Средний уровень
Основные аксиомы планиметрии. Исчерпывающий гид (2019)
1. Основные понятия планиметрии
Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.
Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.
У каждого отрезка есть длина - число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.
А теперь измерение углов . Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.
В развернутом угле градусов.
Для краткости пишут: . При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол . Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.
2. Два основных факта об углах
I. Смежные углы в сумме составляют.
Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!
II. Вертикальные углы равны.
Почему? А смотри:
Что теперь? Ну, конечно, отсюда следует, что. (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).
Чему равна величина прямого угла?
Ну конечно, ! Ведь.
4. Острый и тупой угол.
Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах ?
Аксиомы - это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.
Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком. Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда - добро пожаловать в - там есть довольно подробное обсуждение аксиом. А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида - просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.
Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача - приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции - что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций - никуда!
Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом» .
Так что, внимание!
Основные объекты и аксиомы планиметрии.
Точка и прямая
Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.
Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» - утверждения, которые принимаются за основу, из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется
I. Аксиомы принадлежности.
Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:
Вот так: было две точки:
И тут же нашлась прямая:
А другой - нет!
Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты - на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая» .
Луч, отрезок, угол.
Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - , отрезок , угол.
1) ЛУЧ
Вот он,
2) ОТРЕЗОК
Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:
II. Аксиомы порядка.
Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются
III. Аксиомы мер для отрезков и углов.
А теперь уже совсем странно.
IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному.
Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:
Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных !
Но сперва определение :
V. Аксиома параллельных.
Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии ! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.
А теперь два основных факта об углах!
Смежные и вертикальные углы.
Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной
Это совсем простая теорема, правда?
Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть.
Проще нарисовать, чем описывать - смотри картинку.
Эта тоже легкая теорема. Убедись:
Острый и тупой угол.
КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Аксиомы принадлежности:
- Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
- Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Аксиомы порядка:
- Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
Аксиомы мер для отрезков и углов:
- Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
- Аксиома 6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Аксиомы существования треугольника, равного данному:
Аксиома параллельных:
- Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Основные факты об углах:
- Теорема. Сумма смежных углов равна.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:
- Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
- Вертикальные углы равны между собой.
Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника :
Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны . Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы (медиана - линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):
Свойства медиан:
- Все три медианы пересекаются в одной точке.
- Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
- В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.
Свойство биссектрисы (биссектриса - линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):
Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике - линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):
Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:
- Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
- Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов :
Теорема синусов :
Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр - линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c - гипотенуза, a и b - катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h - высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников - стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия - число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:
- По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
- По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
- По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Трапеция
Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Некоторые свойства трапеций:
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
- В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
- Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания - подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны - равновелики.
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
- У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- У равнобедренной трапеции диагонали равны.
- В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.
Параллелограмм
Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Некоторые свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
- Противоположные углы параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
- Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
Квадрат
Квадрат - четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.
