В результате освоения данной главы студент должен:

знать

  • определение равновесия по Нэшу (как в чистых, так и в смешанных стратегиях);
  • основные свойства равновесия по Нэшу;
  • теоремы, формулирующие условия существования равновесия по Нэшу в стратегических играх;
  • определение понятия "равновесие дрожащей руки";

уметь

Решать задачу нахождения равновесия по Нэшу в биматричных играх (в том числе графическим методом для игр);

владеть

  • простейшими методами анализа свойств биматричных игр 2 х 2 с использованием результатов их графического решения;
  • системой представлений как о возможностях, так и об объективных проблемах практического применения понятия равновесия по Нэшу;
  • терминологическим аппаратом, позволяющим самостоятельно осваивать научную и профессиональную литературу, использующую понятие равновесия но Нэшу и его свойства.

В данной главе мы рассмотрим основной объект исследования теории бескоалиционных игр, получивший название равновесия по Нэшу. Данное понятие было предложено выдающимся американским математиком Джоном Нэшем (John Forbes Nash) сначала в его диссертации, а затем в серии работ, вышедших в 1950-1953 гг. .

^ Ситуацию s* в игре Г = (I, {} i Î I , {(s)} i Î I) будем называть равновесием но Нэшу (в чистых стратегиях), если для любого игрока i Î I

Другими словами, ситуация равновесия по Нэшу - это такая ситуация в игре, от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться поодиночке (при условии что остальные участники игры придерживаются своих стратегий, образующих равновесие по Нэшу).

Рассмотрим отображения, которые для каждого игрока i Î I для каждой возможной подситуации Î ставят в соответствие некоторую стратегию , являющуюся его наилучшим ответом для данной подситуации:

Отображения возвращающие наилучшие ответы на подситуации, также называют отображениями отклика игрока. Из неравенства (3.1) следует, что ситуация равновесия по Нэшу образуется стратегиями, которые возвращаются отображениями отклика всех игроков, т.е. ситуация равновесия по Нэшу - это ситуация, образуемая наилучшими ответами каждого игрока на наилучшие ответы остальных:

В свою очередь, из условия (3.3) вытекают следующие свойства.

  • 1. Строго доминируемые стратегии и НЛО-стратегии не могут входить в равновесие по Нэшу.
  • 2. Стратегии, образующие равновесие по Нэшу, не могут быть исключены в процессе удаления строго доминируемых стратегий и рационализации игры.

Одновременно следует подчеркнуть, что слабо доминируемые стратегии перечисленными свойствами не обладают. Несложно сконструировать пример равновесия по Нэшу, в котором будут присутствовать одна или несколько слабодоминируемых стратегий.

Для рассмотрения свойств равновесия по Нэшу вернемся к игре "дилемма заключенного" (см. табл. 2.1).

Как нетрудно заметить, данная игра имеет единственное состояние равновесия по Нэшу. Это ситуация (С, С), в которой оба игрока сознаются и получают по пять лет тюремного наказания. Фундаментальным качеством ситуации (С, С) является именно то, что от нее действительно никому невыгодно отклоняться поодиночке. Если один из заключенных попытается сменить стратегию с "сознаться" на "молчать", то

этим он только ухудшит свое положение - вместо пяти лет наказания получит десять - и улучшит положение другого игрока, которого отпустят.

Нельзя не признать, что ситуация равновесия в данном примере является неэффективным исходом для заключенных. Ведь в ситуации (М, М) - оба молчат - их полезности выше (срок наказания составляет один год против пяти). Однако ситуация (М, М) обладает тем недостатком, что она неустойчива. В ней каждому из игроков выгодно сменить стратегию "молчать" на "сознаться", при условии что другой игрок продолжает придерживаться стратегии "молчать". В этом случае наказание для предавшего становится нулевым, правда, резко возрастает для преданного: с года до десяти.

Таким образом, дилемма заключенного достаточно ярко отражает тот факт, что

равновесие по Нэшу - необязательно "самая выгодная" ситуация для игроков, это устойчивая ситуация.

