Задача
Осевое сечение цилиндра - квадрат , диагональ которого равна 4√2.Вычислить объем цилиндра.
Решение
.
Поскольку диагональ сечения цилиндра - квадрат, то обозначим его сторону как a.
a 2 + a 2 = (4√2) 2
2a 2 = 32
a 2 = 16
a = 4
Объем цилиндра найдем по формуле:
V = πd 2 / 4 * h
откуда
V = π4 2 / 4 * 4
V = 16π
Ответ : Объем цилиндра равен 16π
Задача
Куб с ребром длиной а вписан в цилиндр . Найдите площадь осевого сечения цилиндра.Решение
.
Проведем плоскость через основание цилиндра.
Диагональ куба является одновременно диаметром цилиндра. Зная сторону куба, определяем длину диагонали AC квадрата ABCD как
CD 2 + AD 2 = AC 2
a 2 + a 2 = AC 2
2a 2 = AC
AC = a√2
Проведем плоскость через ось цилиндра по диагонали AC. Высота сечения равна длине ребра куба и по условиям задачи рана а, а ширина сечения равна a√2.
Таким образом, площадь сечения равна:
S = a * a√2 = a 2 √2
Ответ : a 2 √2
Задача
Решение. Рiшення .
| В силу симметричности квадрата и цилиндра и ввиду того, что квадрат наклонный, диагональ квадрата пересечет ось цилиндра ОО 1
в точке М
, являющейся серединой отрезкаОО 1
. По условию ОО 1
=2м, а ОА
=7 м, поэтому ОМ
=1м.
Пусть d - диагональ квадрата. Тогда сторона квадрата а равна: | У силу симетричності квадрата і циліндра і зважаючи на те, що квадрат похилий, діагональ квадрата перетне вісь циліндра ОО 1
в точці М
, яка є серединою відрізка ОО 1
. За умовою ОО 1
=2м, а ОА
=7 м, тому ОМ
=1м.
Позначимо d – діагональ квадрата. Тоді сторона квадрата а : |
Конус и усеченный конус
Следует объяснить учащимся, что при решении различных задач на комбинацию конуса и усеченного конуса достаточно изобразить их сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. В таком случае решение стереометрической задачи сводится к решению задачи планиметрической на комбинацию трапеции и треугольника.
Задача 1. Трапеция со сторонами 2, 2, 2 и 4 вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости трапеции и проходящей через одну из вершин большего основания перпендикулярно этому основанию. Найдите объем тела вращения.
Решение. Пусть трапеция ABCD , у которой AB = BC = CD = 2, AD = 4, вращается вокруг прямой m , проходящей через вершину D перпендикулярно основанию AD . На рисунке 1 изображено осевое сечение полученного тела вращения (плоскость сечения проходит через ось вращения m ). Это сечение состоит из двух равных и симметричных относительно прямой m трапеций ABCD и PMKD , которые равными прямоугольными треугольниками COD и KOD (O = m ∩ BC ) дополняются до равных прямоугольных трапеций ABOD и PMOD . Это означает, что объем тела, полученного при вращении трапеции ABCD , равен разности объема усеченного конуса, полученного при вращении прямоугольной трапеции ABOD вокруг прямой m , и объема конуса, полученного при вращении прямоугольного треугольника COD вокруг прямой m . Найдем объем тела вращения.
Высота конусов равна OD . Отрезки BO = r и AD = R являются радиусами соответственно верхнего и нижнего оснований усеченного конуса, а отрезок OC - радиус основания прямого кругового конуса с вершиной D . Найдем объемы этих конусов.
Проведем отрезок BT
параллельно CD
. Тогда из
равенств BT
= CD
= AB
= BC
и BC
= TD
следует, что AB
= BT
= AT
, откуда треугольник ABT
-
правильный, в котором 
При этом BM = 3BC = 6 (CK = AT = BC ), значит,
(OD - серединный перпендикуляр BM ). Тогда
и искомый объем тела вращения равен
Ответ : куб. ед.
Сферы, шары и конус
Перед решением задач на комбинацию сферы и конуса следует повторить планиметрический материал о комбинациях окружности и равнобедренного треугольника.
Во многих случаях решение задачи упрощается, если использовать сечения комбинации сферы и конуса диаметральной плоскостью сферы, содержащей ось конуса. В результате решение данной стереометрической задачи сводится к решению задачи планиметрической на комбинацию окружности и равнобедренного треугольника.
Задача 2. В конус помещены две сферы. Одна из этих сфер вписана в конус, а вторая касается первой сферы и конической поверхности, имея с ней общую окружность. Найдите отношение радиусов первой и второй сфер, если образующая конуса в три раза больше радиуса его основания.
