Оценка точности регрессионных моделей.

Для оценки точности чаще всего используют два показателя, которые для линейных, так и для нелинейных моделей имеют вид:

1. Средняя ошибка аппроксимации

2. Среднеквадратическая ошибка аппроксимации

8.1. Сущность и причины гетероскедастичности

Второе условие Гаусса – Маркова о гомоскедастичности, то есть равноизменчивости остатков – это одно из важнейших предпосылок МНК.

Так как математическое ожидание остатков в каждом наблюдении равно нулю, то квадраты остатков могут служить оценками их дисперсий.

Эти квадраты остатков входят в ESS (которая минимизируется в МНК) с одинаковыми единичными весами, а это не всегда правомерно, так как на практике гетероскедастичность не так уж редко встречается.

Например, с ростом дохода растёт не только средний уровень потребления, но и разброс в потреблении. Он более присущ субъектам с высоким доходом, так как они имеют больший простор для распределения доходов. Проблема гетероскедастичности более характерна для пространственных выборок. Очевидно, что при наличии гетероскедастичности наблюдениям с большей дисперсией следует в ESS придавать меньший вес и наоборот, а не учитывать их равновзвешенными, как это делается в классическом МНК.

Точка на диаграмме рассеяния, полученная из наблюдения с меньшей дисперсией, более точно определяет направление линии регрессии, чем точка из наблюдения с большей дисперсией.

Последствия гетероскедастичности таковы:

1. Оценки параметров не будут эффективными, то есть не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками; при этом они будут оставаться несмещенными.

2. Дисперсии оценок будут смещены, так как будет смещена дисперсия на одну степень свободы которая используется при вычислении оценок дисперсий всех коэффициентов.

3. Выводы, получаемые на основе завышенных F и t статистик, и интервальные оценки будут ненадёжны.

8.2. Выявление гетероскедастичности

Это достаточно непростая задача; дисперсию σ 2 (ε i ) обычно определить не удаётся, так как для конкретного значения объясняющей переменой х i или конкретного значения вектора x при множественной регрессии мы располагаем лишь единственным значением зависимой переменой у i и можем вычислить единственное модельное значение переменной

Тем не менее, в настоящее время разработан ряд методов и тестов для обнаружения гетероскедастичности:

1. Графический – мы уже говорили, что М (ε i )=0; это значит что дисперсию остатка можно заменить её оценкой, а в качестве этой оценки можно взять величину . В таком случае можно построить график в координатах: есть функция от х i и по нему изучить характер указанной зависимости. Если объясняющих переменных несколько, то проверяется зависимость по каждой переменной х j , то есть изучается зависимость

Можно также исследовать зависимость , так как переменная у является линейной комбинацией всех объясняющих переменных.

2. Тест ранговой корреляции Спирмена

Значения x i и ε i упорядочиваются по возрастанию, и для каждого наблюдения в ряду х и в ряду ε устанавливается свой ранг (номер) в соответствии с этим упорядочением. Разность d i между рангами x и ε для каждого номера наблюдения рассчитывается как

Затем вычисляется коэффициент ранговой корреляции:

.

Известно, что если остатки не коррелируют с объясняющими переменными, то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы

df = n−2 .

Если вычисленное значение t – статистики превышает табличное критическое значение при назначенном уровне значимости γ гипотезы Н 0 , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отвергается и гетероскедастичность признаётся существенной. Критическое значение t– статистики определяется по таблице как

В том случае, если модель регрессии множественная, проверка гипотезы Н 0 выполняется для каждой объясняющей переменной.

3. Тест Гольдфельда–-Квандта

Предполагается, что дисперсия остатков в каждом наблюдении пропорциональна или обратно пропорциональна интересующему нас регрессору, также предполагается, что остатки распределены нормально и нет автокорреляции в остатках.

В случае множественной регрессии тест целесообразно проводить по каждому регрессору отдельно.

Последовательность проведения теста:

а) наблюдения (строки таблицы) упорядочиваются по возрастанию интересующего нас регрессора;

б) упорядоченная таким образом выборка разбивается на 3 подвыборки объемами , , , при этом Можно считать, что Авторы теста предлагают следующие значения: n = 30, k = 11; n = 60, k = 22; n = 100, k = 36…38; n = 300, k = 110 и так далее (см. табл. 8.1).

*графический

Прежде всего, проверяется случайный характер остатков еi (1ая предпосылка мнк). С этой целью строится график зависимости остатков еi от теоретических расчетных значений уi. Если на графике нет направленности в расположении точек остатков еi, то остатки представляют собой случайные величины, МНК оправдан, теоретические значения расчетного уi хорошо аппроксимируют значения фактического yi.

Для обеспечения несмещенности оценок коэффициента регрессии, полученного МНК, необходимо выполнение условий независимости случайных остатков еi и переменных хi (2ая предпосылка мнк). С этой целью строится график зависимости случайных остатков ei от факторов хi, включенных в регрессию. На графике поверяется отсутствие направленности в расположении ei.

*Тест ранговой корреляции Спирмена

При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значения X. Поэтому для регрессии построенной по МНК абсолютные величины отклонений и значения будут коррелированы. Значения и ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где - разность между рангами значений и ().

Если tрасч> tтабл, гипотеза о равенстве 0 коэф-та корел-ии отклоняется, отсутствие гетероскедастичности. В противном случае нулевая гипотеза принимается.

*Тест Голдфелда–Квандта. Этот тест применяется в том случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами.

Предположим, что средние квадратические (стандартные) отклонения возмущений о, пропорциональны значениям объясняющей переменной X (это означает постоянство часто встречающегося на практике относительного (а не абсолютного, как в классической модели) разброса возмущений е, регрессионной модели.

Упорядочим n наблюдений в порядке возрастания значений регрессора X и выберем т первых и т последних наблюдений.

В этом случае гипотеза о гомоскедастичности будет равносильна тому, что значения е 1 ,..., е т и е п-т+ 1,..., е n (т.е. остатки е i регрессии первых и последних т наблюдений) представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, как известно (см., например, ), проверяется с помощью критерия Фишера–Снедекора.

Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по т наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности) отвергается, если

где р – число регрессоров.

