки ил иное основание. В данном случае зачем ему сертификат если невозможно производить с последующей продажей.

> разработчиком об использовании разработки ил иное основание. В данном случае

> зачем ему сертификат если невозможно производить с последующей продажей.

Как пройти сертификацию фстэк

Получение заветного сертификата

О сертификации некриптографических информационно-телекоммуникационных систем по требованиям ФСБ

И.Г. Шапошников, директор ООО «Центр сертификационных исследований», к.ф.-м.н.

В.А. Мыльцев, заместитель директора по лицензированию и сертификации ООО «Центр сертификационных исследований»

ОДНИМ из направлений деятельности ФСБ (ранее — ФАПСИ) является сертификация средств криптографической защиты информации. Сами сертификационные исследования проводятся в аккредитованных лабораториях и центрах. При этом подтверждается соответствие продукции требованиям безопасности информации. ООО «Центр сертификационных исследований» (ЦСИ) создавалось как организация, занимающаяся сертификацией шифротехники. Поэтому с первыми полученными лицензиями центр приобрел статус испытательной лаборатории по сертификации шифротехники в соответствии с требованиям безопасности связи, установленными ФАПСИ. Сертификация шифротехники — область деятельности, в которой необходимо наличие у заказчика сертификации четкого понимания порядка ее проведения. Последние, как правило, осведомлены о том, какие действия им необходимо предпринять, чтобы успешно пройти процедуру сертификации, какие материалы представить. Указанный порядок законодательно зафиксирован в ряде нормативных документов (например, ПКЗ-2005).

В соответствии с новыми требованиями

В последнее время область сертифицируемых изделий по требованиям информационной безопасности ФСБ значительно расширилась. Сейчас сертифицируется не только телекоммуникационное оборудование, включающее криптографические средства защиты, но и не имеющее таковых.

В настоящее время кроме шифротехники в ФСБ сертифицируются:

  • цифровые АТС;
  • межсетевые экраны;
  • оборудование плезиохронной цифровой иерархии;
  • программное обеспечение, используемое в автоматизированных системах ИТКС специального назначения;
  • антивирусные средства.

При осуществлении сертификационных исследований используются нормативные документы (требования, методики) ФСБ. В настоящее время такие документы существуют для всех видов вышеперечисленного телекоммуникационного оборудования, не содержащего средств криптографической защиты информации. ЦСИ стал первопроходцем в проведении сертификационных исследований в соответствии по этим новым требованиям, принимал участие в создании регулирующих методических документов и работает в строгом соответствии с ними.

Цель предлагаемой вашему вниманию статьи — дать некоторое представление о существующих трудностях в проведении сертификации оборудования, не содержащего шифротехники. Необходимо также остановиться на тех требованиях, которые предъявляются к создателям данной техники.

В последние годы появилось много новых негосударственных фирм-разработчиков, как правило, незнакомых с этой процедурой. Играет свою отрицательную роль дефицит широко распространенных (например, как ПКЗ-99 и ПКЗ-2005) государственных документов, регламентирующих разработку и проведение аттестации по требованиям безопасности. В их отсутствие порядок проведения определяется существующей практикой. Ниже мы попытаемся отразить наиболее важные моменты процедуры, исходя из опыта работы ЦСИ.

От заявки — до сертификата

Итак, проведение сертификации включает в себя следующие необходимые этапы:

  • подача в ФСБ заявки на проведение сертификации — с указанием схемы проведения сертификации и наименований стандартов и иных нормативных документов, на соответствие требованиям которых должна проводиться сертификация;
  • согласование уровня требований сертификации;
  • разработка ТЗ и заключение договора с испытательной лабораторией;
  • представление образцов сертифицируемой продукции и всей необходимой документации на испытания;
  • проведение сертификационных испытаний;
  • доработка (при необходимости) продукции по требованиям безопасности с последующей проверкой;
  • подготовка отчета и направление его в ФСБ; » подготовка заключения в ФСБ и выдача сертификата.

Уровень требований к сертифицируемой продукции, как правило, определяется заказчиком сертификации совместно с ФСБ и заказчиком той системы, где будет стоять аттестуемая техника. При этом также происходит ограничение функциональных возможностей аппаратуры — остаются только функции, используемые в данном применении, иные удаляются или блокируются на программном либо аппаратном уровне. Самый высокий уровень требований по защите информации связан с обработкой информации, содержащей сведения, которые составляют государственную тайну. Соответственно при сертификации технических средств, предназначенных для их обработки, проводится максимальное количество видов испытаний, и каждый проходит по максимально жестким стандартам. Это, естественно, влечет за собой большую продолжительность и трудоемкость исследований. А от разработчика аппаратуры (заявителя) требуется представление наиболее подробных и полных материалов (документации) по сертифицируемой аппаратуре.