Ромб и прямоугольник
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула - через две диагонали, вторая - через длину стороны и угол между сторонами):
Свойства ромба:
- Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
- Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
- Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки равенства треугольников |
|
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны. | |
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны. | |
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. | |
Признаки равенства прямоугольных треугольников |
|
1. По двум катетам | 3. По катету и острому углу |
2. По катету и гипотенузе | 4. По гипотенузе и острому углу |
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё. |
|
1. Сумма внутренних углов треугольника равна . | |
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов. |
|
3. Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним |
|
Неравенство треугольника. Следствия из неравенства треугольника |
|
1. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. | |
2. Против большего угла треугольника лежит большая сторона. 3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол. | |
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета. | AB > AC, AB > BC |
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника. |
|
Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием. | |
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. |
|
2. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. |
|
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. |
|
4. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный. |
|
Средняя линия треугольника. |
|
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника. | |
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине. |
|
Теоремы о медианах треугольника. |
|
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. | |
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. | |
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. |
|
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. |
|
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника. | |
Теорема о высотах треугольника. |
|
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. | |
Свойство биссектрисы треугольника. |
|
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник. | |
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. | |
Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой. |
|
Прямоугольный треугольник |
|
1. Теорема Пифагора . Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. | |
2. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный. |
|
3. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла. | |
4. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла. |
|
5. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. | |
6. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 . |
|
7. ; , где - катеты, - гипотенуза, и - радиусы соответственно вписанной и описанной окружности. | |
8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, | |
9. Катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу. |
|
Метрические соотношения в треугольнике. |
|
1. Теорема косинусов . Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. | |
2. Формула для медианы треугольника . Если mс - медиана треугольника, проведенная к стороне c , то , где a и b - остальные стороны треугольника. | |
3. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. | где R – радиус, описанной около треугольника окружности |
4. Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника. |
|
Формулы площади треугольника. |
|
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. | 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. |
4. Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности. | 3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. |
5. Формула Герона. |
|
Элементы равностороннего треугольника. |
|
Пусть h ,S, r, R - высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a . | , , , , |
Подобие треугольников |
|
1. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны. | и - подобны |
2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. | и - подобны |
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны. | и - подобны |
Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия. | и - подобны |
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. |
|
Предварительный просмотр:
Задачи с кратким ответом
Вычисление углов и длин
Условие | Чертёж | Ответ |
|
В треугольнике АВС угол А равен , внешний угол при вершине В равен . Найдите градусную меру угла С . | |||
В треугольнике АВС угол С равен , АС = ВС. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине В . | |||
Градусные меры углов треугольника относятся как 2: 3: 7. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника. | |||
В треугольнике АВС угол С равен , АD – биссектриса угла А, угол ВAD равен . Найдите градусную меру угла ВDA . | |||
В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 5 раз больше другого. Найдите градусную меру большего острого угла данного треугольника. | |||
Мальчик прошел от дома по направлению на запад 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? | |||
Группа туристов двигалась от станции на север 2ч со скоростью 4 км/ч, а затем на восток 3ч со скоростью 2 км/ч. На каком расстоянии (в километрах) от станции оказалась группа туристов? | |||
На какой высоте будет находиться верхний конец лестницы, длиной 13 м, если нижний её конец находится на расстоянии 5 м от стены. | |||
Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 11:34. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. | |||
Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. |
Площадь треугольника
Условие | Чертёж | Ответ |
|
По данным рисунка найдите площадь треугольника. | |||
По данным рисунка найдите площадь треугольника. | |||
По данным рисунка найдите площадь треугольника. | |||
В треугольнике АВС проведена высота СН. Известно, что АВ = 3СН, СН = 3 | |||
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника. | |||
Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона - 5. Найдите площадь треугольника. | |||
А угол между ними равен . Найдите площадь треугольника. | |||
В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника. | |||
Периметр треугольника равен 24 см, а радиус вписанной в него окружности - 3 см. Найдите площадь треугольника.