Заметим, что числитель и знаменатель в выражении (7.19)следовало разделить на соответствующее число степеней свободы, но в данном случае эти числа одинаковы и равны (т – р).

Мощность теста, т.е. вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда действительно гетероскедастичности нет, оказывается максимальной, если выбирать т порядка n /3.

При применении теста Голдфелда–Квандта на компьютере нет необходимости вычислять значение статистики F вручную, так как величины представляют собой суммы квадратов остатков регрессии, осуществленных по “урезанным” выборкам.

ОМНК

Наиболее существенным достижением эконометрики является значительное развитие самих методов оценивания неизвестных параметров и усовершенствование критериев выявления статической значимости рассматриваемых эффектов. В этом плане невозможность или нецелесообразность использования традиционного МНК по причине проявляющейся в той или иной степени гетероскедастичности привели к разработке обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК).

Фактически при этом корректируется модель, изменяются ее спецификации, преобразуются исходные данные для обеспечения несмещенности, эффективности и состоятельности оценок коэффициентов регрессии.

Предполагается, что среднее остатков равно нулю, но их дисперсия уже не является постоянной, а пропорциональна величинам Кi, где эти величины представляют собой коэффициенты пропорциональности, различные для различных значений фактора х. Таким образом, именно эти коэффициенты (величины Кi) характеризуют неоднородность дисперсии. Естественно, считается, что сама величина дисперсии, входящая общим множителем при этих коэффициентах пропорциональности, неизвестна.

Исходная модель после введения этих коэффициентов в уравнение множественной регрессии продолжает оставаться гетероскедастичной (точнее говоря, таковыми являются остаточные величины модели). Пусть эти остаточные величины (остатки) не являются автокоррелированными. Введем новые переменные, получающиеся делением исходных переменных модели, зафиксированных в результате i-наблюдения, на корень квадратный из коэффициентов пропорциональности Кi. Тогда получим новое уравнение в преобразованных переменных, в котором уже остатки будут гомоскедастичны. Сами новые переменные - это взвешенные старые (исходные) переменные.

Поэтому оценка параметров полученного таким образом нового уравнения с гомоскедастичными остатками будет сводиться к взвешенному МНК (по существу это и есть ОМНК). При использовании вместо самих переменных регрессии их отклонения от средних выражения для коэффициентов регрессии приобретают простой и стандартизованный (единообразный) вид, незначительно различающийся для МНК и ОМНК поправочным множителем 1/К в числителе и знаменателе дроби, дающей коэффициент регрессии.

Следует иметь в виду, что параметры преобразованной (скорректированной) модели существенно зависят от того, какая концепция положена за основу для коэффициентов пропорциональности Кi. Часто считают, что остатки просто пропорциональны значениям фактора. Наиболее простой вид модель принимает в случае, когда принимается гипотеза о том, что ошибки пропорциональны значениям последнего по порядку фактора. Тогда ОМНК позволяет повысить вес наблюдений с меньшими значениями преобразованных переменных при определении параметров регрессии по сравнению с работой стандартного МНК с первоначальными исходными переменными. Но эти новые переменные уже получают иное экономическое содержание.

Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора вполне может иметь под собой реальное обоснование. Пусть обрабатывается некая недостаточно однородная совокупность данных, например, включающая крупные и мелкие предприятия одновременно. Тогда большим объемным значениям фактора может соответствовать и большая дисперсия результативного признака, и большая дисперсия остаточных величин. Далее, использование ОМНК и соответствующий переход к относительным величинам не просто снижают вариацию фактора, но и уменьшают дисперсию ошибки. Тем самым реализуется наиболее простой случай учета и коррекции гетероскедастичности в регрессионных моделях посредством применения ОМНК.

Изложенный выше подход к реализации ОМНК в виде взвешенного МНК является достаточно практичным - он просто реализуется и имеет прозрачную экономическую интерпретацию. Конечно, это не самый общий подход, и в контексте математической статистики, служащей теоретической основой эконометрики, нам предлагается значительно более строгий метод, реализующий ОМНК в самом общем виде. В нем необходимо знать ковариационную матрицу вектора ошибок (столбца остатков). А это в практических ситуациях, как правило, несправедливо, и отыскать эту матрицу как таковую бывает невозможно. Поэтому приходится каким-то образом оценивать искомую матрицу, чтобы использовать вместо самой матрицы такую оценку в соответствующих формулах. Таким образом, описанный вариант реализации ОМНК представляет одну из таких оценок. Иногда его называют доступный обобщенный МНК.

При оценке параметров уравнения регрессии мы применяем метод наименьших квадратов. При этом делаем определенные предпосылки относительно случайной составляющей . В модели

у = а + b 1  x + 

случайная составляющая  представляет собой ненаблюдаемую величину. После того как проведена оценка параметров модели, рассчитав разности фактических и теоретических значений результативного признака у , можно определить оценки случайной составляющей (у ). При изменении спецификации модели, добавлении в нее новых наблюдений выборочные оценки остатков i , могут меняться. Поэтому в задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений  i , т.е. остаточных величин.

В предыдущем разделе рассматривались формальные проверки статистической достоверности коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t -критерия Стьюдента и F -критерия. При использовании этих критериев делаются предположения относительно поведения остатков  i . Остатки представляют собой независимые случайные величины, и их среднее значение равно 0; они имеют одинаковую (постоянную) дисперсию и подчиняются нормальному распределению.

Оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям: быть несмещенными, состоятельными и эффективными.

Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Следовательно, при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться и найденный параметр регрессии b i можно рассматривать как среднее значение из возможного большого количества несмещенных оценок.

Для практических целей важна не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными , если они характеризуются наименьшей дисперсией.

Степень реалистичности доверительных интервалов параметров регрессии обеспечивается, если оценки будут не только несмещенными и эффективными, но и состоятельными . Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.

Исследования остатков  i предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК (см. условия ГауссаМаркова):

Случайный характер остатков.

Для этого строится график зависимости остатков  i от теоретических значений результативного признака .Если на графике нет направленности в расположении точек  i , то остатки  i представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения хорошо аппроксимируют фактические значенияу .

Нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х i .

Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что (у ) = 0. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. Для моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам и приводимых к линейному виду логарифмированием, средняя ошибка равна нулю для логарифмов исходных данных. Так, для модели вида

Гомоскедастичность  дисперсия каждого отклонения  i одинакова для всех значений х .