Перечень представляемой документации по сертифицируемой аппаратуре

1. Подробная схема архитектуры сертифицируемого объекта, в которой должны быть представлены все функциональные блоки и связи между ними.

2. Описание работы всего изделия.

3. Для каждой платы (субблока) должно быть представлено:

  • техническое описание;
  • инструкция по настройке;
  • инструкция по эксплуатации;
  • схема электрическая принципиальная;
  • перечень элементов;
  • функциональная схема.

4. Подробное описание ПО, которое должно содержать:

  • архитектуру ПО;
  • функциональную схему;
  • алгоритмы наиболее значимых процедур и функций;
  • перечень всех модулей и их значение;
  • перечень всех процедур, функций, констант и переменных и их назначение;
  • все исходные тексты с комментариями;
  • средства разработки для работы с исходными текстами ПО;
  • конфигурационные файлы для средств разработки;
  • средства компиляции, методика и порядок сборки итогового проекта ПО;
  • схемы тестирования сертифицируемого оборудования и всех заявленных функциональных возможностей на сертифицируемом оборудовании.

Эталоны не изменяются

Необходимо особо подчеркнуть тот факт, что сертификация предполагает «замораживание» процесса развития аппаратуры на определенном этапе, соответствующем потребностям заказчика специальной телекоммуникационной системы. Следовательно, вся вышеперечисленная документация должна относиться к этой одной «замороженной» модификации. Последняя пройдет весь комплекс испытаний, получит сертификат и станет образцом. По нему будет изготавливаться аппаратура, на которую станет распространяться понятие «сертифицированная».

Разработчики телекоммуникационной техники регулярно изменяют ПО аппаратуры с целью исправления ошибок, расширения выполняемых функций или для отслеживания трансформирующейся аппаратной части (например, элементной базы), то есть происходит непрерывная модернизация аппаратуры. Однако распространение действия сертификата на оборудование с какими-либо преобразованиями требует дополнительных исследований. Здесь-то, как правило, и возникает непонимание между разработчиком и сертифицирующей организацией. Сначала первый подает документацию, разные части которой относятся к разным этапам «развития» аппаратуры, а после проведения сертификации считает возможным внести незначительные, с его точки зрения, изменения, что не отвечает высоким требованиям, предъявляемым к сертифицированному оборудованию.

Столь жесткие критерии обеспечения информационной защиты в телекоммуникационном оборудовании по требованиям ФСБ обусловлены областью его использования. Сертификат ФСБ предоставляет возможность эксплуатировать оборудование в высших органах власти. Поэтому разработчику аппаратуры, прежде чем начинать сертификацию, следует подумать о ее необходимости. Не исключено, что достаточно будет получить сертификат ФСТЭК, который позволяет использовать аппаратуру в государственных структурах. Если же решение о сертификации по требованиям ФСБ принято, то следует начинать работу со специалистами сертифицирующей лаборатории по составлению ТЗ, определению уровня защиты, составлению перечня документации и оборудования для сертификации. В ЦСИ, например, подобная подготовка проводится еще до заключения договора с организациями.

Важным моментом дальнейшей совместной работы сертифицирующей организации и заказчика является определение объема исследований и соответственно стоимости работ. Из-за сложности исследуемого оборудования порой бывает трудно установить этот объем без проведения предварительных исследований. Тогда вначале заключается договор лишь на первый этап работы, когда проводится предварительный анализ документации, разрабатываются программа и методики испытаний, которые согласуются с соответствующим подразделением ФСБ. Согласованная программа исследований становится тем объективным документом, на основании которого определяется объем предстоящих исследований, сроки их проведений и стоимость работ.

Следует отметить еще один важный момент осуществления сертификационных исследований — экспертизу представленных отчетов в экспертной организации (подразделение 8-го Центра ФСБ). Этот этап не включается в договор на проведение сертификации (так как ФСБ не может быть участником договора), но на его реализацию тратится, как правило, до двух месяцев. Результатом экспертизы считается заключение 8-го Центра ФСБ о выполнении требований по безопасности. Конечно, положительные выводы отчетов сертифицирующей лаборатории не гарантируют таких же положительных оценок заключения. Однако практика работы нашей испытательной лаборатории показывает, что совпадение выводов бывает почти стопроцентным. А положительное заключение дает право на получение сертификата.