Выберите неверные утверждения
Предварительный просмотр:Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com Подписи к слайдам:Треугольники 1.Какие из следующих утверждений верны? 1) Если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным. 2) Если биссектриса треугольника делит противоположную сторону на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный. 3) Если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы. 4) Если треугольник равнобедренный, то наименьшей из сторон является его основание. 05.10.2012 2 2.Какие из следующих утверждений верны? 1) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. 2) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой. 3) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 4) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5 угол С наименьший. 05.10.2012 3 3. Какие из следующих утверждений верны? 1) В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. 2) Если один угол треугольника больше 120 0 , то оба других его угла меньше 30 0 . 3) Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1. 4) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90 0 . 05.10.2012 4 4.Какие из следующих утверждений верны? 1) В треугольнике, для которого, сторона ВС - наименьшая. 2) В треугольнике, для которого АВ = 4, ВС =5, АС= 6, угол В - наибольший. 3) Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла. 4) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует. 05.10.2012 5 5.Какие из следующих утверждений верны? 1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности. 2) В любой треугольник можно вписать не более одной окружности. 3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис. 4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 05.10.2012 6 6. Выберите неверные утверждения 1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 4) Треугольник ABC , у которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5 , является тупоугольным. 05.10.2012 7 7. Выберите неверные утверждения 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Любые два равносторонних треугольника подобны. 3) Треугольник ABC , у которого АВ = 4, ВС=5, АС = 6, является прямоугольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы не превосходит суммы квадратов катетов. 05.10.2012 8 8. Выберите неверные утверждения 1) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то такие треугольники подобны. 3) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними. 4) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 05.10.2012 9 9 . Выберите неверные утверждения 1) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 2) В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. 3) В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол. 4) Если в треугольнике два угла по 70°, то он тупоугольный. 05.10.2012 10 10 . Выберите неверные утверждения 1) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 2) Существует треугольник со сторонами 2, 4, 7. 3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 4) Площадь треугольника равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности. 05.10.2012 11
что нужно знать по ПЛАНИметрии Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (Обобщенная теорема: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.) Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Свойство биссектрисы треугольника: она делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. В правильном треугольнике: . В квадрате: центральные и вписанные углы, пропорциональные отрезки в окружности 27. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 28. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 29. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой. 30. Угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него. 31. Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями (рис.1). 32. Угол с вершиной вне окружности измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами (рис.2). Начальный уровень Треугольник. Исчерпывающий гид (2019)На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как , и т.д. выделены в отдельные темы - читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника. 1. Сумма углов треугольника. Внешний угол.Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории). Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке - это слово «внутренних». Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают. У треугольника ещё бывают внешние углы . И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна, касается как раз внешнего треугольника. Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника. Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем) продолжаем. Конечно, мы бы могли оставить сторону, а продолжить сторону. Вот так: А вот про угол такого сказать ни в коем случае нельзя ! Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны. Так что же мы должны знать про внешний угол? Смотри, на нашем рисунке это означает, что. Как же это связано с суммой углов треугольника? Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна но - потому, что и - смежные. Ну вот и получается: . Видишь как просто?! Но очень важно . Так что запоминай: Сумма внутренних углов треугольника равна, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. 2. Неравенство треугольникаСледующий факт касается не углов, а сторон треугольника. Это означает, что Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника? Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным? А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто - то из вас говорит неправду!» Почему? Да потому что если от Коли до Пети м, а от Пети до Сергея м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше () метров - иначе и нарушается то самое неравенство треугольника. Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой () должен быть короче, чем путь с заходом в точку. (). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос: Бывает ли треугольник со сторонами? Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: , значит, треугольника со сторонами и не бывает! А вот со сторонами - бывает, потому что 3. Равенство треугольниковНу вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению: Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников , которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки. Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много - много - много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил - треугольники совпадают при наложении» - тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра. Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.
В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки - их легче запомнить и применять.
ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМТреугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Основные понятия. Основные свойства:
Признаки равенства треугольников. 1. Первый признак
- по двум сторонам и углу между ними. 2. Второй признак
- по двум углам и прилежащей стороне. 3. Третий признак
- по трём сторонам. Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут. Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%! Теперь самое главное. Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить… Для чего? Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика. Но и это - не главное. Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю... Но, думай сам... Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым? НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ. На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время . И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай! Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем. Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь. Как? Есть два варианта:
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу. Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме. На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО. Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта. И в заключение... Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории. “Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба. Найди задачи и решай!  Публикации
|
. В правильном шестиугольнике: 
. В прямоугольном треугольнике: 
. В любом треугольнике: 
. Формулы для вычисления площади треугольника: . Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле 
. Формулы для вычисления площади параллелограмма: . Формулы для вычисления площади трапеции: . Сумма углов выпуклого n-угольника равна . 