В соответствии с третьей предпосылкой метода наименьших квадратов требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной . Это значит, что для каждого значения фактора х i остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность (рис. 1).

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков  i одинакова для каждого значения х .

Наличие гетероскедастичности в отдельных случаях может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, хотя несмещенность оценок коэффициентов регрессии в основном зависит от соблюдения второй предпосылки МНК, т.е. независимости остатков и величин факторов.

Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок b i . В частности, становится затруднительным использование формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии , предполагающей единую дисперсию остатков для любых значений фактора.

Рассмотрим тесты , которые позволяют провести анализ модели на гомоскедастичность.

При малом объеме выборки, что наиболее характерно для эконометрических исследований, для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда  Квандта , разработанный в 1965 г. Гольдфельд и Квандт рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Для того чтобы оценить нарушение гомоскедастичности, они предложили параметрический тест , который включает в себя следующие шаги:

Упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х .

Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (п  С)/2 > р , где р  число оцениваемых параметров.

Из экспериментальных расчетов, проведенных авторами метода для случая одного фактора, рекомендовано при п = 30 принимать С = 8, а при п = 60 – соответственно С = 16.

Разделение совокупности из (п  С ) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х ) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

Определение остаточной суммы квадратов для первой (S 1) и второй (S 2) групп и нахождение их отношения: R = S 1 /S 2 , где S 1 > S 2 .

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F -критерию с (п С 2р )/2 степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Критерий ГольдфельдаКвандта используется и при проверке остатков множественной регрессии на гетероскедастичность.

Наличие гетероскедастичности в остатках регрессии можно проверить и с помощью ранговой корреляции Спирмэна . Суть проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки  i коррелированы со значениями фактора х i . Эту корреляцию можно измерять с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмэна:

, (31)

где d  абсолютная разность между рангами значений х i и | i |.

Статистическую значимость  можно оценить с помощью t -критерия:

. (32)

Сравнив эту величину с табличной величиной при  = 0,05 и числе степеней свободы (п  m ). Принято считать, что если t  > t  , то корреляция между  i и х i статистически значима, т. е. имеет место гетероскедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об отсутствии гeтероскедастичности остатков.

Рассмотренные критерии не дают количественной оценки зависимости дисперсии ошибок регрессии от соответствующих значений факторов, включенных в регрессию. Они позволяют лишь определить наличие или отсутствие гетероскедастичности остатков. Поэтому если гетероскедастичность остатков установлена, можно количественно оценить зависимость дисперсии ошибок регрессии от значений факторов. С этой целью могут быть использованы тесты Уайта, Парка, Глейзера и др.

Тест Уайта предполагает, что дисперсия ошибок регрессии представляет собой квадратичную функцию от значений факторов, т.е. при наличии одного фактора  2 = а + bx + cx 2 + u , или при наличии факторов:

 2 = a + b 1 x 1 + b 11 +b 2 x 2 + b 22 +b 12 x 1 x 2 + … + b p x p + b pp + + b 1 p x 1 x p + b 2 p x 2 x p + … + u .

Так что модель включает в себя не только значения факторов, но и их квадраты, а также попарные произведения. Поскольку каждый параметр модели =f (х i ) должен быть рассчитан на основе достаточного числа степеней свободы, то чем меньше объем исследуемой совокупности, тем в меньшей мере квадратичная функция сможет содержать попарные произведения факторов. Например, если регрессия строится по 30 наблюдениям как y i = a + b 1 x +  i , то последующая квадратичная функция для остатков может быть представлена лишь как

 2 = а + b 1 x + b 11 х 2 + u ,

поскольку на каждый параметр при х должно приходиться не менее 67 наблюдений. В настоящее время тест Уайта включен в стандартную программу регрессионного анализа в пакете Econometric Views. О наличии или отсутствии гетероскедастичности остатков судят по величине F -критерия Фишера для квадратичной функции регрессии остатков. Если фактическое значение F -критерия выше табличного, то, следовательно, существует четкая корреляционная связь дисперсии ошибок от значений факторов, включенных в регрессию, и имеет место гетероскедастичность остатков. В противном случае (F факт < F табл) делается вывод об отсутствии гeтероскедастичности остатков регрессии.

Тест Парка также относится к формализованным тестам гетероскедастичности. Предполагается, что дисперсия остатков связана со значениями факторов функций ln  2 = а + b ln х + и . Данная регрессия строится для каждого фактора в условиях многофакторной модели. Проверяется значимость коэффициента регрессии b по t -критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии для уравнения ln 2 окажется статистически значимым, то, следовательно, существует зависимость ln 2 от lnх , т.е. имеет место гетероскедастичность остатков.

Если тесты Уайта и Парка предназначены для оценки гетероскедастичности для квадрата остатков  2 , то тест Глейзера основывается на регрессии абсолютных значений остатков ||, т.е. рассматривается функция | i | = а + b + и i . Регрессия | i | от х i строится при разных значениях параметра с , и далее отбирается та функция, для которой коэффициент регрессии b оказывается наиболее значимым, т.е. имеет место наибольшее значение t -критерия Стьюдента или F -критерия Фишера и R 2 .

При обнаружении гетероскедастичности остатков регрессии ставится цель ее устранения, чему служит применение обобщенного метода наименьших квадратов (см. ниже).

Отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков  i , распределены независимо друг от друга .

Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно соблюдение данного условия. Коэффициент корреляции между  i и  i -1 , где  i  остатки текущих наблюдений,  i -1  остатки предыдущих наблюдений может быть определен как

, (33)

что соответствует формуле линейного коэффициента корреляции. Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероятности F () зависит от j -й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения.

Отсутствие автокорреляции остатков обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динамики, где при наличии тенденции последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уровней.

Остатки подчиняются нормальному распределению.

Предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью критериев t иF . Вместе с тем оценки регрессии, найденные с применением МНК, обладают хорошими свойствамидаже при отсутствии нормального распределения остатков, т.е. при нарушении пятой предпосылки метода наименьших квадратов.