Решение
. Рассмотрим сечение комбинации данных конуса и
двух сфер плоскостью, проходящей через ось конуса (рис. 2). Сечением конуса
является равнобедренный треугольник ABC
(AB
= BC
, BO
AC
), в котором OA
= R
(R
- радиус основания конуса);
сечением сферы, вписанной в конус, - окружность
ω с центром O
1 ,
вписанная в треугольник ABC
и касающаяся его сторон в точках K
,
Q
и O
(KQ
AC
); сечением второй сферы - окружность
ω 1 , касающаяся
окружности ω в точке
P
и боковых сторон треугольника ABC
- в точках M
и L
(P
- точка касания сфер, ML
- диаметр окружности касания этой
сферы с боковой поверхностью конуса).
Обозначим
:
O
1 K
= R
1 -
радиус окружности ω
(радиус первой сферы),
O
1 K
AB
; DM
= r
- радиус окружности ω 1
(радиус второй сферы), DM
AB
.
Проведем : KE AC ; HF AC ; PH AC (PH - общая касательная окружностей ω и ω 1).
Из условия следует: AB
= 3R
. Имеем: AK
=
AO
= R
(как отрезки касательных к окружностиω),
значит, AK
: AB
= R
: 3 R
= 1: 3.
Так как BO
AC
,KE
AC
,
то KE
BO
. По теореме Фалеса получим:
AE : AO = AK : AB = 1: 3,
откуда 
AKE
Кроме того,
Так как KQ AC , BO AC , то KQ BO . Далее, O 1 K AB (как радиус, проведенный в точку касания). Значит, AKE = O 1 KT (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Тогда прямоугольные треугольники AKE и O 1 KT подобны, поэтому AK : O 1 K = KE : KT , откуда
значит, 
Найдем иначе длину OP = HF .
Пусть KH = m . Имеем: HK = HP , а HP = HM (как отрезки касательных к окружностям ω и ω 1), отсюда KM = 2m , AH = R + m . Тогда из подобия прямоугольных треугольников AKE и AHF получаем:
AK : AH = KE : HF
Из равенства 
находим: 2m
= R
m
= 0,5R
.
Значит, KM
= 2m
= 20,5R
= R
.
Поэтому BM
= BK
– KM
= 2R
– R
= R
.
Тогда из подобия прямоугольных треугольников BO
1 K
и
BDM
имеем:
R 1: r = O 1 K : DM = BK : BM = 2R : R = 2: 1.
Ответ : 2: 1.
Задача 3. Внутри конуса расположены четыре равных шара радиуса r так, что каждый из них касается двух других шаров, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите объем конуса, если его образующие наклонены к плоскости основания под углом j.
Решение . Пусть PO - высота данного конуса (точка O - центр его основания); точки A , B , C , D - центры данных шаров. Так как все шары равны и каждый из них касается основания конуса, то центры A , B , C , D этих шаров равноудалены от плоскости основания конуса и расположены в плоскости, параллельной основанию конуса и удаленной от нее на расстояние R .
По условию задачи каждый из шаров касается двух других шаров.
Поэтому AB
= BC
= CD
= DA
= 2r
(точка касания двух шаров лежит на линии их центров), откуда следует, что
четырехугольник ABCD
- ромб. Вследствие равенства шаров AC
= BD
.
Значит, ABCD
- квадрат со стороной 2r
и расстояние между центрами
A
и C
«противоположных» (не касающихся) шаров равно (как диагональ
квадрата). (На рисунке 3 изображено сечение шаров плоскостью, проходящей через
их центры.)
Плоскость, проведенная через высоту конуса, перпендикулярна основанию конуса и пересекает это основание по его диаметру. Поэтому проекция образующей конуса расположена на диаметре его основания, значит, угол j между образующей конуса и плоскостью его основания равен углу между этой образующей и диаметром основания, проведенным через основание образующей (рис. 4).
Проведем плоскость α = (PAC ) через ось OP конуса. В пересечении этой плоскости с конусом получается равнобедренный треугольник PMK (PM = PK как образующие конуса). А так как шары касаются боковой поверхности конуса, то пересечением плоскости a с шарами, имеющими центры A и C , являются два круга радиуса r с теми же центрами, вписанные в углы PMK и PKM , при этом точки A и C расположены на биссектрисах этих углов (см. рис. 4). В треугольнике PMK высота PO равна высоте h конуса, а основание MK - диаметру основания конуса, то есть MK = 2R , где R - радиус основания конуса.
Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой 
Найдем
высоту h
конуса и радиус R
.
Пусть T
и E
- точки, в которых круги с центрами
A
и C
касаются основания MK
треугольника PMK
(в
точках T
и E
шары с центрами A
и C
касаются
основания конуса).
Тогда AT
MK
и CE
MK
, при этом AT
= CE
= r
, значит,
В прямоугольном треугольнике MAT
Вследствие симметрии равнобедренного треугольника PMK относительно PO имеем:
В прямоугольном треугольнике OMP :
Ответ
: 
Шары и усеченный конус
Решение задачи на комбинацию шара и усеченного конуса упрощается, если использовать сечение комбинации шара и усеченного конуса диаметральной плоскостью шара, содержащей ось конуса. В таком случае решение данной стереометрической задачи сводится к решению планиметрической задачи на комбинацию круга и равнобедренной трапеции.