Обсуждение

Требуется ли их сертификация? Если требуется, то на основании каких документов?

Не пойму с каких пор профессиональный термин шифртехника стал с буквой "О9 внутри.

Раньше так только "ЛЮБИТЕЛИ9 писали.

Ни тебе цен ни четких требований.

Где же вы были сертифи каторы?

Отметим, что сертификация указанной техники признана необходимой, поскольку это гарантирует определенный уровень устойчивости работы информационно-телекоммуникационных систем перед компьютерными атаками, несанкционированным доступом к информационным ресурсам, неправомерными или ошибочными действиями обслуживающего персонала. Именно поэтому сертифицированная техника, как правило, востребована госзаказчиком, что важно для ее разработчиков.

Это вообще о чем?

Что в этом направлении делалось?

Только пузыри надували?

Писал стажер (первое нижнее фото) — а оба цензора (на верхних фото) видимо спали.

"ОДНИМ из направлений деятельности ФСБ (ранее - ФАПСИ)"

как будто раньше ФСБ называлось ФАПСИ 🙂

Персонал 8 ГУ КГБ поделили между КГБ и СВР

потом из КГБ их обозвали ФСК и где-то там-же из тех-же было образовано ФАПСИ.

А когда Путин ФАПСИ поделил между ФСО, ФСБ и СВР то запутал уже всех.

Вот они и самоназываются как хотят, предполагая что фамилия начальника отдела (управления) говорит что-то посвященным.

Одним словом не грузитесь — это все одна каша.

Просто ранеее это направление было в ведении ФАПСИ. Когда ФАПСИ разделили — отошло к ФСБ

Вы предмету по энциклопедии учились?

Или это вы туда (в энциклопедию) эту ошибку сами намеренно внесли?

Насколько могу судить в профессиональной (НЕ Любительской) среде термин

ШИФР"о9ТЕХНИКА исстари пишется без связующей "О9 .

О — это для щелкоперов уровня щеголева и прочих "ЖУРНАЛИСТОВ9- "специалистов9.

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus -дроблёный,сломанный,разбитый) - геометрическая фигура,обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Фрактазм - самостоятельная точная наука изучения и составления фракталов.

Другими словами фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы. Говоря простым языком, фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах - это и есть принцип самоподобия. Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода.

Слово «хаос» наводит на мысли о чем-то непредсказуемом, но на самом деле хаос достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Цель изучения хаоса и фракталов - предсказать закономерности, которые, на первый взгляд, могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.

Пионером в этой области познания был франко-американский математик, профессор Бенуа Б. Мандельброт. В середине 1960-х им разработана фрактальная геометрия, целью которой был анализ ломаных, морщинистых и нечетких форм. Множество Мандельброта (показано на рисунке) - первая ассоциация, возникающая у человека, когда он слышит слово «фрактал». К слову, Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1,25.

Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение цен на шерсть.

Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

    Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

    Является самоподобной или приближённо самоподобной.

    Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной технике является фрактальное сжатие данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами - до 600:1. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко ухудшающего картинку. Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения часто выглядит даже лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной техники известно также, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами. Индустрия кино для создания реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует технологию фрактальной графики.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Это позволяет лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

На рисунке слева в качестве простого примера приведен фрактал «пятиугольник Дарера», который выглядит, как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72°)) в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов, имеющих вид фракталов. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах. Учение о динамических системах показывает: простые уравнения могут порождать такое хаотическое поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и при этом не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя вполне нормально до некоторого определенного значения ключевого параметра, потом испытывают переход, в котором существует две возможности дальнейшего развития, потом четыре, и, наконец, хаотический набор возможностей.

Схемы процессов, протекающих в технических объектах, имеют четко выраженное фрактальное строение. Структура минимальной технической системы (ТС) подразумевает протекание в пределах ТС двух типов процессов – главного и обеспечивающих, причем это деление условно и относительно. Любой процесс может быть главным по отношению к обеспечивающим, а любой из обеспечивающих процессов может считаться главным по отношению к «своим» обеспечивающим процессам. Кружками на схеме обозначены физэффекты, обеспечивающие протекание тех процессов, для обеспечения которых не требуется специально создавать «свои» ТС. Эти процессы являются результатом взаимодействия между веществами, полями, веществами и полями. Если быть точным, то физэффект – это ТС, на принцип работы которой мы не можем повлиять, а в ее устройство не желаем или не имеем возможности вмешиваться.