Наряду с предпосылками метода наименьших квадратов как метода оценивания параметров регрессии при построении регрессионных моделей должны соблюдаться определенные требования относительно переменных, включаемых в модель. Прежде всего, число переменных т должно быть не больше, чем
. Иначе параметры регрессии оказываются статистически незначимыми. В общем виде применение МНК возможно, если число наблюдений п превышает число оцениваемых параметров т , т.е. система нормальных уравнений имеет решение только тогда, когда п > т .

При несоблюдении основных предпосылок МНК приходится корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии, которые обладают свойством несмещенности, имеют меньшее значение дисперсии остатков и обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии. Этой цели, как уже указывалось, служит применение обобщенного метода наименьших квадратов.

При проведении регрессионного анализа, основанного на методе наименьших квадратов, на практике следует обратить серьезное внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных отклонений моделей. Как мы отмечали ранее, свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса− Маркова), т. к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами. При этом существуют другие методы определения более точных оценок. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений (см. параграф 5.1, предпосылка2 0 ):

дисперсия случайных отклонений ε i постоянна. D(ε i )=D(ε j ) =σ 2 для любых наблюдений i и j.

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастич-

ностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

В данной главе мы подробно проанализируем суть гетероскедастичности, ее причины и последствия, а также приведем несколько способов смягчения этих последствий.

8.1. Суть гетероскедастичности

При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии случайных отклонений может вызвать определенное недоумение в силу того, что при каждом i-м наблюдении имеется единственное значениеε i . Откуда же появляется разброс? Дело в том, что при рассмотрении выборочных данных мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной yi и соответственно c определенными случайными отклонениямиε i , i = 1, 2, ..., n. Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что несмотря на то что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую

ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую − при других.

Однако на практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайных отклонений ε i при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определенных наблюдениях и малыми− при других, но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому важно понимать суть этого явления и его последствия.

На рис. 8.1 приведены два примера линейной регрессии − зависимости потребления С от дохода I: C =β 0 +β 1 I +ε .

В обоих случаях с ростом дохода растет среднее значение потребления. Но если на рис. 8.1, а дисперсия потребления остается одной и той же для различных уровней дохода, то на рис. 8.1,б при аналогичной зависимости среднего потребления от дохода дисперсия потребления не остается постоянной, а увеличивается с ростом дохода. Фактически это означает, что во втором случае субъекты с большим доходом в среднем потребляют больше, чем субъекты с меньшим доходом, и, кроме того, разброс в их потреблении более существенен для большего уровня дохода. Фактически люди с большими доходами имеют больший простор для распределения своего дохода. Реалистичность данной ситуации не вызывает сомнений. Разброс значений потребления вызывает разброс точек наблюдения относительно линии регрессии, что и определяет дисперсию случайных отклонений. Динамика изменения дисперсий (распределений) отклонений для данного примера проиллюстрирована на рис. 8.2. При гомоскедастичности

(рис. 8.2, а ) дисперсииε i постоянны, а при гетероскедастичности (рис. 8.2,б ) дисперсииε i изменяются (в нашем примере− увеличиваются).

а − гомоскедастичность	б − гетероскедастичность

Проблема гетероскедастичности в большей степени характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов. Это можно объяснить следующим образом. При перекрестных данных учитываются экономические субъекты (потребители, домохозяйства, фирмы, отрасли, страны и т. п.), имеющие различные доходы, размеры, потребности и т. д. Но в этом случае возможны проблемы, связанные с эффектом масштаба. Во временных рядах обычно рассматриваются одни и те же показатели в различные моменты времени (например, ВНП, чистый экспорт, темпы инфляции

и т. д. в определенном регионе за определенный период времени). Однако при увеличении (уменьшении) рассматриваемых показателей с течением времени может возникнуть проблема гетероскедастичности.

8.2. Последствия гетероскедастичности

Как отмечалось в разделе 5.1, при рассмотрении классической линейной регрессионной модели МНК дает наилучшие линейные несмещенные оценки (BLUE-оценки) лишь при выполнении ряда предпосылок, одной из которых является постоянство дисперсии отклонений (гомоскедастичность):σ 2 (ε i ) =σ 2 для всех наблюдений i, i = 1, 2, …, n.

При невыполнимости данной предпосылки (при гетероскедастичности) последствия применения МНК будут следующими.

1. Оценки коэффициентов по-прежнему остаются несмещенными и линейными.

2. Оценки не будут эффективными (т. е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.

3. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением. Смещенность появляется вследствие того, что необъясненная уравнением

менных), которая используется при вычислении оценок дисперсий всех коэффициентов (см. параграф 6.2, (6.23)), не является более несмещенной.

4. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющимися.

Причину неэффективности оценок МНК при гетероскедастичности легко пояснить следующим примером парной регрессии.

Из рис. 8.3 видно, что для каждого конкретного значения хi СВ Х переменная Y принимает значение уi из некоторого множества, имеющего свое распределение, отличное одно от другого в силу непостоянства дисперсий (сравните распределения для значений у1 и уn ).

По МНК минимизируется сумма квадратов отклонений

∑e i 2 = ∑(y i −b 0 −b 1 x i ) 2 .

Но в этом случае каждое конкретное значение ei 2 в данной сумме имеет одинаковый “вес” вне зависимости от того, получено оно из распределения с маленькой дисперсией (например, e1 2 ) или с большой (например, e2 n ). Но это противоречит логике, т. к. точка, полученная

из распределения с меньшей дисперсией, более точно определяет направление линии регрессии. Поэтому она должна иметь больший “вес”, чем точка из распределения с большей дисперсией. Следовательно, методы оценивания, учитывающие “веса” точек наблюдений, позволяют получать более точные (эффективные) оценки. Учет “весов” точек характерен, например, для метода взвешенных наименьших квадратов, рассмотренного ниже.

8.3. Обнаружение гетероскедастичности

В ряде случаев на базе знаний характера данных появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако значительно чаще эту проблему приходится решать после построения уравнения регрессии.

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей, т. к. для знания дисперсий отклонений σ 2 (еi ) необходимо знать распределение СВ Y, соответствующее выбранному значению хi СВ Х. На практике зачастую для каждого конкретного значения хi определяется единственное значение уi , что не позволяет оценить дисперсию СВ Y для данного хi .