Задача 4. Радиус сферы, вписанной в усеченный конус, равен r , радиус сферы, описанной около этого усеченного конуса, равен Найдите угол между образующей усеченного конуса и его основанием.
Решение . Окружности оснований данного усеченного конуса - это сечения параллельными плоскостями сферы с центром B и радиусом Так как центр любой окружности, расположенной на сфере, принадлежит прямой, проходящей через центр сферы и перпендикулярной плоскости этой окружности, то центры O и T оснований усеченного конуса и центр B сферы лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям оснований этого конуса. На этой же прямой расположен и центр A сферы, вписанной в усеченный конус, так как вписанная в усеченный конус сфера касается его оснований в их центрах O и T .
На рисунке 5 изображено сечение комбинации усеченного конуса и двух данных сфер плоскостью, проходящей через центр B сферы перпендикулярно плоскостям оснований усеченного конуса: в сечении конуса этой плоскостью получается равнобедренная трапеция MHPK , а сечениями сфер являются две окружности ω и ω 1 радиусов r и с центрами соответственно A и B , одна из которых вписана в трапецию MHPK , а другая описана около нее.
Пусть HC - высота усеченного конуса (высота трапеции) и α - угол наклона его образующей MH к плоскости нижнего основания (угол при вершине нижнего основания трапеции).
Выразим дважды длину диагонали HK через r и a . С одной стороны, в треугольнике MKH имеем:
С другой стороны, в треугольнике HCK ( HCK = 90°) по теореме Пифагора находим:
HK 2 = CK 2 + CH 2 . (*)
Выразим CH и CK через r и α.
Трапеция MHPK
описана около окружности с центром A
и радиусом r
, поэтому HC
= 2r
и
HP
+ MK
= 2MH
(суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности,
равны), откуда 
Кроме того, трапеция MHPK
- равнобедренная, значит,
Следовательно, CK
= MH
.
В прямоугольном треугольнике MCH
находим: 
Тогда
Подставив в (*)
вместо HK
, CK
и CH
их выражения через r
и
α, получаем:
(sin α ≠
0, так как α ≠
0).
Сделав подстановку sin 2 α
= t
(0 < t
< 1), получаем: 30t
2 – t
– 1 =
0.
(не удовлетворяет t > 0), t 2 = 0,2. Тогда
sin 2 α
= 0,2 cos 2 α
= 0,8
cos 2α = 0,6 2α = arccos 0,6
α = 0,5arccos 0,6.
Таким образом, M = K = 0,5arccos 0,6.
Ответ: 0,5arccos 0,6.
Сферы, шар и цилиндр
Перед решением задач на комбинацию сферы и цилиндра следует повторить планиметрический материал о комбинациях окружности и прямоугольника (квадрата), о комбинациях двух касающихся, пересекающихся и не имеющих общих точек окружностей. Учащимся необходимо знать, что в цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, так как диаметр сферы, вписанной в цилиндр, равен высоте (образующей) этого цилиндра.
При решении задач на комбинацию сферы (шара) и цилиндра совершенно не обязательно изображать сферу и цилиндр, а достаточно рассмотреть сечение этой комбинации пространственных фигур плоскостью. Во многих случаях решение задачи упрощается, если использовать сечения сферы (шара) и цилиндра диаметральной плоскостью сферы (шара), содержащей ось цилиндра (параллельной этой оси), или диаметральной плоскостью сферы (шара), перпендикулярной оси цилиндра.
Задача 5 . Плоскость α, образующая с осью цилиндра угол в 45°, делит ось в отношении 1: 3. Найдите площадь круга, по которому эта плоскость пересекает шар, вписанный в цилиндр, если высота цилиндра равна h .
Решение . Пусть MT - ось данного цилиндра, точка O - центр вписанного в него шара, O MT .
Рассмотрим сечение цилиндра и вписанного в него шара плоскостью, проходящей через ось MT . В сечении получаем соответственно квадрат ABCD и круг с центром O , вписанный в этот квадрат (рис. 6). (Осевым сечением любого цилиндра является прямоугольник, но в данном случае сечением цилиндра может быть только квадрат, так как в прямоугольник нельзя вписать окружность.)
Касательная прямая m в точке A к окружности нижнего основания цилиндра, расположенная в плоскости этого основания, перпендикулярна диаметру AD . А так как AD - проекция AC на эту плоскость, то AC m (по теореме о трех перпендикулярах). Тогда угол CAD - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью основания цилиндра и плоскостью β, проходящей через AC и m , причем β (ABC ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей) и AC = β ∩ (ABC ). Поэтому ортогональной проекцией оси MT на плоскость β является прямая AC , следовательно, COM = 45° - угол между осью MT и плоскостью β.
Так как CAD
= 45° (в квадрате
ABCD
), то плоскость β наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 45°
и образует с осью MT
угол в 45°.
Это означает, что α β.