Протекание главного процесса, изображенного на схеме, обеспечивается существованием трех обеспечивающих процессов, являющихся главными для порождающих их ТС. Справедливости ради отметим, что для функционирования даже минимальной ТС трех процессов явно недостаточно, т.е. схема очень и очень утрирована.

Всё далеко не так просто, как показано на схеме. Полезный (нужный человеку) процесс не может выполняться со стопроцентной эффективностью. Рассеиваемая энергия затрачивается на создание вредных процессов – нагрев, вибрации и т.п. В результате параллельно полезному процессу возникают вредные. Не всегда есть возможность заменить «плохой» процесс «хорошим», поэтому приходится организовывать новые процессы, направленные на компенсацию вредных для системы последствий. Характерный пример – необходимость борьбы с трением, вынуждающая организовывать хитроумные схемы смазки, применять дорогостоящие антифрикционные материалы или затрачивать время на смазку узлов и деталей или ее периодическую замену.

В связи с существованием неизбежного влияния переменчивой Среды полезный процесс может нуждаться в управлении. Управление может осуществляться как при помощи автоматических устройств, так и непосредственно человеком. Схема процессов фактически является набором специальных команд, т.е. алгоритмом. Сущность (описание) каждой команды составляет совокупность отдельно взятого полезного процесса, сопутствующих ему вредных процессов и набора необходимых управляющих процессов. В таком алгоритме набор обеспечивающих процессов является обычной подпрограммой – и здесь мы тоже обнаруживаем фрактал. Созданный четверть века назад метод Р.Коллера позволяет при создании систем обойтись достаточно ограниченным набором всего из 12 пар функций (процессов).

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

    множество Кантора - нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.

    треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского - аналоги множества Кантора на плоскости.

    губка Менгера - аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;

    примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.

    кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

    кривая Пеано - непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.

    траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

    кривая дракона,

    кривая Коха (снежинка Коха),

    кривая Леви,

    кривая Минковского,

    Кривая Гильберта,

    Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

    кривая Пеано.

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть - сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения - отображения подобия, а - число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , , - гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда отображения - преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F (z ) - многочлен, z 0 - комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z 0 , z 1 =F (z 0), z 2 =F (F (z 0)) = F (z 1),z 3 =F (F (F (z 0)))=F (z 2), …

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

    стремиться к бесконечности,

    стремиться к конечному пределу,

    демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

    вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z 0 , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа - множество точек бифуркации для многочлена F (z )=z 2 +c (или другой похожей функции), то есть тех значений z 0 , для которых поведение последовательности {z n } может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z 0 .

Другой вариант получения фрактальных множеств - введение параметра в многочлен F (z ) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {z n } демонстрирует определённое поведение при фиксированном z 0 . Так, множество Мандельброта - это множество всех , при которых {z n } для F (z )=z 2 +c и z 0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода - бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {z n } к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n , при котором |z n | превысит фиксированную большую величину A .

Биоморфы - фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

    траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

    граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

    эволюции Шрамма-Лёвнера - конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделяхстатистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

    различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма - пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

В природе

Вид спереди на трахею и бронхи

    Бронхиальное дерево

    Сеть кровеносных сосудов

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центреБостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [ источник не указан 895 дней ] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

  • обладает сложной структурой при любом увеличении;
  • является (приближенно) самоподобной;
  • обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью , которая больше топологической;
  • может быть построена рекурсивными процедурами.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха» .

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал - С-кривая Леви . Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов .

Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы , к которым относится и множество Мандельброта . Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Фрактальные свойства – не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь. Также и аналитик, сравнивая предыдущее поведение цен, в начале зарождения модели может предвидеть дальнейшее ее развитие, тем самым, не допуская грубых ошибок в прогнозировании.

Нерегулярность фракталов

Первым свойством фракталов является их нерегулярность. Если фрактал описывать функцией, то свойство нерегулярности в математических терминах будет означать, что такая функция не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке. Собственно к рынку это имеет самое прямое отношение. Колебания цен порой так волатильны и изменчивы, что это приводит многих трейдеров в замешательство. Нашей с вами задачей стоит разобрать весь этот хаос и привести его к порядку.

Знаете ли Вы, что: Вы можете выиграть $100–$1000 или iPhone Xs, приняв участие в бесплатном ежемесячном от NPBFX.