Естественно, не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако к настоящему времени для такой проверки разработано довольно большое число тестов и критериев для них. Рассмотрим наиболее популярные и наглядные: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфелда− Квандта.

8.3.1. Графический анализ остатков

Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладывается объясняющая переменная Х (либо линейная комбинация объясняющих переменных Y = b0 + b1 X1 + ... +

Bm Xm ), а по оси ординат либо отклонения еi , либо их квадраты ei 2 . Примеры таких графиков приведены на рис. 8.4.

ei 2

ei 2

ei 2

ei 2			ei 2

На рис. 8.4, а все отклонения ei 2 находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это говорит о независимости дисперсий ei 2 от значений переменной Х и их постоянстве, т.е. в этом случае мы находимся в условиях гомоскедастичности.

На рис. 8.4, б − г наблюдаются некие систематические изменения в соотношениях между значениями xi переменной Х и квадратами от-

клонений ei 2 . Рис. 8.4,б соответствует примеру из параграфа 8.1. На

рис. 8.4, в отражена линейная; 8.4,г − квадратичная; 8.4,д − гиперболическая зависимости между квадратами отклонений и значениями объясняющей переменной Х. Другими словами, ситуации, представленные на рис. 8.4,б − д , отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Отметим, что графический анализ отклонений является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии. При множественной регрессии графический анализ возможен для каждой из объясняющих переменных Хj , j = 1, 2, …, m отдельно. Чаще же вместо объясняющих переменных Хj по оси абсцисс откладывают значения yi ,

получаемые из эмпирического уравнения регрессии. Поскольку по уравнению множественной линейной регрессии yi является линейной

комбинацией хij , j = 1, 2, … , m, то график, отражающий зависимость ei 2 от yi , может указать на наличие гетероскедастичности аналогично

ситуациям на рис. 8.4, б − д . Такой анализ наиболее целесообразен при большом количестве объясняющих переменных.

8.3.2. Тест ранговой корреляции Спирмена

При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значения Х. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений еi и значения хi СВ Х будут коррелированы. Значения хi и еi ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

	r x,e= 1 − 6	∑d i 2
		n(n2	− 1)

где di − разность между рангами хi и ei , i = 1, 2, … , n; n− число наблюдений.

Например, если х20 является 25-м по величине среди всех наблюдений Х; а е20 − является 32-м, то di = 25− 32=− 7.

Доказано, что если коэффициент корреляции ρ х,е для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

		rx,e n− 2
		1 − r2

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν = n− 2. Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики, вычисленное по формуле (8.2), превышает tкр. = tα ,n − 2 (определяемое по таблице критических точек распределения Стьюдента), то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляцииρ х,е , а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности. В противном

случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. Если в модели регрессии больше чем одна объясняющая пере-

менная, то проверка гипотезы может осуществляться с помощью t- статистики для каждой из них отдельно.

8.3.3. Тест Парка

Р. Парк предложил критерий определения гетероскедастичности, дополняющий графический метод некоторыми формальными зависимостями. Предполагается, что дисперсия σ i 2 =σ 2 (ei ) является функцией i-го значения хi объясняющей переменной. Парк предложил следующую функциональную зависимость

Так как дисперсии уi 2 обычно неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений ei 2 .

	Критерий Парка включает следующие этапы:
	Строится уравнение регрессии yi = b0 + b1 xi + еi .
	Для каждого наблюдения определяются lnei 2
		Ln(yi − yi )2 .
	Строится регрессия
	ln ei 2 =α +β lnxi + vi ,
	где α = lnσ 2 .

В случае множественной регрессии зависимость (8.5) строится для каждой объясняющей переменной.

4. Проверяется статистическая значимость коэффициента β уравнения

(8.5) на основе t-статистики t =в . Если коэффициентβ статисти- Sв

чески значим, то это означает наличие связи между lnei 2 и lnxi , т. е. гетероскедастичности в статистических данных.

Отметим, что использование в критерии Парка конкретной функциональной зависимости (8.5) может привести к необоснованным выводам (например, коэффициент β статистически незначим, а гетероскедастичность имеет место). Возможна еще одна проблема. Для случайного отклонения vi в свою очередь может иметь место гетероскедастичность. Поэтому критерий Парка дополняется другими тестами.

8.3.4. Тест Глейзера

Тест Глейзера по своей сути аналогичен тесту Парка и дополняет его анализом других (возможно, более подходящих) зависимостей между дисперсиями отклонений σ i и значениями переменной хi . По данному методу оценивается регрессионная зависимость модулей отклонений ei (тесно связанных сσ i 2 ) от хi . При этом рассматриваемая зависимость моделируется следующим уравнением регрессии:

| ei | =α +β хi k + vi .

Изменяя значения k, можно построить различные регрессии. Обычно k = …, − 1,− 0.5, 0.5, 1, … Статистическая значимость коэффициентаβ в каждом конкретном случае фактически означает наличие гетероскедастичности. Если для нескольких регрессий (8.6) коэффициентβ оказывается статистически значимым, то при определении характера зависимости обычно ориентируются на лучшую из них.

Отметим, что так же, как и в тесте Парка, в тесте Глейзера для отклонений vi может нарушаться условие гомоскедастичности. Однако во многих случаях предложенные модели являются достаточно хорошими для определения гетероскедастичности.

8.3.5. Тест Голдфелда − Квандта

В данном случае также предполагается, что стандартное отклонение σ i =σ (ε i ) пропорционально значению хi переменной Х в этом

наблюдении, т. е. уi 2 = у2 xi 2 . Предполагается, чтоε i имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Тест Голдфелда− Квандта состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине Х.

2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k, (n − 2k), k соответственно.

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий от-

клонений значениям Х верно, то дисперсия регрессии (сумма квад-

ратов отклонений S1 = ∑ ei 2 ) по первой подвыборке будет сущест-

венно меньше дисперсии регрессии (суммы квадратов отклонений

S3 = ∑ ei 2 ) по третьей подвыборке.

i= n-k

4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

	S3 /(k− m− 1)		S 3 .
	S /(k − m− 1)

Здесь (k − m− 1)− число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m− количество объясняющих переменных в уравнении регрессии).

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободыν 1 =ν 2 = k− m− 1.

5. Если Fнабл. =		> Fкр. = F		То гипотеза об отсутствии гетероскеда-

стичности отклоняется (здесь α − выбранный уровень значимости).