Далее, пусть точка E
делит ось MT
в отношении
ME
: ET
= 1: 3, значит, ME
: MT
= 1: 4.
Тогда 
Так
как α β, то плоскость
α проходит через точку E
и пересекает плоскость ABC
осевого сечения цилиндра по прямой,
параллельной AC
. Обозначим: KP
- отрезок пересечения этой прямой и
круга - сечения шара плоскостью ABC
; длина отрезка KP
равна
диаметру круга, по которому плоскость α пересекает шар. Проведем OH
B
KP
, тогда HK
= r
- радиус этого круга. Найдем r
.
Имеем:
KP AC COM = MEP = HEO = 45°,
тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике EOH
В прямоугольном треугольнике KOH
где r - радиус круга - сечения шара плоскостью α.
Находим площадь этого круга:
Ответ : кв. ед.
Задача 6. В цилиндр помещены четыре попарно касающиеся сферы радиуса R = 3 так, что каждая сфера касается данной цилиндрической поверхности. При этом две сферы касаются нижнего, а две другие - верхнего оснований цилиндра. Найдите объем этого цилиндра.
Решение . Пусть P и A - центры сфер, касающихся верхнего основания цилиндра, B и C - центры сфер, касающихся его нижнего основания. Тогда точки P и A равноудалены от верхнего, а точки B и C - от нижнего основания на расстояния, равные 3. Поэтому прямые AP и BC параллельны верхнему и нижнему основаниям цилиндра (рис. 7).
Так как равные сферы с центрами A и P касаются, то серединой отрезка AP является точка касания этих сфер, при этом AP = 2R = 6. Аналогично, BP = AB = AC = PC = BC = 6. Это означает: а) что треугольная пирамида PABC является правильным тетраэдром с ребром, равным 6; б) скрещивающиеся ребра AP и BC этого тетраэдра параллельны основаниям цилиндра.
Известно, что в правильном тетраэдре с ребром a
расстояние между скрещивающимися ребрами равно длине их общего серединного
перпендикуляра, то есть равно
В нашем случае, если точка H
- середина
AP
, точка K
- середина BC
, то отрезок HK
- общий
серединный перпендикуляр ребер AP
и BC
, при этом 
Так как скрещивающиеся ребра AP и BC тетраэдра параллельны основаниям цилиндра, то HK перпендикулярен основаниям цилиндра. Учитывая, что прямые AP и BC , содержащие центры шаров, удалены от параллельных им соответственно верхнего и нижнего оснований цилиндра на расстояния, равные 3, приходим к выводу: высота h цилиндра равна
Так как скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно
перпендикулярны, то их серединный перпендикуляр HK
- ось симметрии
тетраэдра PABC
, совпадающая с осью O
1 O
цилиндра.
Поэтому ребра AP
и BC
расположены на перпендикулярных диаметрах
EF
и MT
цилиндра, где E
, F
, M
и T
- точки
касания боковой поверхности цилиндра со сферами, центры которых - соответственно
вершины A
и P
, B
и C
. Тогда BM
= CT
=
R
,
значит,
MT = BC + 2MB = 4R = 4∙3 = 12 = 2r ,
откуда r = 6, где r - радиус основания цилиндра.
Следовательно, объем цилиндра равен
Ответ
: 
куб. ед.
Задача 7 . Одна из образующих цилиндра расположена на диаметре шара, а две другие являются хордами этого шара. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, если расстояние между каждой из пар этих образующих равно 6, а радиус шара равен 10. Определите, весь ли цилиндр находится внутри шара?
Решение . На рисунке 8 изображено сечение шара (круг ω) и цилиндра (круг ω 1) плоскостью, проходящей через центр O шара перпендикулярно образующим цилиндра (эта плоскость делит все образующие цилиндра пополам), при этом точка O - середина образующей цилиндра, расположенной на диаметре шара, а точки A и B - середины образующих цилиндра, являющихся данными хордами шара.
Расстояние между образующими каждой из этих пар равно 6,
поэтому равносторонний треугольник OAB
со стороной 6 вписан в круг
ω 1 с центром O
1 ,
равный основанию цилиндра и имеющий радиус 
А так как радиус шара равен 10, то
круг ω 1
лежит внутри круга ω с
центром O
- диаметрального сечения шара. Это означает, что прямая,
содержащая образующую цилиндра, проходящую через точку C
, диаметрально
противоположную точке O
(рис. 9), пересекает поверхность шара в некоторых
точках M
и K
, симметричных относительно диаметральной плоскости
OAB
.
Пусть точка A - середина образующей PH цилиндра, являющейся данной хордой шара.
Тогда OP = OH = 10 (как радиусы шара), и в прямоугольном треугольнике OAP находим
значит, длина образующей цилиндра равна:
PH = 2AP = 16.
Найдем длину хорды MK шара, которая лежит на образующей ET цилиндра, содержащей точку C и удаленной от центра шара на расстояние Для этого рассмотрим сечение данной комбинации тел диаметральной плоскостью шара, проходящей через ось Q 1 Q цилиндра. На рисунке 9 изображены: сечение шара - круг с центром O и радиусом OM = 10; сечение цилиндра - прямоугольник ELDT .
