Параллельность плоскостей является понятием, впервые появившимся в эвклидовой геометрии более двух тысяч лет назад.

Основные характеристики классической геометрии

Рождение этой научной дисциплины связано с известнейшим трудом древнегреческого мыслителя Эвклида, написавшего в третьем веке до нашей эры памфлет «Начала». Разделенные на тринадцать книг, «Начала» являлись высшим достижением всей античной математики и излагали фундаментальные постулаты, связанные со свойствами плоских фигур.

Классическое условие параллельности плоскостей было сформулировано следующим образом: две плоскости могут назваться параллельными, если они между собой не имеют общих точек. Об этом гласил пятый постулат эвклидового труда.

Свойства параллельных плоскостей

В эвклидовой геометрии их выделяют, как правило, пять:

  • Свойство первое (описывает параллельность плоскостей и их единственность). Через одну точку, которая лежит вне конкретной данной плоскости, мы можем провести одну и только одну параллельную ей плоскость
  • Свойство третье (иными словами оно называется свойством прямой, пересекающей параллельность плоскостей). Если отдельно взятая прямая линия пересекает одну из этих параллельных плоскостей, то она пересечет и другую.
  • Свойство четвертое (свойство прямых линий, высеченных на плоскостях, параллельных друг другу). Когда две параллельные плоскости пересекаются третьей (под любым углом), линии их пересечения также являются параллельными
  • Свойство пятое (свойство, описывающее отрезки разных параллельных прямых, которые заключены между плоскостями, параллельными друг другу). Отрезки тех параллельных прямых, которые заключены между двумя параллельными плоскостями, обязательно равны.

Параллельность плоскостей в неэвклидовых геометриях

Такими подходами являются в частности геометрия Лобачевского и Римана. Если геометрия Эвклида реализовывалась на плоских пространствах, то у Лобачевского в отрицательно искривленных пространствах (выгнутых попросту говоря), а у Римана она обретает свою реализацию в положительно искривленных пространствах (иными словами - сферах). Существует весьма распространенное стереотипное мнение, что у Лобачевского параллельные плоскости (и линии тоже) пересекаются.

Однако это неверно. Действительно рождение гиперболической геометрии было связано с доказательством пятого постулата Эвклида и изменением взглядов на него, однако само определение параллельных плоскостей и прямых подразумевает, что они не могут пересечься ни у Лобачевского, ни у Римана, в каких бы пространствах они ни реализовывались. А изменение взглядов и формулировок заключалось в следующем. На смену постулату о том, что лишь одну параллельную плоскость можно провести через точку, не лежащую на данной плоскости, пришла другая формулировка: через точку, которая не лежит на данной конкретной плоскости, могут проходить две, по крайней мере, прямые, которые лежат в одной плоскости с данной и не пересекают ее.

Цели урока:

  • Ввести понятие параллельных плоскостей.
  • Рассмотреть и доказать теоремы, выражающие признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей.
  • Проследить применение этих теорем при решении задач.

План урока (записать на доске):

I. Подготовительная устная работа.

II. Изучение нового материала:

1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
2. Определение параллельных плоскостей.
3. Признак параллельности плоскостей.
4. Свойство параллельных плоскостей.

III. Итог урока.

IV. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. Устная работа

Начать урок хочется с цитаты из философского письма Чаадаева:

“Откуда это чудодейственная мощь анализа в математике? Дело в том, что ум здесь действует в полном подчинении данному правилу”.

Это подчинение правилу мы рассмотрим на следующем задании. Для усвоения нового материала необходимо повторить некоторые вопросы. Для этого надо установить утверждение, которое следует из данных утверждений и обосновать свой ответ:

II. Изучение нового материала

1. Как могут располагаться две плоскости в пространстве? Что представляет собой множество точек, принадлежащих обеим плоскостям?

Ответ:

а) совпадать (тогда дело будем иметь с одной плоскостью, не устраивает);
б) пересекаться, ;
в) не пересекаться (общих точек вообще нет).

2. Определение: Если две плоскости не пересекаются, то они называются параллельными

3. Обозначение:

4. Приведите примеры параллельных плоскостей из окружающей обстановки

5. Как выяснить параллельны ли какие-либо две плоскости в пространстве?

Ответ:

Можно воспользоваться определением, но это нецелесообразно, т.к. установить пересечение плоскостей не всегда возможно. Поэтому необходимо рассмотреть условие достаточное для того, чтобы утверждать о параллельности плоскостей.

6. Рассмотрим ситуации:

б) если ?

в) если ?

Почему в а) и б) ответ: "не всегда", а в в) "да"? (Пересекающиеся прямые определяют плоскость единственным образом, значит определены однозначно!)

Ситуация 3 и есть признак параллельности двух плоскостей.

7. Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

(Обозначения на чертеж наносят учащиеся).

1. Отметим: . Аналогично:
2. Пусть: .
3. Имеем: Аналогично:
4. Получим: через М проходит противоречие с аксиомой планиметрии.
5. Итак: неверно, значит , ч. и т. д.

8. Решить № 51 (Обозначения на чертеж наносят учащиеся).

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1 способ

1. Построим

2 способ

Ввести через через .

9. Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей:

Теорема: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

(Достраивают и наносят обозначение на чертеж сами учащиеся).

Дано:

На этом уроке мы рассмотрим три свойства параллельных плоскостей: о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью; о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями; и о рассечении сторон угла параллельными плоскостями. Далее решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и С D , которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и С D равны.

Две параллельные прямые АВ и С D образуют единственную плоскость γ, γ = АВ D С . Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и В D параллельны.

Прямые АВ и С D также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВ D С - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А . Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости - ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости - В 1 С 1 . По первому свойству, линии пересечения ВС и В 1 С 1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Получаем:

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича ()

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Точка О - общая середина каждого из отрезков АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А 1 В 1 С 1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.