Также на примере дилеммы заключенного достаточно наглядно может быть продемонстрировано соотношение равновесия по Нэшу с таким фундаментальным понятием экономики, как оптимальность по Парето . Напомним, что

распределение называют оптимальным но Парето (Парето-оптимальным), когда полезность (благосостояние) ни одного из участников этого распределения не может быть увеличена без уменьшения полезности какого-либо другого участника.

Нетрудно заметить, что в дилемме заключенного ситуация равновесия но Нэшу является единственной Парето-неоптимальной: полезность участников "безболезненно для каждого из них" можно улучшить, перейдя от ситуации (С, С) к ситуации (М, М), но последняя не является равновесием по Нэшу в силу своей неустойчивости. С этой точки зрения дилемма заключенного является классическим примером, демонстрирующим различия между понятиями "равновесие по Нэшу" и "оптимальность по Парето".

Продемонстрируем возможности практического использования концепции равновесия по Нэшу на примере сюжетов из литературного приложения.

  • За свой вклад в теорию некооперативных игр Дж. Нэш в 1994 г. получил Нобелевскую премию по экономике
  • Введено итальянским экономистом и социологом Вильфредо Парето (1848-1923)

На протяжении всей жизни человек вынужден принимать определённые решения по самым разнообразным вопросам, начиная от бытовых споров - кто будет убирать комнаты в доме или как благоустроить свой город, и заканчивая международными переговорами, многомиллионными аукционами и даже военными действиями. И во всех этих ситуациях человек стремится максимизировать свой собственный выигрыш. Но при этом ему всегда приходится выбирать: сотрудничать с другими людьми или думать только о своей выгоде, не заботясь о выгоде других. Классическим примером, который показывает, что в погоне за личной выгодой не всегда можно достичь лучшего результата, выступает «Дилемма заключённого».

Двое заключённых А и Б подозреваются в совершении преступления, за которое им грозит до 10 лет лишения свободы. Но прямых улик пока нет. Поэтому следствие предлагает каждому из заключённых пойти на сделку - признаться в содеянном и свалить инициативу преступления на другого. Если один признается, а другой заключённый будет хранить молчание, то первому уменьшат срок заключения до трёх лет за содействие следствию, а второго посадят на 10 лет.

Если оба пойдут на сделку со следствием и сознаются в содеянном, то каждый получит по 5 лет. Однако, если оба будут молчать, то за отсутствием улик, их выпустят на свободу. Заключённые находятся в разных камерах, чтобы они не могли сговориться друг с другом и согласовать своё поведение на допросе. Ни один из них не знает точно, что сделает другой. Какое решение примет каждый из них? Что произойдёт?

У каждого заключённого есть выбор: молчать или признаться. Это и есть дилемма заключённого: должен ли он оговорить другого или должен попытать удачу и не признаваться, сильно при этом рискуя? В зависимости от выбора заключённых в этой ситуации возможны четыре исхода.

Рассмотрим их:

1. Если оба заключённых дают признательные показания, каждый из них получает по пять лет тюрьмы;

2. Если заключённый А будет хранить молчание, а заключённый Б даст показания против него, то первый сядет на 10 лет, а второй - на три года;

3. И наоборот, если заключённый А признается, а заключённый Б будет хранить молчание, то первый сядет на три года, а второй - на 10 лет;

4. А если оба будут молчать, то за отсутствием улик из выпустят на свободу.

Какой из этих исходов наиболее реален? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как рассуждает каждый из них. Вот как рассуждает заключённый А:

« Допустим, что заключённый Б признается. Если я тоже признаюсь, то получу 5 лет. Если же буду молчать - получу 10 лет. Значит, если заключённый Б признается, мне тоже лучше признаться в содеянном.

Если же заключённый Б будет хранить молчание, как следует поступить мне? Если признаюсь - получу 3 года. А если тоже буду молчать, то выйду на свободу. Это, конечно, идеальный вариант, но я не уверен, что заключённый Б будет молчать, я ему не доверяю. Поэтому мне лучше дать показания.