В прямоугольном треугольнике OCM находим:
поэтому 
Так как 16 2 > 1613,
то PH
> MK
. Значит, образующая ET
цилиндра больше хорды
MK
шара, которая лежит на этой образующей. Это говорит о том, что концы E
и T
образующей ET
цилиндра, а значит и некоторые две его части,
симметричные относительно проведенной диаметральной плоскости AOB
,
находятся вне шара.
Ответ : нет, часть цилиндра расположена вне шара.
При решении задач на комбинации касающихся фигур вращения учащимся полезно повторить, что если даны две касающиеся внешним образом окружности ω(A ; R ) и ω 1 (B ; r ), а прямая m является их общей внешней касательной, то расстояние HK между точками касания H и K этой прямой с окружностями ω и ω 1 равно
Кроме того, учащимся необходимо объяснить, что в некоторых случаях решению задачи на комбинацию касающихся фигур вращения способствует «взгляд с различных сторон» на данную комбинацию.
Рассмотрим, например, следующую задачу.
Задача 8 . На плоскости лежат цилиндр радиуса R и два шара радиуса r (R > r ). Цилиндр касается плоскости по своей образующей; шары касаются друг друга и боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус шара, большего, чем данные, касающегося обоих данных шаров, боковой поверхности цилиндра и плоскости.
Решение . Обозначим: α - плоскость, которой касаются все данные в условии задачи тела. Пусть x (x > r ) - искомая длина радиуса шара, касающегося обоих данных шаров, боковой поверхности цилиндра и плоскости α .
На рисунке 10,б (вид сверху): B и C - точки, в которых шары радиуса r касаются плоскости α , BC = 2r ; DE - образующая, по которой цилиндр касается плоскости α; A - точка касания шара радиуса x и плоскости α .
На рисунке 10,а изображены данные шары и цилиндр в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (вид - вдоль оси цилиндра). Точки O и O 1 - центры соответственно шаров радиуса r и основания цилиндра, точка O 2 - центр шара радиуса x .
При решении задачи, в которой даны две, три и более попарно касающиеся сферы, бывает удобно воспользоваться сечением этих сфер плоскостью, проходящей через их центры (диаметральной плоскостью). Тогда данная задача сводится к планиметрической задаче на взаимное расположение двух, трех и более попарно касающихся окружностей.
Иногда бывает удобно «привлечь на помощь» треугольник или тетраэдр с вершинами в центрах соответственно трех или четырех касающихся данных сфер; при этом стороны треугольника и ребра тетраэдра равны суммам радиусов данных сфер.
Задача 9. Три равные сферы радиуса 6 касаются друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих сфер, если ее центр лежит в плоскости центров трех данных сфер.
Решение . Обозначим: точки A , B , C - центры трех данных касающихся друг друга сфер радиуса 6; точка K - центр касающейся сферы.
Рассмотрим сечение данной комбинации сфер плоскостью ABC , проведенной через их центры, при этом K (ABC ).
В сечении получаем три равные попарно касающиеся окружности
ω 1 ,
ω 2 ,
ω 3 с центрами A
,
B
и C
радиуса 6 (рис. 11).
Тогда треугольник ABC
-
равносторонний; AB
= 12;
где M - центроид треугольника ABC .
Окружность ω 4 с центром K - сечение сферы, касающейся трех данных сфер, - касается окружностей ω 1 , ω 2 , ω 3 . Так как, с одной стороны, (в треугольнике ABC ) и, с другой стороны, центр K окружности ω 4 , касающейся равных окружностей ω 1 , ω 2 , ω 3 , равноудален от их центров A , B и C , то центр K окружности ω 4 совпадает с центроидом M треугольника ABC .
Обозначим через T
и H
точки пересечения прямой
MA
с окружностью ω 1 .
Тогда отрезки MT
и MH
равны радиусам концентрических окружностей
ω 4 и
ω 5 с центром M
,
одна из которых касается окружностей ω 1 ,
ω 2 ,
ω 3 внутренним
образом, друга - внешним. Так как
MT = AM – AT , MH = AM + AH ,
Таким образом, существуют две концентрические сферы с центром M , касающиеся всех данных трех сфер: радиус одной сферы равен , а радиус другой -
Ответ : ; .
Задача 10. В вершинах правильного тетраэдра с ребром 18 расположены центры четырех равных сфер, попарно касающихся друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих сфер.
Решение. Пусть центрами данных сфер являются вершины правильного тетраэдра PABC , а центром сферы, касающейся всех этих сфер, служит некоторая точка F .
Известно, что точка касания двух сфер принадлежит линии их центров и расстояние между центрами данных сфер равно сумме длин их радиусов (сферы касаются внешним образом). Это означает: FA = FB = FC = FP (данные четыре сферы равны), то есть точка F равноудалена от вершин данного правильного тетраэдра.
