Умножение и деление дробей.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
Например:
Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:
Например:
Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:
В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:
Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:
Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:
В первом случае (выражение слева):
Во втором (выражение справа):
Чувствуете разницу? 4 и 1/9!
А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:
то делим-умножаем по порядочку, слева направо !
И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:
Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...
Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.
Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.
Вычислить:
Порешали?
Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...
Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Тема: Деление обыкновенных дробей.
Цель: научить выполнять деление обыкновенных дробей, повторить и закрепить правила умножения обыкновенных дробей и понятие взаимно обратных чисел.
Тип урока: получение новых знаний.
Оборудование : мел, доска, интерактивное оборудование, карточки с правилами и тестовыми заданиями.
План урока:
Актуализация знаний.
1). Организационный момент
2). Фронтальный опрос
Формирование новых знаний.
1). Постановка проблемной задачи.
2). Поиск решения задачи.
3).Составление алгоритма деления дробей.
4). Физкультминутка.
1). Решение примеров на деление №596
2). Самостоятельное решение тестов.
3). Рефлексия.
4). Домашнее задание.
Ход урока:
Актуализация знаний.
Здравствуйте, ребята! Наш сегодняшний урок я начну со следующих слов:
Дроби разные нужны,
Дроби разные важны,
Надо дроби изучать!
Мы уже знаем, какие бывают обыкновенные дроби по виду: правильные и не правильные, с целой частью и без неё. Умеем выполнять некоторые действия с этими дробями. Перечислите, пожалуйста, эти действия.
А что мы еще умеем делать?
Ответы учащихся: Находить взаимно обратные дроби.
А что еще не научились делать?
Ответы учащихся: Делить обыкновенные дроби.
Значит, нам осталось изучить только деление, чтобы уметь выполнять с обыкновенными дробями все арифметические действия.
Я предлагаю вам, совершить «Путешествие в горы». Чтобы покорить вершину, нам предстоит проделать большой путь и решить несколько задач. Собираемся в путь. И так начнем.
Какая из двух дробей больше ?
Назовите дробь большую 2 и меньшую 3.
Назовите равные дроби.
Назовите число, которое не имеет обратного. (0).
Назовите число взаимно обратное самому себе. (1).
Назовите дробь равную 4.
Из предложенных чисел выберите пару взаимно обратных. (.
Чему равно произведение ? (1)
Площадь прямоугольника равна м2. Длина одной стороны Найдите длину другой стороны? (не знаем).
Вот наш сегодняшний урок мы и посвятим изучению деления дробей. Давайте сформулируем и запишем тему урока:
Ответы учащихся: «Деление обыкновенных дробей».
Формирование новых знаний.
Чтобы преодолеть это, возникшее на нашем пути затруднение, необходимо отыскать способ деления обыкновенных дробей. Какие будут предложения? (Заслушать ответы учащихся Если правильного решения не найдено, то обратиться к учебнику).
Давайте попробуем отыскать ответ на этот вопрос в учебнике. Откройте учебники на стр.97 п.17 и найдите там правило деления дробей прочитайте его. (Дети открывают учебники и читают правило деления обыкновенных дробей).
Запишем его в тетрадь.
ПРАВИЛО: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю!
Пример: 
.
Выполните деление .
(Затруднение и поиск решения учащимися, учитель заслушивает предложенные пути решения данного задания).
Разделите .
Сделайте вывод о том, как необходимо выполнять деление смешанных чисел. Заполните пропуски на карточках, вставляя пропущенные слова. Карточки находятся у вас находятся на столах.
КАРТОЧКА:
Физкультминутка.
Я предлагаю вам немного передохнуть. Отложите все ваши вещи в сторону, встаньте и потянитесь, вдохните чистый горный воздух. Дальше мы немного поиграем. Я буду читать утверждения, а вы если они верные, то хлопаете в ладоши, а если нет, то топаете ногами. Так мы согреемся и затем продолжим наш путь на вершину горы.
А) — правильная дробь.
Б) — несократимая дробь.
В) — не правильная дробь.
Г) — несократимая дробь.
Д) — правильная дробь.
Е) — сократимая дробь.
Ну а теперь возьмите свои вещи и продолжим восхождение.
Формирование умений и навыков.
Решим у доски №596 а); е); и); л); м).
Последний заключительный этап по преодолению вершины я предлагаю вам выполнить самостоятельно.
ТЕСТ (Выполнив деление, выберите и обведите правильный ответ).
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
По определению имеем:
Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:
Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).
Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.
Сокращение дробей «на лету»
Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения:
По определению имеем:
Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.
Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.
Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Так делать нельзя!
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.
Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Правильное решение:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.