Значит, что бы ни делал заключённый Б, мне лучше признаться».

Ход рассуждений заключённого Б аналогичный, и он также приходит к выводу, что для него выгоднее признаться, независимо от того, что будет делать заключённый А.

Что же получается? Каждый из заключённых выбрал стратегию, которая, хотя и не приводит к самому лучшему результату (выходу на свободу), но является наилучшей для каждого из них при любом поведении соперника. Так как цель каждого заключённого - минимизировать свой срок заключения, не заботясь о другом заключённом, то признаться и оговорить другого - наиболее выгодная стратегия для каждого из них. Проще говоря, не важно, что сделает другой, каждый выиграет больше, если предаст. Поэтому заключённые выберут стратегию «Признаться» и получат по 5 лет тюрьмы.

Итак, на этом примере мы увидели, что решение, принимаемое одним игроком, влияет на решение другого (и наоборот) и в итоге влияет на конечный исход игры.

Другими примерами игр, в которых участвуют люди с несовпадающими (противоположными) целями, когда результат зависит от решений всех участников, могут послужить игра в покер, шахматы, пенальти в футболе и многие другие игры.

Но, наряду с традиционными играми, между людьми существуют и такие серьёзные отношения как рыночная конкуренция, гонка вооружений, загрязнение окружающей среды, выборы, торговля и др. Например, компании, конкурирующие на рынке, при принятии решений должны оглядываться на действия конкурентов. Или другой показательный пример - гонка вооружений между Советским Союзом и США в 1950-1990-х годах. В течение почти полувека две великие страны тратили много денег на вооружение, не отставая друг от друга. Если бы между ними было доверие, они бы не тратили столько средств на вооружение, а потратили бы их с бо льшей пользой (на образование, здравоохранение, пенсии и т. п.) и обе стороны выиграли бы от этого. Но вместо этого каждая страна, не доверяя другой, продолжала производить оружие и никто от этого не выигрывал.

Все эти серьёзные отношения тоже называют играми, поскольку в них, как и в обычных играх, результат зависит от решений (стратегий) всех участников. А наука, которая изучает эти серьёзные отношения, называется теорией игр. Поэтому слово «игра» в данном случае не должно вводить вас в смятение. Это понятие в теории игр трактуется шире, чем в повседневной жизни.

Равновесие Нэша

Итак, в «Дилемме заключённого» ситуация складывается таким образом, что, поступая по отдельности рационально и разумно, в итоге заключённые получают по пять лет тюрьмы. Однако, как мы уже отметили, это не самый оптимальный исход. Есть вариант и получше: выйти на свободу, если оба будут молчать.

Наверняка каждый из заключённых, когда принимал решение, рассуждал так: «Если мы оба будем молчать, то выйдем на свободу. Конечно, это лучше, чем сесть на пять лет. Но где гарантия, что второй тоже будет молчать? Ведь если я буду молчать, а другой даст показания, то я сяду на целых 10 лет! Нет, уж лучше я признаюсь в содеянном».

Очевидно, что взаимное недоверие друг к другу не позволяет реализоваться ситуации, когда каждый выйдет на свободу. К тому же заключённые сидят в разных камерах и каждый принимает решение, не зная о решении другого и у каждого есть соблазн дать показания против другого и получить 3 года вместо 5 или 10 лет. Получается, что самый лучший исход - выйти на свободу - является ненадёжным и нестабильным. Именно поэтому заключённые выбрали такие стратегии, которые привели пусть не к самому лучшему исходу, но зато надёжному и исключающему риск обмана и предательства. Такой исход называется равновесием Нэша.

Равновесие Нэша (Nash equilibrium ) - это такая комбинация стратегий игроков и их выигрышей, при которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию, если при этом другие участники своих стратегий не меняют. Примечание: равновесие Нэша существует в играх, в которых игроки действуют независимо друг от друга и не могут объединяться и координировать свои действия.