Известно, что в правильном тетраэдре PABC точкой, равноудаленной от всех его вершин, является точка M пересечения отрезов, соединяющих вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней, причем где O - центроид правильного треугольника ABC . Таким образом, центром сферы, касающейся всех четырех данных сфер, является точка M .
На рисунке 12 изображено сечение данной комбинации тел плоскостью APH (H - середина BC ), где (APH ) BC , (APH ) (ABC ), так как высота тетраэдра PO расположена в плоскости APH . Сечением тетраэдра этой плоскостью является треугольник APH , а сечением двух данных сфер с центрами A и P - две равные касающиеся окружности ω 1 и ω 2 с теми же центрами и радиусом 6. Так как центр M сферы, касающейся всех четырех данных сфер, принадлежит секущей плоскости APH , то ее сечением является окружность ω 3 , касающаяся окружностей ω 1 и ω 2 , а радиус окружности ω 3 равен радиусу этой сферы. Найдем радиус окружности ω 3 .
В правильном треугольнике ABC со стороной 18 имеем:
Тогда в прямоугольном треугольнике AOP (OP
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1 Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс 1сентября 017 года Вариант МА10111 (без производных) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (35 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом. Ответы к заданиям 1 1 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий требуется записать полное решение на отдельном листе бумаги. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Желаем успеха!
2 Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (без производных) Часть 1 Ответом к каждому из заданий 1 1 является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы. 1 Цена на электрический чайник была повышена на 3 % и составила 337 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 4 по 19 апреля 00 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена нефти на момент закрытия торгов была наибольшей за данный период. 3 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
3 Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (без производных) 3 4 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода. 5 Найдите корень уравнения x log Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 9 и 57. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 7 На рисунке изображён график функции 7; 5. Найдите сумму точек экстремума функции y f x, определённой на интервале f x.
4 Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (без производных) 4 8 Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь поверхности увеличится на 70. Найдите ребро куба. 9 Часть Найдите значение выражения: В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C 610 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением 6 R 610 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 6 кв. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кв) за время, определяемое выражением 0 t α RClog U (с), где α 1, постоянная. Определите напряжение на U конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 43, с. Ответ дайте в киловольтах Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 5 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 11 км/ч, и через 5 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 1 Найдите наибольшее значение функции y x x на отрезке 1;8.
5 Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (без производных) 5 Для записи решений и ответов на задания используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 13 7π 3 а) Решите уравнение 4sin x. cosx б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 13π ; 5π. 14 Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60. а) Докажите, что ABCD квадрат. б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен. 15 x x 45x Решите неравенство 3 3 x. 16 Точка I центр окружности S 1, вписанной в треугольник ABC, точка O центр окружности S, описанной около треугольника BIC. а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S как 3:5.
6 Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (без производных) января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего месяца; со -го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась,34 млн рублей? 18 Найдите все значения х, каждое из которых является решением уравнения (a 1) 3sin x (1 3 а)cosx 1 при любом значении а из отрезка 6sinx 3cosx . 19 На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 165. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
7 Математика. 11 класс. Вариант МА10111 (без производных) января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего месяца; со -го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась,34 млн рублей? 18 Найдите все значения х, каждое из которых является решением уравнения (a 1) 3 sin x + (1 + 3 а)cos x = 1 при любом значении а из отрезка 6sin x 3 cosx . 19 На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 165. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
8 Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс 1сентября 017 года Вариант МА1011 (без производных) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (35 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом. Ответы к заданиям 1 1 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий требуется записать полное решение на отдельном листе бумаги. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Желаем успеха!
9 Математика. 11 класс. Вариант МА1011 (без производных) Часть 1 Ответом к каждому из заданий 1 1 является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы. 1 Цена на электрический чайник была повышена на 17 % и составила 1989 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 0 мая 009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена никеля на момент закрытия торгов была наибольшей за данный период. 3 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
10 Математика. 11 класс. Вариант МА1011 (без производных) 3 4 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода. 5 Найдите корень уравнения x log Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 4 и 67. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 7 На рисунке изображён график функции 4; 8. Найдите сумму точек экстремума функции y f x, определённой на интервале f x.
11 Математика. 11 класс. Вариант МА1011 (без производных) 4 8 Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности увеличится на 16. Найдите ребро куба. 9 Часть Найдите значение выражения 65 5: В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C 310 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением 6 R 810 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 4 кв. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кв) за время, определяемое выражением 0 t α RClog U (с), где α 1, 4 постоянная. Определите напряжение на U конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 33,6 с. Ответ дайте в киловольтах Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 3 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 119 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 1 Найдите наибольшее значение функции y x x на отрезке 9;1.
12 Математика. 11 класс. Вариант МА1011 (без производных) 5 Для записи решений и ответов на задания используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. 13 5π 1 а) Решите уравнение 4sin x. cosx б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 7π 5π;. 14 Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60. а) Докажите, что ABCD квадрат. б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен x x 15x Решите неравенство 5 5 x. 16 Точка I центр окружности S 1, вписанной в треугольник ABC, точка O центр окружности S, описанной около треугольника BIC. а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S как:3.