Самоподобие фракталов

Второе свойство гласит, что фрактал – это объект обладающий свойством самоподобия. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом и воспроизводится в различных масштабах без видимых изменений. Однако, изменения все же происходят, что в значительной степени может повлиять на восприятие нами объекта.

Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы. Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок «настоящей» геометрической прямой, «длины без ширины», как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента, прямая во всех своих частях устроена одинаково, она подобна самой себе, но это ее замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, ее «прямолинейностью» (рис. 7).

Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами – самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. Пример самоподобного фрактала:

В финансах эта концепция – не беспочвенная абстракция, а теоретическая переформулировка практичной рыночной поговорки – а именно, что движения акции или валюты внешне похожи, независимо от масштаба времени и цены. Наблюдатель не может сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям.

Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, валютные котировки, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Фракталы с нелинейной формой развития были названы Мандельбротом как – мультифракталы. Мультифрактал – это квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Естественно, что реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами.

Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

Рассмотрим пример самоподобия на валютном рынке:

На этих рисунках мы видим, что они похожи, при этом имея разный масштаб времени, на рис. а 15 минутный масштаб, на рис. б недельный масштаб цен. Как видим, данные котировки не обладают свойством идеально повторять друга, однако мы можем считать их подобными.

Даже простейшие из фракталов – геометрически самоподобные фракталы – обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь (рис. 9). Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке).

Мандельброт обнаружил, что результаты фракционного измерения остаются постоянными для различных степеней усиления неправильности объекта. Другими словами, существует регулярность (правильность, упорядоченность) для любой нерегулярности. Когда мы относимся к чему – либо, как к возникающему случайным образом, то это указывает на то, что мы не понимаем природу этой хаотичности. В терминах рынка это означает, что формирование одних и тех же типичных формаций должны происходить в различных временных рамках. Одноминутный график будет описывать фрактальную формацию так же, как и месячный. Такое «само – уподобление», находимое на графиках товарных и финансовых рынков, показывает все признаки того, что действия рынка ближе к парадигме поведения «природы», нежели поведения экономического, фундаментального анализа.

На данных рисунках можно найти подтверждение выше сказанному. Слева изображен график с минутным масштабом, справа недельный. Здесь изображены валютные пары Доллар/Йена (рис. 9 (а)) и Евро/Доллар (рис. 9 (б)) с различными масштабами цен. Даже не смотря на то, что валютная пара JPY/USD имеет другую волатильность по отношению к EUR/USD мы можем наблюдать одну и ту же структуру движения цены.

Фрактальная размерность

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от евклидовой (иначе говоря топологическая размерность). Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов – извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика – Феликс Хаусдорф (1868-1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа – Безиковича) – размерность Хаусдорфа – Безиковича. Что такое размерность и для чего она нам понадобится применительно к анализу финансовых рынков? До этого нам был известен только один вид размерности – топологическая (рис. 11). Само слово размерность показывает, сколько измерений имеет объект. Для отрезка, прямой линии она равна 1, т.е. мы имеем только одно измерение, а именно длину отрезка либо прямой. Для плоскости размерность будет 2, так как мы имеем двухмерное измерение, длина и ширина. Для пространства или объемных объектов, размерность равна 3: длина, ширина и высота.

Давайте рассмотрим пример с компьютерными играми. Если игра сделана в 3D графике, то она пространственна и объемна, если в 2D графике – графика изображается на плоскости (рис. 10).

Самое необычное (правильнее было бы сказать – непривычное) в размерности Хаусдорфа – Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа – Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Размерность характеризует усложнение множества (например прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость (рис. 12)

Увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа – Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность, переход с 1 сразу к 2. Размерность Хаусдорфа – Безиковича – и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным, принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,15 для слегка извилистой линии, 1,2 – для более извилистой, 1,5 – для очень извилистой и т. д.

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа – Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа – Безиковича, но и любая другая) – это размерность, способная принимать не обязательно целые значения, но и дробные.

Для линейных геометрических фракталов, размерность характеризует их самоподобность. Рассмотрим рис. 17 (А), линия состоит из N=4 отрезков, каждый из которых имеет длину r = 1/3. В итоге получаем соотношение:

D = logN/log(1/r)

Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим мультифракталах (нелинейных). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных объектов.

