Описание видеоурока

Функцией называется зависимость переменной игрек от переменной икс, при которой каждому значению переменной икс соответствует единственное значение переменной игрек.

Икс называется независимой переменной или аргументом. Игрек называется зависимой переменной, значением функции или просто функцией.

Если зависимость переменной игрек от переменной икс является функцией, то коротко записывают так: игрек равно эф от икс. Этим символом обозначают также значение функции, соответствующее значению аргумента икс.

Пусть функция задана формулой игрек равно три икс квадрат минус пять. Тогда можно записать, что эф от икс равно три икс квадрат минус пять. Найдем значения функции эф для значений икс, равных двум и минус пяти. Они будут равны семи и семидесяти.

Заметим, что в записи игрек равно эф от икс вместо эф можно употреблять и другие буквы: же, фи и так далее.

Все значения икс образуют область определения функции. Все значения, которые принимает игрек, образуют область значений функции.

Функция считается заданной, если указана её область определения и правило, согласно которому каждому значению икс поставлено в соответствие единственное значение игрек.

Если функция игрек равно эф от икс задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной икс, при которых выражение эф от икс имеет смысл…

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

На рисунке изображен график функции игрек равно эф от икс, областью определения которой является отрезок от единицы до пяти. С помощью графика можно найти, например, что функция от числа один равна минус трем, функция от двух равна двум, функция от числа четыре равна минус двум, функция от числа пять равна минус четырем. Наименьшее значение функции равно минус четырем, а наибольшее - двум. При этом любое число от минус четырех до двух, включая эти числа, является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции игрек равно эф от икс является отрезок от минус четырех до двух.

Ранее нами уже были изучены некоторые виды функций:

  • Линейная функция, задаваемая формулой игрек равно ка икс плюс бэ, где ка и бэ - некоторые числа;
  • Прямая пропорциональность - частный случай линейной функции, она задается формулой игрек равно ка икс, где ка не равно нулю;
  • Обратная пропорциональность - функция игрек равно ка деленное на икс, где ка не равно нулю.

Графиком функции игрек равно ка икс плюс бэ является прямая. Область определения этой функции - множество всех чисел. Областью значений этой функции при ка не равном нулю является множество всех чисел, а при ка равном нулю ее область значений состоит из одного числа бэ.

График функции игрек равно ка деленное на икс называется гиперболой.

На рисунке изображен график функции игрек равно ка деленное на икс, для ка большего нуля. Областью определения этой функции является множество всех чисел, кроме нуля. Это множество является и областью ее значений…

Функциями описываются многие реальные процессы и закономерности. Например, прямой пропорциональностью является зависимость массы тела от его объема при постоянной плотности; зависимость длины окружности от ее радиуса. Обратной пропорциональностью является зависимость силы тока на участке цепи от сопротивления проводника при постоянном напряжении; зависимость времени, которое затрачивает равномерно движущееся тело на прохождение заданного пути, от скорости движения.

Изучались также функции, заданные формулами игрек равно икс квадрат, игрек равно икс куб, игрек равно корень квадратный из икс.

Рассмотрим функцию, заданную формулой игрек равно модуль икс.

Так как выражение модуль икс имеет смысл при любом икс, то областью определения этой функции является множество всех чисел. По определению модуль икс равен икс, если икс больше либо равен нулю, и минус икс, если икс меньше нуля. Поэтому функцию игрек равно модуль икс можно задать следующей системой.

График рассматриваемой функции в промежутке от нуля до плюс бесконечности, включая ноль, совпадает с графиком функции игрек равно икс, а в промежутке от минус бесконечности до нуля - с графиком функции игрек равно минус икс. График функции игрек равно модуль икс состоит из двух лучей, которые исходят из начала координат и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.

>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)

Что означает в математике запись у = f(x)

Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х 2 .

Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).

Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.

Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х 2 , т. е. речь идет о функции у = х 2 . Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:

если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9 и т. д.

Если же использовать обозначение f(x) = х 2 , то запись становится более экономной:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка : фраза «значение функции у = х 2 в точке х = 2 равно 4» записывается короче:

«если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(2) = 4».

А вот образец обратного перевода:

Если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(- 3) = 9. По-другому - значение функции у = х 2 в точке х = - 3 равно 9.

