Начальный уровень
Теория вероятностей. Решение задач (2019)
Что такое вероятность?
Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.
Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.
Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.
Но каков этот шанс?
Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.
Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
- Ты позвонил в 1ю дверь
- Ты позвонил в 2ю дверь
- Ты позвонил в 3ю дверь
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:
а. За 1ой
дверью
б. За 2ой
дверью
в. За 3ей
дверью
Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.
Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.
А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .
Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.
Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:
Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.
Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.
Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:
1) Позвонить в 1-ую
дверь
2) Позвонить во 2-ую
дверь
Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):
а) Друг за 1-ой
дверью
б) Друг за 2-ой
дверью
Давай снова нарисуем таблицу:
Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.
А почему не?
Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.
Хрестоматийный пример - бросание монетки.
- Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
- Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .
Отличить зависимые события от независимых легко:
- Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
- Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.
Давай немного потренируемся определять вероятность.
Пример 1.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты:
- Орел-орел
- Орел-решка
- Решка-орел
- Решка-решка
Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:
Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.
Ответ:
Пример 2.
В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.
Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.
Решение:
Сколько всего возможных исходов? .
То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.
А сколько благоприятных исходов?
Потому что в коробке только конфет с орехами.
Ответ:
Пример 3.
В коробке шаров. из них белые, - черные.
- Какова вероятность вытащить белый шар?
- Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?
Решение:
а) В коробке всего шаров. Из них белых.
Вероятность равна:
б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .
Ответ:
Полная вероятность
| Вероятность всех возможных событий равна (). |
Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?
Вероятность вытащить красный шар
Зеленый шар:
Красный или зеленый шар:
Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.
Пример 4.
В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.
Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?
Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .
Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .
Ответ:
| Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет. |
Правило умножения вероятностей независимых событий
Что такое независимые события ты уже знаешь.
А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?
Мы уже считали - .
А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?
Всего возможных вариантов:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).
Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.
Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.
Другими словами,
Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.
Какова вероятность выпадения раз подряд орла?
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.
Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка - , орла - .
Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
Можешь проверить сам, составив таблицу.
Правило сложения вероятностей несовместных событий.
Так стоп! Новое определение.
Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.
Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.
Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.
Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов, нам подходит.
То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.
Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:
Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?
Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:
Давай рассмотрим несколько примеров.
Пример 5.
В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?
Решение:
Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).
Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:
Ответ:
Пример 6.
Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?
Решение.
Как мы можем получить очков?
(и) или (и) или (и) или (и) или (и).
Вероятность выпадения одной (любой) грани - .
Считаем вероятность:
Ответ:
Тренировка.
Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.
Задачи:
Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.
- Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
- Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
- Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
- Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
- Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.
Ответы:
- В колоде карты каждого достоинства, значит:
- События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
Ответ:
- После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!
Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.
Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.
В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).
Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.
А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).
Определение:
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.
Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).
Принято измерять вероятность в процентах (см. тему , ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.
А в процентах: .
Примеры (реши сам):
- С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
- С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
- В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?
Решения:
- Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность
С решкой то же самое: .
- Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое. - Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .
Полная вероятность
Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).
Такое событие называется невозможным .
А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.
Такое событие называется достоверным .
Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .
В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.
Пример:
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?
Решение:
Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.
Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Независимые события и правило умножения
Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?
Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:
Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?
Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.
Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).
Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :
Вероятности независимых событий переменожаются.
Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.
Еще примеры:
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
- Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
- Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?
Ответы:
- События независимы, значит, работает правило умножения: .
- Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
- 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .
Несовместные события и правило сложения
Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.
Пример.
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?
Решение .
Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .
Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.
Эту же вероятность можно представить в таком виде: .
Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.
Задачи смешанного типа
Пример.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?
Решение .
Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.
Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:
Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).
Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:
Попробуй сам:
- С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?
Решения:
- (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
- Какие есть варианты? и. Тогда:
Выпало (и) или (и) или (и): .
Еще пример:
Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?
Решение:
Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Независимые события
Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна ().
Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий
Несовместные события
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Вероятности несовместных событий складываются.
Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
как онтологическая категория отражает меру возможности возникновения какого-либо сущего в каких-либо условиях. В отличие от математических и логической интерпретации этого понятия онтологическая В. не связывает себя с обязательностью количетвенного выражения. Значение В. раскрывается в контексте понимания детерминизма и характера развития в целом.