Естественным является вопрос, какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений. Для парной регрессии Голфелд и Квандт предлагают следующие пропорции: n = 30, k = 11; n = 60, k = 22.

Для множественной регрессии данный тест обычно проводится для той объясняющей переменной, которая в наибольшей степени связана с σ i . При этом k должно быть больше, чем (m + 1). Если нет уверенности относительно выбора переменной Xj , то данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных.

Этот же тест может быть использован при предположении об обратной пропорциональности между σ i и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F = S1 /S3 .

8.4. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности

Как отмечалось в разделе 8.2, гетероскедастичность приводит к неэффективности оценок, несмотря на их несмещенность. Это может привести к необоснованным выводам по качеству модели. Поэтому при установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии σ i 2 отклоненийε i .

8.4.1. Метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК)

Данный метод применяется при известных для каждого наблюдения значениях σ i 2 . В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение дисперсии. В этом суть метода взвешенных наименьших квадратов.

Для простоты изложения опишем ВНК на примере парной ре-

yi =β 0 +β 1 xi +ε i .

Разделим обе части (9.7) на известное σ i

уi 2

В 0

В 1

x i +

Уi * ,

xi * ,

Zi , получим уравнение

регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной Z и с “преобразованным” отклонением v:

уi * =β 0 zi +β 1 xi * + vi .

При этом для vi выполняется условие гомоскедастичности. Действительно,

уi 2 (vi )= M(vi − M(vi ))2 = M(vi 2 )− M2 (vi ) .

	Так как по предпосылке 1 0 МНК M(ei ) = 0, то M(vi )=										M(ei )= 0, и
										уi 2
	тогда уi 2 (vi )= M(vi 2 )=
		ei 2			M(ei 2 )=		M(ei − M(ei ))2 =		уi 2 = 1= const.
						уi 2		уi 2
		уi 2		уi 2

Следовательно, для преобразованной модели (8.10) выполняются предпосылки 1 0 − 5 0 МНК. В этом случае оценки, полученные по МНК, будут наилучшими линейными несмещенными оценками.

Таким образом, метод взвешенных наименьших квадратов включает следующие этапы:

1. Каждую из пар наблюдений (х i , уi ) делят на известную величинуσ i . Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наибольшие “веса”, а с максимальными дисперсиями− наименьшие “веса”. Действительно, наблюдения с меньшими дисперсиями отклонений будут более значимыми при оценке коэффициентов регрессии, чем наблюдения с большими дисперсиями. Учет этого факта увеличивает вероятность получения более точных оценок.

1 2. По МНК для преобразованных значений

I ,i строится

у i у i

уравнение регрессии без свободного члена с гарантированными качествами оценок.

8.4.2. Дисперсии отклонений не известны

Для применения ВНК необходимо знать фактические значения дисперсий уi 2 отклонений. На практике такие значения известны крайне редко. Следовательно, чтобы применить ВНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях уi 2 .

Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии уi 2 отклоненийε i пропорциональны значениям хi (рис.8.5,а ) или значениям хi 2 (рис. 8.5,б ).

уi 2

уi 2

1. Дисперсии σ i 2 пропорциональны хi (рис. 8.5, а).

уi 2 =σ 2 хi (σ 2 − коэффициент пропорциональности).

Тогда уравнение (8.9) преобразуется делением его левой и правой частей на x i :

y i= a

1 +b x i +v i .

Несложно показать, что для случайных отклонений vi =

няется условие гомоскедастичности. Следовательно, для регрессии (8.11) применим обычный МНК. Действительно, в силу выполнимо-

сти предпосылки уi 2 =σ 2 (ε i ) =σ 2 хi имеем:

у2 (vi )= у2 (			1 у2 (еi )=	1 у2 xi = у2 = const.

Таким образом, оценив для (8.11) по МНК коэффициенты β 0 иβ 1 , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии (8.8).

Если в уравнении регрессии присутствует несколько объясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо кон-

кретной объясняющей переменной Xj используетсяY исходного уравнения множественной линейной регрессии Y = b0 + b1 X1 + ... + bm Xm ,

т. е. фактически линейная комбинация объясняющих переменных. В этом случае получают следующую регрессию:

	В 0		В 1

Иногда из всех объясняющих переменных выбирается наиболее подходящая, исходя из графического представления (рис. 8.4).

2. Дисперсия σ i 2 пропорциональна хi 2 (рис. 8.4, б).

В случае, если зависимость σ i 2 от хi целесообразнее выразить не линейной функцией, а квадратичной, то соответствующим преобразованием будет деление уравнения регрессии (8.8) на хi :

В 0

В 1 +

В 0

В1 + vi

Где vi =

По аналогии с вышеизложенным несложно показать, что для отклонений vi будет выполняться условие гомоскедастичности. После определения по МНК оценок коэффициентовβ 0 иβ 1 для уравнения (8.13) возвращаются к исходному уравнению (8.8).

Отметим, что для применения описанных выше преобразований существенную роль играют знания об истинных значениях дисперсий отклонений σ i 2 , либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. Во многих случаях дисперсии отклонений зависят не от включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. В этом случае они должны быть включены в модель. В ряде случаев для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели (например, линейную на логлинейную, мультипликативную на аддитивную и т. п.).

В заключение отметим, что наличие гетероскедастичности не позволяет получить эффективные оценки, что зачастую приводит к необоснованным выводам по их качеству. Обнаружение гетероскедастичности - достаточно трудоемкая проблема и для ее решения разработано несколько методов (тестов). В случае установления наличия гетероскедастичности ее корректировка также представляет довольно серьезную проблему. Одним из возможных решений является метод взвешенных наименьших квадратов (при этом необходима определенная информация либо обоснованные предположения о величинах дисперсий отклонений). На практике имеет смысл попробовать несколько методов определения гетероскедастичности и способов ее корректировки (преобразований, стабилизирующих дисперсию).

Вопросы для самопроверки

1. В чем суть гетероскедастичности?