13 Математика. 11 класс. Вариант МА1011 (без производных) января планируется взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца; со -го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83 млн рублей? 18 Найдите все значения х, каждое из которых является решением уравнения x x a 3sin (3 а)cos 1 при любом значении а из отрезка [ ;5 ]. x x 6sin 3cos 19 На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 64. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 10 класс 18 мая 2016 года Вариант МА00609 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс сентября 016 года Вариант МА10109 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс марта 206 года Вариант МА0409 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится часа минут
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс сентября 016 года Вариант МА10111 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 0 класс февраля 06 года Вариант МА00309 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс 3 марта 016 года Вариант МА1041 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа
Тренировочная работа 4 по МАТЕМАТИКЕ 1 мая 11 года 11 класс Вариант 1 Математика 11 класс Вариант 1 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (4 мин)
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс 6 января 07 года Вариант МА03 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут
Единый государственный экзамен, 2016 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант 10 от 09.01.2016 1 / 5 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень Инструкция по выполнению
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс 8 декабря 05 года Вариант МА009 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55
Единый государственный экзамен МАТЕМАТИКА 1 / Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 3 часа 55 минут (235
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс 20 января 2016 года Вариант МА10309 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3
Тренировочная работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 12 апреля 2011 года 11 класс Вариант 1 Математика. 11 класс. Вариант 1 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4
Вариант 3-1 Вариант 3 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (40 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий. Часть 1 содержит 1
Математика. 11 класс. Вариант МА10203 r04000 2 Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 14 ноября 2013 года 11 класс Вариант МА10203 Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике
Диагностическая работа по подготовке к ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 3 февраля 205 года 0- класс Вариант МА00409 профильный уровень Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике
Математика. 11 класс. Вариант МА10201 2 Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 14 ноября 2013 года 11 класс Вариант МА10201 Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике
Единый государственный экзамен, 06 г. Математика, класс.03.6 Досрочный Образец варианта Часть. Бегун пробежал 400 метров за 45 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ выразите в километрах в час..
Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика. класс. Вариант Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно. B Аня
Диагностическая работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 3 марта 2011 года 11 класс Вариант 1 Математика. 11 класс. Вариант 1 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 1 января 015 года 11 класс Вариант МА10113 (углубленный уровень) Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Математика. 11 класс. Вариант МА10113
Единый государственный экзамен, 2016 г. МАТЕМАТИКА Тренировочный вариант 6 от 07.11.2015 1 / 5 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 1 января 015 года 11 класс Вариант МА10109 (углубленный уровень) Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Математика. 11 класс. Вариант МА10109
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 20 октября 2010 года 11 класс Вариант 1 (без логарифмов) Математика. 11 класс. Вариант 1 (без логарифмов) 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной
Типовой вариант 1105, ЕГЭ 2016, МАТЕМАТИКА, 11 класс Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 9 класс 9 сентября 05 года Вариант МА9003 Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 20 октября 2010 года 11 класс Вариант 5 (без производной) Математика. 11 класс. Вариант 5 (без производной) 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной
Пробная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 3 апреля 05 года Вариант (профильный уровень) Часть Ответом к заданиям -4 является целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно.
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 13 мая 2010 года 10 класс Вариант 1 Математика. 10 класс. Вариант 1 2 Часть 1 Ответом на задания B1 B12 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы
Симуляционный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 05 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 9 класс 6 февраля 6 года Вариант МА95 Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».
Ответом к заданиям 1-14 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ 1 справа от номера соответствующего задания,
Репетиционный экзамен по МАТЕМАТИКЕ 9 класс Вариант 9202 Район Город (Населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Государственная итоговая аттестация, 2013 г. МАТЕМАТИКА Вариант 9202, стр. 2/10
Восток БЛ Ма11 19119 стр 1 Восток БЛ Ма11 19119 стр B1 Диагностическая работа по математике 11 класс 19 ноября 9 года Вариант 1 Часть 1 Ответом на задания В1-В1 должно быть целое число или конечная десятичная
B B Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь Единицы измерений писать не нужно В доме, в котором живёт Игорь, один подъезд На каждом этаже по шесть квартир Игорь
Единый государственный экзамен, 2016 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант 8 от 05.12.2015 1 / 5 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень Инструкция по выполнению
Математика. 9 класс. Вариант МА9070 m0006 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Тренировочная работа в формате ГИА по МАТЕМАТИКЕ 6 мая 04 года 9 класс Вариант МА9070 СтатГрад
Диагностическая работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 3 марта 2011 года 11 класс Вариант 5 Математика. 11 класс. Вариант 5 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4
Тренировочная работа 2 по МАТЕМАТИКЕ 24 января 2013 года 11 класс Вариант 1 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Математика. 11 класс. Вариант 1 2 Инструкция по выполнению работы
Критерии оценивания заданий с развернутым ответом Вариант МА00 а) Решите уравнение 3sin x sin x 0 5 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку;. a) sin x 0 x n, 3sin x sin n Z б) Отрезку
Математика. 11 класс. Вариант МА151 (Запад) r449 Диагностическая работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 13 марта 14 года 11 класс Вариант МА151 (Запад) Инструкция по выполнению работы На выполнение работы
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика класс Вариант 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (24 мин) Работа состоит из двух
Часть Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы. 2 Стоимость полугодовой подписки на
Вариант 11 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 12 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 На счету Сашиного мобильного телефона было 164 рубля, а после разговора с Таней
Математика. класс. Вариант МА0305 (Запад без производной) r070 Диагностическая работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ декабря 03 года класс Вариант МА0305 (Запад без производной) Инструкция по выполнению работы
Тренировочная работа 2 по МАТЕМАТИКЕ 24 января 2013 года 11 класс Вариант 4 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Математика. 11 класс. Вариант 4 2 Инструкция по выполнению работы
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 9 класс 3 марта 06 года Вариант МА9060 Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».