П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х 3 . Вычислить:

а) f(1); б) f(- 4); в) f(о); г) f(2а);
д) f(а-1); е) f(3х); ж) f(-х).

Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:

Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.

Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х 2 , и у = g (х), где g (х) = х 3 . Доказать, что:

а) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).

Р е ш е н и е. а) Так как f(x) = х 2 , то f(- х) = (- х) 2 = х 2 . Итак, f(x) = х 2 , f(- х) = х 2 , значит, f(- x) =f (x)

б) Так как g{x) = х 3 , то g(- x) = -x 3 , т.e. g(-x) = -g(x).

Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.

Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у - f(x) - такое описание свойств обычно называют чтением графика.

Чтение графика - это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика - это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.

Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).

1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] - область определения функции.

Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.

2. y наим = -2 (этого значения функция достигает при х = -4); У нанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].

3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.

4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.

5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Функция возрастает на отрезке [-4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].

По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.

Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке. А вот вторая и третья ветви менее удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) - непрерывные.

Пример 5 . Дана функция . Требуется построить и прочитать ее график.

Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика - единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь

справедливо лишь при ограничении Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х 2
будем рассматривать функцию у = х 2 , где Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х 2 .
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию , значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.

Таким образом, график функции построен - это парабола у = х 2 с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).


Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:

1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- 0 о, 2) и

2. у наим = 0 (достигается при х = 0), у наиб _ не существует.

3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).

4. у = 0, если х = 0.

5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале .

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

ФУНКЦИЯ - F(X) y=f(x).

Что такое функция f(х)?
Как бывший школьный учитель математики напоминаю тем, кто забыл.
Y – функция, Х-аргумент, f- закон, по которому находим Y.
Пример:
Поезд идет со средней скоростью 30 км. в час. Два часа в пути – 60 км прошел. 4 часа в пути – 120 км. и т.д. Чем больше времени поезд в пути, тем большее расстояние он проходит. Х и Y –переменные величины, и функция y =f(x) ,где Y – расстояние, a X – время в пути, и есть необходимый закон.
Вспомнили? Я тоже вспомнил, нo другое.
По окончании физмата Хабаровского пединститута меня направили на работу в Биробиджан, в школу номер 6, которая располагалась в поселке Сопка, за рекой, где стоял военный гарнизон, довольно многочисленный, со своим госпиталем, Домом офицеров, мастерскими по ремонту танков, деревянными двухэтажными домами, где жили семьи военослужащих.
Школа имела два здания: большое, кирпичное, двухэтажное, и маленькое, деревянное, одноэтажное, где располагались классы начальной школы – с 1-го по 4-й. В ней меня и поселили. В маленьком угловом классе я жил с бабушкой, которая поехала со мной, зная мою житейскую неприспособленность. Она мне варила, стирала, сидела рядом, когда я проверял тетради, защищала от работников местного КЭЧ, которые сильно хотели забрать наши две кровати, числящиеся у них на учете.
Зарплата была минимальная для учителя. 18 рабочих часов в неделю, три 5-х класса, самый трудный для учителя возраст. Денег нехватало даже на еду, и бабушка отказалась от мяса, ела картошку, так как считала, что мясо стоит слишком дорого. Хорошо, что не нужно было платить за свет, печное отопление и канализацию, которой не было. Кроме того, в классе, в котором я был классным руководителем, учились дети высокопоставленных офицеров гарнизона: сын командира части полковника Андронова, сын начальника госпиталя подполковника мед, службы Заровняева, дочь начмеда Жекова, дети врачей госпиталя и офицеров. Контроль за моей деятельностью, как воспитателя, был постоянный. Надо сказать, что дети этих высоких чинов были исключительно дисциплинированными, все они учились только на отлично, с ними было приятно работать. Мне был 21 год, я играл с ними в баскетбол, футбол, но, к сожалению, это не прибавляло денег в мой кошелек. К тому же, в классе учились и другие дети, которые резко отличались по уровню развития от детей военных.
Но мне, случайно, улыбнулась удача. Моя коллега сообщила мне, что требуется, временно, преподаватель математики в «Школу паровозных машинистов», которая существовала в то время в Биробиджане.
Это был хороший приработок. Меня приняли преподавателем по совместительству.
Известно, что на тепловозную тягу Дальний Восток перешел последним на Транссибе.
Студентами «Школы" были мужики, все старше меня: демобилизованные солдаты, бывшие заключенные, которых на Дальнем Востоке всегда было много, бывшие деревенские жители, часто малограмотные, хотя принимали в школу только закончивших семилетку. Школа давала им шанс хорошего заработка, и они «грызли гранит науки» очень добросовестно, хотя многим было трудно.

