Теоремы об углах, образованных
Геометрия, Глава III, 7 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Теорема, обратная данной
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .
Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .
Условие теоремы (Дано): треугольник - равнобедренный
Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны
Условие теоремы : углы при основании равны
Заключение теоремы : треугольник - равнобедренный
НОВОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
Обратная
теорема
Если в треугольнике два угла
равны, то он - равнобедренный .
Теорема, обратная данной
Всегда ли обратное утверждение верно?
Теорема
Обратная теорема
Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы - смежные
Сумма смежных углов
равна 180 0 .
Если углы равны,
то они - вертикальные
Вертикальные углы равны
Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный
В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой
Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный
Е сли треугольник - равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой
Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей
Всегда ли обратное утверждение верно?
Теорема
Обратная теорема
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .
Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно
МЕТОД ОТ
ПРОТИВНОГО
Выдвигаем предположение, противоположное тому, что надо доказать
Путем рассуждений приходим к противоречию с известной аксиомой или теоремой
Делаем вывод о неверности нашего предположения и верности утверждения теоремы
Но это противоречит аксиоме параллельных
Следовательно, наше допущение неверно
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой
Углы, образованные
двумя параллельными прямыми и секущей
Теорема
Обратная теорема
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны .
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны
Углы, образованные
двумя параллельными прямыми и секущей
Теорема
Обратная теорема
Если при пересечении двух прямых секущей 0 , то прямые параллельны .
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0
Прямые а и b параллельны.
Найдите угол 2.
Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы
Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы
Найдите неизвестные углы
Найдите неизвестные углы
Найдите неизвестные углы
Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух накрест лежащих углов равна 100 0 .
Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух соответст-венных углов равна 260 0 .
Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если разность двух одно-сторонних углов равна 50 0 .
>>Математика: Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен
на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.
1. Квадрат суммы и квадрат разности:
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:
а) (Зх + 2) 2 ;
б) (5а 2 - 4b 3) 2
а) Воспользуемся формулой (1),
учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b - число 2.
Получим:
(Зх + 2) 2 = (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.
б) Воспользуемся формулой (2) , учтя, что в роли а выступает5а 2 , а в ролиb выступает 4b 3 . Получим:
(5а 2 -4b 3) 2 = (5а 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6 .
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b) 2 = (а + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .
Это следует из того, что (- а) 2 = а 2 .
Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.
Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 85 2 .
Имеем:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);
65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).
Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).
Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b) 2 . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а 2), квадрат со стороной b (его площадь равна b 2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).
Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а 2 - аb + bа - b 2 = а 2 - b 2 .
Итак
Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а 2 - b 2 . Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а 2 - b 2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название - разность квадратов.
Замечание.
Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов - это а 2 - b 2 , значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности - это (a- b) 2 , значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:
разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,
Пример 2.
Выполнить умножение
(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx) 2 - (2у) 2 = 9x 2 - 4y 2 .
Пример 3.
Представить двучлен 16x 4 - 9 в виде произведения двучленов.
Решение. Имеем: 16x 4 =(4x 2) 2 , 9 = З 2 , значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:
16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)
Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите:
79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а 2 - b 2 . Итак, (а + b) (а - b) = а 2 - b 2 , т. е. получили формулу (3).
3. Разность кубов и сумма кубов
Умножим двучлен а - b на трехчлен а 2 + ab + b 2 .
Получим:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -b b 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b-аb 2 -b 3 = а 3 -b 3 .
Аналогично
(а + b) (а 2 - аb + b 2) = а 3 + b 3
(проверьте это сами). Итак,
Формулу (4) обычно называют разностью кубов , формулу(5) - суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a 2 + ab + b 2 похоже на выражение а 2 + 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b) 2 ; выражение а 2 - ab + b 2 похоже на выражение а 2 - 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b) 2 .
Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а 2 + 2ab + b 2 и а 2 - 2ab + b 2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а 2 + ab + b 2 и а 2 - ab + b 2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:
разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.
Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5) - формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) - формулы разложения на множители.
Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x 2 + 2х +1).
Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель - неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим:
(2х - 1)(4x 2 + 2х + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.
Пример 5. Представить двучлен 27а 6 + 8b 3 в виде произведения многочленов.
Решение. Имеем: 27а 6 = (За 2) 3 , 8b 3 =(2b) 3 . Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:
27а 6 + 8b 3 = (За 2) 3 + (2b) 3 = (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) = (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).
Помощь школьнику онлайн , Математика для 7 класса скачать , календарно-тематическое планирование
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
