В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числапомогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.
Для четкого понимания рассмотрим пример.
Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos (1 2) = π 3 .
Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно ). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:
sin (- π 2) = - 1 , sin (- π 3) = - 3 2 , sin (- π 4) = - 2 2 , sin (- π 6) = - 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1
Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от - 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.
Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.
Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:
cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = - 1 2 , cos 3 π 4 = - 2 2 , cos 5 π 6 = - 3 2 , cos π = - 1
Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:
a r c cos (- 1) = π , arccos (- 3 2) = 5 π 6 , arcocos (- 2 2) = 3 π 4 , arccos - 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0
Таблица арккосинусов.
Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.
a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g
Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют т аблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin (- α) = - a r c sin α , a r c cos (- α) = π - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α , a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α .
Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.
Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.
Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.
Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.
Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .
Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул сумм ы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса ).
При известном a r c sin α = - π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:
a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .
Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.
Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.
При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.
Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Рассмотрим квадратное уравнение .
Определим его корни .
Не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой определить оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать в виде . При этом и - комплексные числа, в которых -1 это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая часть – это также действительное (вещественное) число. Мнимая часть, умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число .
В общем виде комплексное число имеет вид
z = x + iy ,
где x, y – вещественные числа, – мнимая единица. В ряде прикладных наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов мнимая единица обозначается через j . Вещественные числа x = Re{z} и y = Im{ z} называются вещественной и мнимой частями числа z. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Любое действительное число есть частный случай комплексного числа в виде . Мнимое число тоже частный случай комплексного числа .
Определение множества комплексных чисел С
Это выражение читается следующим образом: множество С , состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица. Отметим, что и т.д.
Два комплексных числа и равны, если и только если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .
Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.
- Арифметика комплексных чисел
Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.
Соответственно разность двух комплексных чисел
Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = x + iy.
Комплексно сопряженные числа z и z * отличаются знаками мнимой части. Очевидно, что
.
Любое равенство между комплексными выражениями остается справедливым, если в этом равенстве всюду i заменить на - i , т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и – i алгебраически неразличимы, поскольку .
Произведение (умножение) двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:
Деление двух комплексных чисел:
Пример :
- Комплексная плоскость
Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x, y).
На оси Ox будем располагать действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью , на оси Oy –мнимые части y комплексных чисел. Она носит название мнимой оси . При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью . Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА .
Число x называется абсциссой комплексного числа , число y – ординатой .
Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.
Если на плоскости задать полярную систему координат , то каждое комплексное число z определяется полярными координатами . При этом модуль числа – это полярный радиус точки, а угол - её полярный угол или аргумент комплексного числа z .
Модуль комплексного числа всегда неотрицательный. Аргумент комплексного числа не определяется однозначно. Главное значение аргумента должно удовлетворять условию . Каждой точке комплексной плоскости соответствует также общее значение аргумента . Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент числа нуль не определен.
Главное значение аргумента определяют по выражениям:
Очевидно, что
При этом
, .
Представление комплексного числа z в виде
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример .
- Показательная форма комплексных чисел
Разложение в ряд Маклорена для функций действительного аргумента имеет вид:
Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z разложение имеет аналогичный характер
.
Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно представить как
Получившееся тождество называется формулой Эйлера .
Для отрицательного аргумента оно имеет вид
Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса
.
Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел
можно получить показательную (экспоненциальную, полярную) форму комплексного числа, т.е. его представление в виде
,
где - полярные координаты точки с прямоугольными координатами (x, y ).
Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом .
Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел
Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90
При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.
Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества
с помощью формулы Эйлера можно записать
Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов
- Степени, корни и логарифмы комплексных чисел
Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле
Пример . Вычислим .
Представим число в тригонометрической форме
’
Применяя формулу возведения в степень, получим
Положив в выражении значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять выражения синусов и косинусов кратных углов.
Корень n –й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, определяемых по выражению
Пример . Найдем .
Для этого выразим комплексное число () к тригонометрической форме
.
По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем
Логарифм комплексного числа z – это число w , для которого . Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле
Состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной U m , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω .
При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель. Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к дифференцированию / интегрированию вещественной и мнимой части.
Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения
заключается в умножении его на iω - вещественная часть функции f(z), а – мнимая часть функции. Примеры: .
Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w - точкой в комплексной плоскости w . При отображении w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w , фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.