Однажды, когда я проверял тетради, бабушка привела посетителя, который искал в здании средней школы «Владимира Давидовича». Оказалось – курсант «Школы» по имени Вася Дорошенко, бывший деревенский житель из пригородного совхоза. Поставил на стол чемоданчик, открыл. Там – бутылка водки с закуской: деревенская колбаса, копченое мясо, деревенский хлеб. Я – опешил.
Васю я приметил давно, Он ничего не понимал из моих обьяснений, от опросов уклонялся, контрольные списывал.
-Что тебя привело ко мне?
-Владимир Давидович, я все понимаю, что Вы обьясняете, но функция F(X) ! Что это?
Мы с бабушкой еле-еле заставили Васю сложить все принесенное обратно в чемодан, я отставил в сторону тетради, и мы начали занятия. К своему ужасу, я обнаружил, что Вася не знает таблицы умножения. Дла меня это был шок. Теперь, с высоты своих лет и опыта я понимаю всю нищету моих тогдашних понятий. В дальнейшей своей жизни мне встретились и директор музыкальной школы, который всегда ходил с карандашом, на котором была таблица умножения, и жена моего друга, русского писателя Эдуарда П…… Наталия К........., - бывший преподаватель МАИ - профессор математики, которая сама мне сказала, что таблицу не знает до сих пор.
Но тогда, в далекой молодости, мне это казалось невероятным, отбивало охоту что-то обьяснять. Я сосредоточился на функции
F(x). Долго обьяснял, приводил примеры, что-то получилось. Вася встал удовлетворенный. Опять открыл чемодан, предложил выпить и закусить. Для меня выпивка - острый нож в сердце. Душа не приемлет, возможно, на генетическом уровне, хотя мой отец вернулся с фронта с большим пристрастием к водке.
Ах, водка! Сколько раз мне пришлось ее выливать незаметно, заменять, отдавать, когда участвовал в застольях, как гармонист, затем, баянист! Ведь на Руси всегда первый стакан – гармонисту!
Наконец, мы убедили Васю снова собрать все в чемоданчик. Он сказал, что идет в туалет и больше не вернулся. Чемоданчик остался на столе.
Я боялся, что его примеру последуют и другие курсанты, имеющие с математикой проблемы, но обошлось. Очевидно, сработал слух, что я не пью.
Вася «Школу» закончил. Я уже там в это время не работал, вернулась прежняя преподавательница, которая была в декрете. Скоро «Школу» закрыли. Дорога переходила на тепловозную тягу, значит снова Васе учиться. Мне, наконец, дали две небольшие комнаты в «коммуналке» и мои родители, жившие в городке Пограничный, возле Уссурийска, все бросили и приехали ко мне.
А Вася? Думаю, что стал достойным железнодорожником и без функции Y = F(X).
А эта функция, как маленький золотой ключик, открывает потайную дверь в ту область знаний, которая приучает человека мыслить отвлеченно, абстрактно и которая на всех великих языках называется почти одинаково – МАТЕМАТИКА.
P.S.
|Эти дети, у которых я был классным руководителем в 5,6,7,8 классах, были моими первыми учениками в моей учительской карьере, я их запомнил навсегда. Они – на 10 лет младше меня, сегодня им – по 68. Некоторые из них стали очень известными людьми в России и Израиле.

Рецензии

Здравствуйте, Владимир! С удовольствием и интересом прочитал Ваш рассказ. Должен сказать, что к старости пропадает желание читать выдуманные истории, даже если написано хорошим языком и, с художественной точки зрения, правдиво. Не знаю, хорошо это или плохо. ...А математику я люблю. Как и Вы. С уважением, Юрий.