Отличное определение
Неполное определение ↓
ВЕРОЯТНОСТЬ
понятие, характеризующее количеств. меру возможности появления нек-рого события при определ. условиях. В науч. познании встречаются три интерпретации В. Классическая концепция В., возникшая из математич. анализа азартных игр и наиболее полно разработанная Б. Паскалем, Я. Бернулли и П. Лапласом, рассматривает В. как отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех равновозможных. Напр., ири бросании игральной кости, имеющей 6 граней, выпадение каждой из них можно ожидать с В., равной 1/6, т. к. ни одна грань не имеет преимуществ перед другой. Подобная симметричность исходов опыта специально учитывается при организации игр, но сравнительно редко встречается при исследовании объективных событий в науке и практике. Классич. интерпретация В. уступила место статистич. концепции В., в основе к-рой лежат действит. наблюдения появления нек-рого события в ходе длит. опыта при точно фиксированных условиях. Практика подтверждает, что чем чаще происходит событие, тем больше степень объективной возможности его появления, или В. Поэтому статистич. интерпретация В. опирается на понятие относит. частоты, к-рое может быть определено опытным путем. В. как теоретич. понятие никогда не совпадает с эмпирически определяемой частотой, однако во мн. случаях она практически мало отличается от относит. частоты, найденной в результате длит. наблюдений. Многие статистики рассматривают В. как «двойник» относит. частоты, к-рая определяется при статистич. исследовании результатов наблюдений
или экспериментов. Менее реалистичным оказалось определение В. как предела относит. частот массовых событий, или коллективов, предложенное Р. Мизесом. В качестве дальнейшего развития частотного подхода к В. выдвигается диспозиционная, или пропенситивная, интерпретация В. (К. Поппер, Я. Хэккинг, М. Бунге, Т. Сетл). Согласно этой интерпретации, В. характеризует свойство порождающих условий, напр. эксперимент. установки, для получения последовательности массовых случайных событий. Именно такая установка порождает физич. диспозиции, или предрасположенности, В. к-рых может быть проверена с помощью относит. частот.
Статистич. интерпретация В. доминирует в науч. познании, ибо она отражает специфич. характер закономерностей, присущих массовым явлениям случайного характера. Во многих физич., биологич., экономич., демографич. и др. социальных процессах приходится учитывать действие множества случайных факторов, к-рые характеризуются устойчивой частотой. Выявление этой устойчивой частоты и количеств. ее оценка с помощью В. дает возможность вскрыть необходимость, к-рая прокладывает себе путь через совокупное действие множества случайностей. В этом находит свое проявление диалектика превращения случайности в необходимость (см. Ф. Энгельс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20, с. 535-36).
Логическая, или индуктивная, В. характеризует отношение между посылками и заключением недемонстративного и, в частности, индуктивного рассуждения. В отличие от дедукции, посылки индукции не гарантируют истинности заключения, а лишь делают его в той или иной степени правдоподобным. Это правдоподобие при точно сформулированных посылках иногда можно оценивать с помощью В. Значение этой В. чаще всего определяется посредством сравнит. понятий (больше, меньше или равно), а иногда и численным способом. Логич. интерпретацию часто используют для анализа индуктивных рассуждений и построения различных систем вероятностных логик (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантич. концепции логич. В. часто определяется как степень подтверждения одного высказывания другими (напр., гипотезы ее эмпирич. данными) .
В связи с развитием теорий принятия решений и игр все большее распростраиение получает т. н. персоналистская интерпретация В. Хотя В. при этом выражает степень веры субъекта и появление нек-рого события, сами В. должны выбираться с таким расчетом, чтобы удовлетворялись аксиомы исчисления В. Поэтому В. при такой интерпретации выражает не столько степень субъективной, сколько разумной веры. Следовательно, решения, принимаемые на основе такой В., будут рациональными, ибо они не учитывают психологич. особенностей и склонностей субъекта.
С гносеологич. т. зр. различие между статистич., логич. и персоналистской интерпретациями В. состоит в том, что если первая дает характеристику объективным свойствам и отношениям массовых явлений случайного характера, то последние две анализируют особенности субъективной, познават. деятельности людей в условиях неопределенности.
ВЕРОЯТНОСТЬ
одно из важнейших понятий науки, характеризующее особое системное видение мира, его строения, эволюции и познания. Специфика вероятностного взгляда на мир раскрывается через включение в число базовых понятий бытия понятий случайности, независимости и иерархии (идеи уровней в структуре и детерминации систем).
Представления о вероятности зародились еще в древности и относились к характеристике нашего знания, при этом признавалось наличие вероятностного знания, отличающегося от достоверного знания и от ложного. Воздействие идеи вероятности на научное мышление, на развитие познания прямо связано с разработкой теории вероятностей как математической дисциплины. Зарождение математического учения о вероятности относится к 17 в., когда было положено начало разработке ядра понятий, допускающих. количественную (числовую) характеристику и выражающих вероятностную идею.