2. Какое из следующих утверждений верно, ложно или не определено:

а) вследствие гетероскедастичности оценки перестают быть эффективными и состоятельными; б) оценки и дисперсии оценок остаются несмещенными;

в) выводы по t- и F-статистикам являются ненадежными;

г) при наличии гетероскедастичности стандартные ошибки оценок будут заниженными; д) гетероскедастичность проявляется через низкое значение статистики Дар-

бина− Уотсона DW;

е) не существует общего теста для анализа гетероскедастичности;

ж) тест ранговой корреляции Спирмена основан на использовании t- статистики; з) тест Парка является частным случаем теста Глейзера;

и) использование метода взвешенных наименьших квадратов носит ограниченный характер, т. к. для его использования необходимо знать дисперсии отклонений;

к) если в парной регрессии дисперсия случайных отклонений пропорциональна величине объясняющей переменной (х), то для получения эффективных оценок необходимо все наблюдаемые значения поделить на х.

3. Приведите аргументы в пользу графического теста, теста Парка и теста Глейзера.

4. Приведите схему теста Голдфелда − Квандта.

5. В чем суть метода взвешенных наименьших квадратов (ВНК)?

6. Объясните кратко, почему при наличии гетероскедастичности ВНК позволяет получить более эффективные оценки, чем обычный МНК.

Упражнения и задачи

1. Пусть зависимость заработной платы (Y) от стажа работы (X) сотрудника выражена следующим уравнением регрессии:

Y = β 0 +β 1 X +γ D +ε ,

где D − фиктивная переменная, отражающая пол сотрудника. Как можно проверить предположение о том, что пол сотрудника не влияет на дисперсию случайных отклоненийε i ?

2. Приведены данные в условных единицах по доходам (Х) и расходам на непродовольственные товары (Y) для тридцати домохозяйств:

а) Определите по МНК оценки парного уравнения регрессии yi = b0 + b1 xi + ei . б) Оцените качество построенного уравнения.

в) Проведите графический анализ остатков.

г) Примените для указанных статистических данных ВНК предположение,

что σ 2 (ei ) =σ 2 xi 2 .

д) Примените к полученным в п. а) результатам тест ранговой корреляции Спирмена и тест Парка.

е) Определите, существенно ли повлияла гетероскедастичность на качество оценок в уравнении, построенном по МНК.

	Для предприятий некоторой отрасли анализируют зависимость заработной
	платы (Y) сотрудников в зависимости от масштаба (от количества сотрудни-
	ков) предприятия (Х). Наблюдения по тридцати случайно отобранным пред-
	приятиям представлены следующей таблицей:

а) Постройте уравнение регрессии Y на Х и оцените его качество.

б) Можно ли ожидать наличие гетероскедастичности в данном случае. Ответ поясните.

в) Проверьте наличие гетероскедастичности, используя тест Голдфелда− Квандта. Рекомендуется использовать разбиение, при котором k = 12.

г) Если предположить, что гетероскедастичность имеет место, и дисперсии отклонений пропорциональны значениям Х, то какое преобразование вы предложите, чтобы получить несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

д) Постройте новое уравнение регрессии на основе преобразования, осуществленного в предыдущем пункте, и оцените его качество.

е) Сравните результаты, полученные в пунктах а) и д).

4. Пусть для эмпирического уравнения парной регрессии Y = b0 + b1 X + e име-

ет место следующее соотношение M(ei 2 ) =σ 2 xi . Какое преобразование можно предложить, чтобы устранить проблему гетероскедастичности. Опишите поэтапно предложенную схему.

5. Пусть для регрессии Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 + e, оцениваемой по ежегодным данным (1971− 1998), получены следующие результаты: сумма квадратов от-

клонений для данных 1971− 1980 гг. равна S1 =∑ ei 2 = 15, для данных 1981−

1998 гг. эта сумма равна S2 =∑ ei 2 = 50. С помощью теста Голдфелда− Квандта проверьте предположение о том, что дисперсия отклонений не постоянна (в частности, что дисперсия претерпела изменение где-то в 1981 г.).

6. Анализируется объем инвестиций для вымышленной страны. По данным с 1961 по 1990 г. построены два уравнения регрессии:

	i t=		52.5 + 0.275gnpt				− 0.63ct ,			R2 = 0.98.
	(t) = (12.5) (10.2)
							0.27 −
		gnpt		gnpt					gnpt − значения соответствующих показателей в момент времени t. а) Что могло послужить причиной преобразования первого уравнения во второе? б) Если причиной преобразования являлась гетероскедастичность, то какое предположение о дисперсии отклонений являлось основанием для данного преобразования? в) Можно ли сравнить качества обоих уравнений на основе коэффициентов детерминации? Ответ поясните. г) Должно ли преобразованное уравнение проходить через начало координат? 7. Выдвигается предположение, что средняя заработная плата наемных рабочих пропорциональна их стажу. Для анализа данного утверждения обследуются по 20 рабочих восьми категорий стажа. Получены следующие статистические данные: [ 0, 5)[ 5, 10)[ 10, 15)[ 15, 20)[ 20, 25)[ 25, 30)[ 30, 35)[ 35, 40] 10000 12500 14300 18700 25400 29000 32000 34300 а) Постройте эмпирическое уравнение регрессии, в котором заработная плата является зависимой переменной, а стаж работы − объясняющей переменной (уравнение строится в предположение, что дисперсии отклонений постоянны). г) Предполагая, что дисперсия отклонений пропорциональна трудовому стажу, постройте на основании тех же данных уравнение по методу взвешенных наименьших квадратов (ВНК). д) Предполагая, что дисперсия отклонений пропорциональна квадрату величины трудового стажа, постройте по ВНК соответствующее уравнение регрессии. е) Какое из трех предположений относительно дисперсии отклонений наиболее реалистично с вашей точки зрения? 8. Исследуется зависимость между доходом (Х) домохозяйства и его расходом (Y) на продукты питания. Выборочные данные по 40 домохозяйствам представлены ниже. Х 75.8 76.9 79.2 81.5 82.4 82.8 83.0 85.9 86.4 86.9 88.3 89.0 Y 26.1 20.0 19.8 21.2 29.0 17.3 23.5 22.0 18.3 13.7 14.5 27.3 а) Постройте эмпирическое уравнение регрессии Y на Х. б) Вычислите отклонения ei . в) Проведите анализ модели на гетероскедастичность по тесту ранговой корреляции Спирмена. г) Проведите графический анализ отклонений и выдвиньте предположение о зависимости дисперсии отклонений от значений Х. д) На основании предыдущего пункта постройте новое уравнение регрессии, используя для этого ВНК. 9. Проводится анализ зависимости средней заработной платы от средней производительности на предприятиях различного масштаба. Проведенное обследование нашло отражение в следующей таблице. Количество сотрудников Стандартное предприятия, производительность, отклонение з/п, σ i ($) − 4 − 9 − 19 − 49 − 99 − 199 − 499 − 999 − 1999 − 4999 в) Сравните полученные результаты. Какое из уравнений вы предпочтете и почему?

