Действия над неравенствами. Линейные неравенства. Исчерпывающий гид (2019). Свойства числовых неравенств

Пример 1 . Дано неравенство х + 8>3 . Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим х > — 5 .

Пример 2 . Дано неравенство х – 6 < — 2 . Прибавляя обеим частям 6, находим х < 4 .

4 . Если a > b и с > d, то a + c >b + d ; точно так же если а < b и с < d , то a + с < b + d , т. е. два неравенства одинакового смысла) можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3 , то a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3 .

Пример 1 . Неравенства — 8 > — 10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство — 3 > — 8 .

Пример 2 . Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18 ; (1/2)х — (1/2)у < 4 . Складывая их почленно, находим x < 22 .

Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 10 > 8 2 > 1 , то получим верное неравенство 8 > 7 но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1 , то получим нелепость. Сравнить следующий пункт.

5 . Если a > b и c < d , то а – с > b – d ; если а < b и с — d , то а — с < b — d , т. е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла), оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.

Пример 1 . Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство — 3 < 13 . Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > — 13 .

Пример 2 . Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Вычитая из первого неравенства второе, находим y < 10 .

6 . Если а > b и m - положительное число, то ma > mb и a/n > b/n , т. е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).Если же a > b и n — отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n , т. е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при том знак неравенства нужно изменить на противоположный.

Пример 1 . Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5 , получим верное неравенство 5 > 4 . Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на — 5 , то нужно переменить знак > на < , и тогда получим верное неравенство — 5 < — 4 .

Пример 2 . Из неравенства 2х < 12 следует, что х < 6 .

Пример 3 . Из неравенства -(1/3)х — (1/3)х > 4 следует, что x < — 12 .

Пример 4 . Дано неравенство х/к > у/l ; из него следует, что lx > ky , если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky , если знаки чисел l и k противоположны.

Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.

Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.

Навигация по странице.

Числовые неравенства: определение, примеры

Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:

Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .

А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .

Свойства числовых неравенств

На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):

Определение.

• число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
• число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
• число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.

Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:

Определение.

• число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
• число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.

Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.

Основные свойства

Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.

Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:

Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.

Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:

• рефлексивности a≥a и a≤a – верные неравенства;
• антисимметричности, если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a .
• транзитивности, если a≤b и b≤c , то a≤c , а также, если a≥b и b≥c , то a≥c .

Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.

Другие важные свойства числовых неравенств

Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.

В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a

• если a>b , то a+c>b+c ;
• если a≤b , то a+c≤b+c ;
• если a≥b , то a+c≥b+c .

Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!