Простыми словами, равновесие Нэша - это такая ситуация, когда стратегия каждого игрока является наилучшей реакцией на стратегии других игроков и ни одному игроку невыгодно в отдельности менять свою стратегию.

Равновесие Нэша - это не самый лучший исход из всех возможных, но в ситуации, когда каждый играет сам за себя, это оптимальный исход для каждого игрока, потому что сводятся к нулю риски и потери каждого игрока, которые могли бы быть, если другой игрок решит его обмануть или предать.

Равновесие Нэша - это устойчивое равновесие, потому что игрокам выгодно его сохранять, так как любое изменение ухудшит их положение. Но если в отношениях между игроками появляется сотрудничество, равновесие Нэша перестаёт быть равновесным, потому что появляется возможность достичь более лучшего результата. Например, если бы в «Дилемме заключённого» у игроков была возможность договориться о сотрудничестве, а именно - вдвоём хранить молчание, либо, если бы у них не было сомнений в том, что другой не предаст и тоже будет молчать, то ситуация могла бы закончиться для обоих с более лучшим исходом - выходом на свободу.

Вывод: Равновесие Нэша показывает, что каждый игрок может выиграть больше, если между игроками будут существовать сотрудничество, доверие и честность, и каждый игрок, делая лучше для других, сделает лучше для себя.

Иллюстрация с сайта postnauka.com

Теория игр – наука, исследующая математическими методами поведение участников в вероятных ситуациях, связанных с принятием решений. Предметом этой теории являются игровые ситуации с заранее установленными правилами. В ходе игры возможны различные совместные действия – коалиции игроков, конфликты…

Часто отмечают, что в действительности олигополия - это игра характеров - игра, в которой так же, как в шахматах или в покере, каждый игрок должен предугадать действия соперника - его блеф, контрдействия, контрблеф - настолько, насколько это возможно. Поэтому экономисты, занимающиеся теорией олигополии, были восхищены появлением в 1944 году объемистой и высоко математезированной книги под названием “Теории игр и экономическое поведение”.

Стратегия игроков определяется целевой функцией, которая показывает выигрыш или проигрыш участника. Формы этих игр многообразны. Наиболее простая разновидность – игра с двумя участниками. Если в игре участвуют не менее трёх игроков, возможно образование коалиций, что усложняет анализ. С точки зрения платёжной суммы игры делятся на две группы – с нулевой и ненулевой суммами. Игры с нулевой суммой называют так же антагонистическими: выигрыш одних в точности равен проигрышу других, а общая сумма выигрыша равна 0. По характеру предварительной договорённости игры делятся на кооперативные и некооперативные.

Наиболее известный пример некооперативной игры с ненулевой суммой – “дилемма заключённого”.

Итак. С поличным поймали 2х воров, которым предъявлено обвинение в ряде краж. Перед каждым из них встаёт дилемма – признаваться ли в старых (недоказанных) кражах или нет. Если признается только 1 из воров, то признавшийся получает минимальный срок заключения – 1 год, а другой максимальный – 10 лет. Если оба вора одновременно сознаются, то оба получать небольшое снисхождение – 6 лет, если же оба не признаются, то понесут наказание, только за последнюю кражу – 3 года. Заключённые сидят в разных камерах и не могут договориться друг с другом. Перед нам игра с некооперативная с ненулевой (отрицательной) суммой. Характерной чертой этой игры является невыгодность для обоих участников руководствоваться своими частными интересами. “дилемма заключённого” наглядно показывает особенности олигополистического ценообразования.

3.1. Равновесие Нэша

(Названное в честь Джона Форбса Нэша) в теории игр - тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) не совсем точно придумана Нэшем, Антуан Августин Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргернштерном (1947).

Формальное определение.

Допустим, - игра n лиц в нормальной форме, где - набор чистых стратегий, а - набор выигрышей. Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий игрок получает выигрыш . метьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого :

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.