На валютном рынке размерностью можно охарактеризовать волатильность котировок цены. Для каждой валютной пары характерно свое поведение в масштабе цен. У пары Фунт/Доллар (рис. 13(а)) оно более спокойно, нежели чем у Евро/Доллар (рис. 13(б)). Самое интересное в том, что данные валюты двигаются одинаковой структурой к ценовым уровням, однако, размерность у них разная, что может сказаться на внутридневной торговле и на ускользающих от не опытного взгляда, изменениях моделей.

На рис. 14 показана размерность применительно к математической модели, для того чтобы вы более глубоко прониклись в значение данного термина. Обратите внимание, что на всех трех рисунках изображен один цикл. На рис. а размерность равна 1.2, на рис. б размерность равна 1.5, а на рис. в 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве волатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени. На рис. 15 изображена пара Евро/Доллар в дневном масштабе цен. Обратите внимание, четко видно сформировавшийся цикл и начало нового, большего цикла. Перейдя на часовой масштаб и увеличив один из циклов, мы сможем заметить более мелкие циклы, и часть крупного, расположенного на D1 (рис. 16). Детализация циклов, т.е. их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что: фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.

Понятие инвариантности было введено Мандельбротом от слова «sealant» – масштабируемый, т.е. когда объект обладает свойством инвариантности, он имеет различные масштабы отображения.

На рис. 16 кругом А выделен мини цикл (детализированная волна), кругом Б – волна большего цикла. Именно из-за размерности, мы не всегда можем определять ВСЕ циклы на одном масштабе цен.

О проблемах определения и свойствах развития непериодических циклов мы поговорим в разделе «Циклы на валютном рынке», сейчас для нас главное было понять, как и где размерность проявляется на финансовых рынках.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной (случайной) природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. Простой пример нелинейной динамической системы:

Джонни растет на 2 дюйма в год. Эта система объясняет, как высота Джонни изменяется во времени. Пусть х (n) будет ростом Джонни в этом году. Пусть его рост в следующем году будет записан, как х (n+1). Тогда мы можем написать динамическую систему в форме уравнения:

х(n+1) = х(n) + 2.

Видите? Разве это не простая математика? Если мы введем сегодняшний рост Джонни х (n) = 38 дюймов, то с правой стороны уравнения мы получим рост Джонни в следующем году, х (n+1) = 40 дюймов:

х(n+1) = х(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Движение справа налево в уравнении называется итерацией (повторением). Мы можем повторить уравнение снова, введя новый рост Джонни 40 дюймов в нужную сторону уравнения (то есть х (n) = 40), и мы получим х (n+1) = 42. Если мы итерируем (повторим) уравнение 3 раза, мы получим рост Джонни через 3 года, а именно 44 дюйма, начав с роста 38 дюймов.

Это – детерминированная динамическая система. Если мы хотим сделать ее недетерминированной (стохастической), мы могли бы сделать такую модель: Джонни растет на 2 дюйма в год, больше или меньше и записать уравнение, как:

х(n+1) = х(n) + 2 + е

где е – небольшая ошибка (небольшая относительно 2), представляет некоторое вероятностное распределение.

Давайте вернемся к первоначальному детерминированному уравнению. Первоначальное уравнение, х(n+1) = х(n) + 2, является линейным. Линейное означает, что Вы добавляете переменные или константы или умножаете переменные на константы. Например, уравнение

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

является линейным. Но если Вы перемножите переменные, или возведете их в степень, большую единицы, уравнение (система) станет нелинейным. Например, уравнение

х(n+1) = х(n) 2

является нелинейным, потому что х (n) – возведено в квадрат. Уравнение

является нелинейным, потому что две переменные, х и у, перемножены.

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное, т.е. полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. Пример классической модели можно представить в виде постоянно убывающей, либо возрастающей тенденции. И мы можем предсказать ее поведение, зная прошлое объекта(исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Давайте теперь рассмотрим, как из прямой можно получить то, что мы называем фракталом, с присущими ему свойствами.

На рис. 17 (А) изображена кривая Коха. Возьмем отрезок линии, ее длина = 1, т.е. пока еще топологическая размерность. Теперь мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего треугольника. Это стадия два (b) конструкции изображена на рис. 17 (А). В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая по 1/3 длины, так что вся длина – 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это – стадия три (с). Это даст нам 16 еще меньших долей линии, каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3) 2 . В итоге получили дробную размерность. Но не только это отличает образовавшуюся структуру от прямой. Она стала самоподобной и ни в одной ее точке невозможно провести касательную (рис. 17 (Б)).

Содержание