Интенсивные приложения вероятности к развитию познания приходятся на 2-ю пол. 19- 1-ю пол. 20 в. Вероятность вошла в структуры таких фундаментальных наук о природе, как классическая статистическая физика, генетика, квантовая теория, кибернетика (теория информации). Соответственно вероятность олицетворяет тот этап в развитии науки, который ныне определяется как неклассическая наука. Чтобы раскрыть новизну, особенности вероятностного образа мышления, необходимо исходить из анализа предмета теории вероятностей и оснований ее многочисленных приложений. Теорию вероятностей обычно определяют как математическую дисциплину, изучающую закономерности массовых случайных явлений при определенных условиях. Случайность означает, что в рамках массовости бытие каждого элементарного явления не зависит и не определяется бытием других явлений. В то же время сама массовость явлений обладает устойчивой структурой, содержит определенные регулярности. Массовое явление вполне строго делится на подсистемы, и относительное число элементарных явлений в каждой из подсистем (относительная частота) весьма устойчиво. Эта устойчивость сопоставляется с вероятностью. Массовое явление в целом характеризуется распределением вероятностей, т. е. заданием подсистем и соответствующих им вероятностей. Язык теории вероятностей есть язык вероятностных распределений. Соответственно теорию вероятностей и определяют как абстрактную науку об оперировании распределениями.
Вероятность породила в науке представления о статистических закономерностях и статистических системах. Последние суть системы, образованные из независимых или квазинезависимых сущностей, их структура характеризуется распределениями вероятностей. Но как возможно образование систем из независимых сущностей? Обычно предполагается, что для образования систем, имеющих целостные характеристики, необходимо, чтобы между их элементами существовали достаточно устойчивые связи, которые цементируют системы. Устойчивость статистическим системам придает наличие внешних условий, внешнего окружения, внешних, а не внутренних сил. Само определение вероятности всегда опирается на задание условий образования исходного массового явления. Еще одной важнейшей идеей, характеризующей вероятностную парадигму, является идея иерархии (субординации). Эта идея выражает взаимоотношения между характеристиками отдельных элементов и целостными характеристиками систем: последние как бы надстраиваются над первыми.
Значение вероятностных методов в познании заключается в том, что они позволяют исследовать и теоретически выражать закономерности строения и поведения объектов и систем, имеющих иерархическую, «двухуровневую» структуру.
Анализ природы вероятности опирается на частотную, статистическую ее трактовку. Вместе с тем весьма длительное время в науке господствовало такое понимание вероятности, которое получило название логической, или индуктивной, вероятности. Логическую вероятность интересуют вопросы обоснованности отдельного, индивидуального суждения в определенных условиях. Можно ли оценить степень подтверждения (достоверности, истинности) индуктивного заключения (гипотетического вывода) в количественной форме? В ходе становления теории вероятностей такие вопросы неоднократно обсуждались, и стали говорить о степенях подтверждения гипотетических заключений. Эта мера вероятности определяется имеющейся в распоряжении данного человека информацией, его опытом, воззрениями на мир и психологическим складом ума. Во всех подобных случаях величина вероятности не поддается строгим измерениям и практически лежит вне компетенции теории вероятностей как последовательной математической дисциплины.
Объективная, частотная трактовка вероятности утверждалась в науке со значительными трудностями. Первоначально на понимание природы вероятности оказали сильное воздействие те философско-методологические взгляды, которые были характерны для классической науки. Исторически становление вероятностных методов в физике происходило под определяющим воздействием идей механики: статистические системы трактовались просто как механические. Поскольку соответствующие задачи не решались строгими методами механики, то возникли утверждения, что обращение к вероятностным методам и статистическим закономерностям есть результат неполноты наших знаний. В истории развития классической статистической физики предпринимались многочисленные попытки обосновать ее на основе классической механики, однако все они потерпели неудачу. Основания вероятности состоят в том, что она выражает собою особенности структуры определенного класса систем, иного, чем системы механики: состояние элементов этих систем характеризуется неустойчивостью и особым (не сводящимся к механике) характером взаимодействий.
Вхождение вероятности в познание ведет к отрицанию концепции жесткого детерминизма, к отрицанию базовой модели бытия и познания, выработанных в процессе становления классической науки. Базовые модели, представленные статистическими теориями, носят иной, более общий характер: они включают в себя идеи случайности и независимости. Идея вероятности связана с раскрытием внутренней динамики объектов и систем, которая не может быть всецело определена внешними условиями и обстоятельствами.
Концепция вероятностного видения мира, опирающаяся на абсолютизацию представлений о независимости (как и прежде парадигма жесткой детерминации), в настоящее время выявила свою ограниченность, что наиболее сильно сказывается при переходе современной науки к аналитическим методам исследования сложноорганизованных систем и физико-математических основ явлений самоорганизации.
Отличное определение
Неполное определение ↓
В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.
Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.
Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента .
Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.
Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.
Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.
Алгебра событий
События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий
В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.
Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий
Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.
События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.
Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.
Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.
Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .
Классическое и статистическое определения вероятности события
Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.
Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.
Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.
Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое .
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.
Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.
В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.
Классическое определение равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов
где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.
В рассмотренном примере
Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.
Относительная частота появления события вычисляется по формуле
где - число появления события в серии из опытов (испытаний).
Статистическое определение . Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.
В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.
Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство
Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.
Понимаю, что всем хочется заранее знать, как завершится спортивное мероприятие, кто одержит победу, а кто проиграет. Обладая подобной информацией, можно без страха делать ставки на спортивные мероприятия. Но можно ли вообще и если да, то как рассчитать вероятность события?
Вероятность – это величина относительная, поэтому не может с точностью говорить о каком-либо событии. Данная величина позволяет проанализировать и оценить необходимость совершения ставки на то или иное соревнование. Определение вероятностей – это целая наука, требующая тщательного изучения и понимания.
Коэффициент вероятности в теории вероятности
В ставках на спорт есть несколько вариантов исхода соревнования:
- победа первой команды;
- победа второй команды;
- ничья;
- тотал.
У каждого исхода соревнования есть своя вероятность и частота, с которой данное событие совершится при условии сохранения начальных характеристик. Как уже говорили ранее, невозможно точно рассчитать вероятность какого-либо события – оно может совпасть, а может и не совпасть. Таким образом, ваша ставка может как выиграть, так и проиграть.
Точного 100% предугадывания результатов соревнования не может быть, так как на исход матча влияет множество факторов. Естественно, и букмекеры не знают заранее исход матча и лишь предполагают результат, принимая решение на своей системе анализа и предлагают определенные коэффициенты для ставок.
Как посчитать вероятность события?
Допустим, что коэффициент букмекера равен 2. 1/2 – получаем 50%. Получается, что коэффициент 2 равен вероятности 50%. По тому же принципу можно получить безубыточный коэффициент вероятности – 1/вероятность.
Многие игроки думают, что после нескольких повторяющихся поражений, обязательно произойдет выигрыш — это ошибочное мнение. Вероятность выигрыша ставки не зависит от количества поражений. Даже если вы выбрасываете несколько орлов подряд в игре с монеткой, вероятность выбрасывания решки останется прежней – 50%.
Формулы для вычисления вероятности событий
1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.
Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой , если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.
Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q = 1- p .
Определение . Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:
последовательность n испытаний взаимно независима,
2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.
Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие
={
в n
испытаниях произошло ровно m
“успехов”}.
Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли
p
(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
где
- число сочетаний из n
элементов по m
:
=
=
.
Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:
а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;
б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.
Решение . “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.
а)
Общее число испытаний – n
=3,
число “успехов” – m
=
2. Вероятность “успеха” - p
=
,
а вероятность “неудачи” - q
=
1 -
=.
Тогда по формуле Бернулли вероятность
того, что результате трехразового
бросания кубика два раза выпадет сторона
с шестью очками, будет равна
.
б)
Обозначим через А
событие, которое заключается в том, что
грань с числом очков 6 появится не более
двух раз. Тогда событие можно представить
в виде суммы
трех несовместных
событий А=
,
где В 3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,
В 3 1 - событие, когда интересующая грань появится один раз,
В 3 2 - событие, когда интересующая грань появится два раза.
По формуле Бернулли (1.6) найдем
p
(А
)
=
р (
)
=
p
(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Условная вероятность события
Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет
на вероятность появления интересующего события.
Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B )> 0.
Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A B ). Тогда по определению
p
(A
B
)
=
.
(1.7)
Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение
.
Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A :
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
При
этом событию C
могут соответствовать только два из
них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность
события C
будет
равна
.
Таким образом, информация о наступлении
событияA
оказала влияние на вероятность события
C
.
Вероятность произведения событий
Теорема умножения
Вероятность произведения событий A 1 A 2 A n определяется формулой
p (A 1 A 2 A n ) = p (A 1) p (A 2 A 1)) p (A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)
Для произведения двух событий отсюда следует, что
p (AB ) = p (A B) p {B ) = p (B A ) p {A ). (1.9)
Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.
Решение. Обозначим события:
A 1 = {первое изделие бракованное},
A 2 = {второе изделие бракованное},
A 3 = {третье изделие бракованное},
A = {все изделия бракованные}.
Событие А есть произведение трех событий A = A 1 A 2 A 3 .
Из теоремы умножения (1.6) получим
p (A ) = р( A 1 A 2 A 3 ) = p (A 1) p (A 2 A 1))p (A 3 A 1 A 2).
Классическое определение вероятности позволяет найти p (A 1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:
p
(A
1)=
;
p (A 2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
2
A
1))=
;
p (A 3) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
3
A
1 A
2)=
.
Тогда вероятность события A будет равна
p
(A
)
=
=
.