Математика. 9 класс. Вариант МА90601 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 17 апреля 014 года 9 класс Вариант МА90601 Инструкция по выполнению
Досрочный ЕГЭ-2014 с Wolfram Alpha:: 28042014 ЧАСТЬ 1 Ответом на задания В1-В10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь Ответ следует записать в бланк ответов 1 справа от номера выполняемого
Математика класс Вариант МА Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 4 ноября 3 года класс Вариант МА Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике даётся 3 часа 55 минут (35
Единый государственный экзамен, г. Математика, класс 5.6. Образец варианта Часть Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы На выполнение заданий варианта КИМ по математике
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 9 декабря 2010 года 11 класс Вариант 9 (без логарифмов) Математика. 11 класс. Вариант 9 (без логарифмов) 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 9 декабря 2010 года 11 класс Вариант 13 (без производной) Математика. 11 класс. Вариант 13 (без производной) 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной
Репетиционный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ВАРИАНТ 3 Инструкция по выполнению работы На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся 3 часа 55 минут (35 минут). Работа состоит из двух частей, включающих
Вариант 1-1 Вариант 1 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий. Часть 1 содержит 12
Математика. 11 класс. Вариант 13 sch750022 2 Диагностическая работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 1 марта 2012 года 11 класс sch750022 Вариант 13 Инструкция по выполнению работы. На выполнение экзаменационной работы
Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 10 класс 11 февраля 2016 года Вариант МА00305 (базовый уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы Работа по математике включает в себя 20 заданий.
Математика. 11 класс. Вариант 25 sch330217 2 Диагностическая работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 1 марта 2012 года 11 класс sch330217 Вариант 25 Инструкция по выполнению работы. На выполнение экзаменационной работы
Вариант Часть Ответом на задания В В4 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую
Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 6 февраля 013 года 9 класс Вариант МА9403 (Запад) Математика. 9 класс. Вариант МА9403 (Запад) Видеоразбор
Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ марта года класс Вариант Математика. класс. Вариант Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (4 мин). Работа
Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Диагностическая работа 2 по МАТЕМАТИКЕ 6 февраля 2013 года 9 класс Вариант МА9401 (Запад) Математика. 9 класс. Вариант МА9401 (Запад) Видеоразбор
Репетиционный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ВАРИАНТ 8 Инструкция по выполнению работы На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся 3 часа 55 минут (235 минут) Работа состоит из двух частей, включающих
ВАРИАНТ 1. B1 Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продаѐт с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей? B2 На рисунке
Репетиционное тестирование, 04-5 уч.год, МАТЕМАТИКА (0 учебный) Репетиционное тестирование по МАТЕМАТИКЕ 9 класс Вариант 4 Контрольные измерительные материалы для проведения в 05 году в Свердловской области
Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую
Математика. 11 класс. Вариант 5 sch640085 2 Диагностическая работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 1 марта 2012 года 11 класс sch640085 Вариант 5 Инструкция по выполнению работы. На выполнение экзаменационной работы по
Математика. 11 класс. Вариант 1 2 Диагностическая работа 3 по МАТЕМАТИКЕ 1 марта 2012 года 11 класс Вариант 1 Инструкция по выполнению работы. На выполнение экзаменационной работы по математике дается
ОГЭ-9, 2016 г. Математика, 9 класс Тренировочный вариант 1 от 30.08.2015 1 / 9 Основной государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы Общее время экзамена 235 минут. Характеристика
Тренировочная работа 2 по МАТЕМАТИКЕ 18 января 2013 года 9 класс Вариант 3 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Математика. 9 класс. Вариант 3 2 Инструкция по выполнению работы
Тренировочная работа по подготовке к ОГЭ по МАТЕМАТИКЕ ноября 4 года 9 класс Вариант МА95 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество СтатГрад 4 5 уч. г. Публикация в Интернете или