Обнаружение гетероскедастичности

В случае парной регрессии о проявлении гетероскедастичности можно судить по характеру расположения экспериментальных точек на корреляционном поле (рис. 5.1). На рис. 5.1 можно заметить, что дисперсии случайных отклонений неодинаковы и увеличиваются с возрастанием значений объясняющей переменной. Однако даже для парной регрессии выводы по определению гетероскедастичности могут являться неоднозначными при наличии локальных «выбросов» точек (пиков на диаграмме рассеивания). Естественно, что для множественной регрессии обнаружение гетероскедастичности является значительно более сложной задачей, чем для моделей с одним регрессором.

В настоящее время существует достаточно большое количество тестов для поверки на гетероскедастичность, базирующихся на дисперсионном анализе случайных отклонений. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Тест ранговой корреляции Спирмена . Идея данного теста заключается в том, что в случае гетероскедастичности дисперсия случайного отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений регрессоров Х . Поэтому для регрессионной модели, построенной по МНК, абсолютные значения оценок отклонений e i и значения x i будут коррелированны.

Значения e i и x i ранжируются (упорядочиваются по величинам). Номеру i значения x i в упорядоченном ряду будет соответствовать ранг r xi . Аналогично упорядочим данные по абсолютным значениям остатков и каждому |e i | припишем ранг r ei . Тогда разность между рангами (d i ) запишем как d i = r xi - r ei . Например, если x 20 является 25-м по величие среди всех значений X , а e 20 является 30-м, то d i = 25 - 30 = -5.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле

(5.2)

где n - число наблюдений.

Доказано, что при n > 10 статистика

(5.3)

имеет t -распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = n - 2.

Следовательно, в соответствии со схемой проверки статистических гипотез, если наблюдаемое значение t -статистики, рассчитанное по формуле (5.3), превышает t кр = t a , n - 2 (табличное), то необходимо отклонить гипотезу Н 0 об отсутствии гетероскедастичности. В противном случае гипотеза Н 0 принимается, что соответствует гомоскедастичности.

Если анализируется модель множественной регрессии, то проверка гипотезы осуществляется с помощью t -статистики для каждой объясняющей переменной отдельно.

Следует заметить, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена (r ) может иметь самостоятельное значение в эконометрических исследованиях. Он используется при установлении тесноты связи между порядковыми переменными. В этом случае анализируемые объекты упорядочивают по степени влияния (проявления) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам Х иY , то имеется возможность оценить тесноту связи между этими переменными, основываясь на рангах. В том случае, если ранги всех объектов равны, то r = 1 (полная прямая связь). При полной обратной связи ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке и r = -1. Во всех остальных случаях |r | < 1. Применение коэффициента ранговой корреляции не требует нормального распределения переменных и линейной связи между ними. Однако необходимо учитывать, что в случае количественных переменных переход от их первоначальных значений и размерностей к рангам сопровождается определенной потерей информации.

Тест Голдфелда-Квандта. Этот тест использует предположения о нормальности распределения случайных отклонений и о пропорциональности средних квадратических (стандартных) отклонений σ i = σ(e i ) значениям соответствующей объясняющей переменной X .

В рамках этих предположений Голдфелд и Квандт предложили следующую процедуру проверки на гетероскедастичность:

1. Все n наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значений регрессора X , и выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k , n - 2k , k соответственно.

2. Оцениваются отдельные регрессии для первой и третьей подвыборок (рассматриваем k первых значений и k последних; средние n - 2k наблюдений отбрасываем).

3. Если, в соответствии с нашим предположением, дисперсия случайных отклонений увеличивается с ростом X , то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов остатков ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов остатков ).

4. Для сравнения соответствующих дисперсий определяется следующая F -статистика:

. (5.4)

Здесь (k - m - 1) – числа степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (m - одинаковое количество объясняющих переменных в уравнениях регрессии). При выполнении начальных предположений относительно остатков построенная F -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v 1 = v 2 = k - m - 1.

5. Если наблюдаемое значение F -статистики (F набл ), рассчитанное по формуле (5.4), превосходит ее критическое значение , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (о равенстве дисперсий) отклоняется на выбранном уровне значимости a.

Мощность теста Голдфелда-Квандта, т. е. вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в случае, когда ее действительно нет, оказывается максимальной, если выбирать k » n /3.

Для множественной регрессии данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных или для одного выбранного регрессора, который в наибольшей степени связан с σ i .

Аналогичный тест может быть использован при условии обратной пропорциональности между стандартными отклонениями остатков σ i и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: F = S 1 /S 3 .

Тест Уайта. Сущность данного теста заключается в том, что если в модели присутствует гетероскедастичность, то дисперсии случайных отклонений некоторым образом зависят от регрессоров; т. е. гетероскедастичность должна как-то проявляться в поведении остатков исходной регрессионной модели. Исходя из этого при использовании теста Уайта предполагается, что дисперсии остатков представляют собой некоторую функцию от наблюдаемых значений объясняющих переменных

Для получения соответствующих выводов осуществляется оценка функции (5.5) с помощью уравнения регрессии для квадратов остатков:

где v i - случайный член.

На практике чаще всего функция f выбирается квадратичной, а регрессоры в уравнении (5.6) – это регрессоры исходной модели, их квадраты и, возможно, попарные произведения. Для данного теста гипотеза об отсутствии гетероскедастичности, что соответствует условию f = const , принимается в случае незначимости регрессии (5.6) в целом.

Следует заметить, что во всех рассматриваемых тестах (критериях) осуществляется проверка нулевой гипотезы Н 0 об отсутствии гетероскедастичности.