Что значит косинус. Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, примеры

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha .

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha .

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} .

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ;

tg ;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 .

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

	0^{\circ} (0)	30^{\circ}\left(\frac{\pi}{6}\right)	45^{\circ}\left(\frac{\pi}{4}\right)	60^{\circ}\left(\frac{\pi}{3}\right)	90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2}\right)	180^{\circ}\left(\pi\right)	270^{\circ}\left(\frac{3\pi}{2}\right)	360^{\circ}\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac{\sqrt 3}{2}	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac{\sqrt 3}{2}	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac12	0	−1	0	1
tg \alpha	0	\frac{\sqrt 3}{3}	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg \alpha	—	\sqrt3	1	\frac{\sqrt 3}{3}	0	—	0	—

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол - меньший 90 градусов.

Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .

Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.

В этой статье мы покажем, как даются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и числа в тригонометрии . Здесь же мы поговорим об обозначениях, приведем примеры записей, дадим графические иллюстрации. В заключение проведем параллель между определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии и геометрии.

Навигация по странице.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.

Острого угла в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Определение.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin , cos , tg и ctg соответственно.

Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С , то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB , то есть, sin∠A=BC/AB .

Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3 , а гипотенуза AB равна 7 , то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Угла поворота

В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота . Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞ .

В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A 1 , в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности .

Определение.

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 , то есть, sinα=y .

Определение.

Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A 1 , то есть, cosα=x .

Определение.

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x .

Определение.

Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A 1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y .

Синус и косинус определены для любого угла α , так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α . А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1) , а это имеет место при углах 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0) , а это имеет место для углов 180°·k , k∈Z (π·k рад).

Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k , k∈Z (π·k рад).

В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin , cos , tg и ctg , они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot , отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30° , записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α . Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π .

В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.

Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем .

Числа

Определение.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называют число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла поворота в t радианов соответственно.

Например, косинус числа 8·π по определению есть число, равное косинусу угла в 8·π рад. А косинус угла в 8·π рад равен единице, поэтому, косинус числа 8·π равен 1 .

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Он состоит в том, что каждому действительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности с центром в начале прямоугольной системы координат, и синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки. Остановимся на этом подробнее.

Покажем, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности:

числу 0 ставится в соответствие начальная точка A(1, 0) ;
положительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении против часовой стрелки и пройдем путь длиной t ;
отрицательному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении по часовой стрелке и пройдем путь длиной |t| .

Теперь переходим к определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t . Допустим, что числу t соответствует точка окружности A 1 (x, y) (например, числу &pi/2; отвечает точка A 1 (0, 1) ).

Определение.

Синусом числа t называют ординату точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, sint=y .

Определение.

Косинусом числа t называют абсциссу точки единичной окружности, отвечающей числу t , то есть, cost=x .

Определение.

Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, tgt=y/x . В другой равносильной формулировке тангенс числа t – это отношение синуса этого числа к косинусу, то есть, tgt=sint/cost .

Определение.

Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, ctgt=x/y . Другая формулировка такова: тангенс числа t – это отношение косинуса числа t к синусу числа t : ctgt=cost/sint .

Здесь отметим, что только что данные определения согласуются с определением, данным в начале этого пункта. Действительно, точка единичной окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, полученной в результате поворота начальной точки на угол в t радианов.

Еще стоит прояснить такой момент. Допустим, перед нами запись sin3 . Как понять, о синусе числа 3 или о синусе угла поворота в 3 радиана идет речь? Обычно это ясно из контекста, в противном случае это скорее всего не имеет принципиального значения.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Согласно данным в предыдущем пункте определениям, каждому углу поворота α соответствуют вполне определенное значение sinα , как и значение cosα . Кроме того, всем углам поворота, отличным от 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) отвечают значения tgα , а отличным от 180°·k , k∈Z (π·k рад) – значения ctgα . Поэтому sinα , cosα , tgα и ctgα - это функции угла α . Другими словами – это функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить и про функции синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Действительно, каждому действительному числу t отвечает вполне определенное значение sint , как и cost . Кроме того, всем числам, отличным от π/2+π·k , k∈Z соответствуют значения tgt , а числам π·k , k∈Z - значения ctgt .

Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями .

Из контекста обычно понятно, с тригонометрическими функциями углового аргумента или числового аргумента мы имеем дело. В противном случае мы можем считать независимую переменную как мерой угла (угловым аргументом), так и числовым аргументом.

Однако, в школе в основном изучаются числовые функции, то есть, функции, аргументы которых, как и соответствующие им значения функции, являются числами. Поэтому, если речь идет именно о функциях, то целесообразно считать тригонометрические функции функциями числовых аргументов.

Связь определений из геометрии и тригонометрии

Если рассматривать угол поворота α величиной от 0 до 90 градусов, то данные в контексте тригонометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота полностью согласуются с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, которые даются в курсе геометрии. Обоснуем это.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат Oxy единичную окружность. Отметим начальную точку A(1, 0) . Повернем ее на угол α величиной от 0 до 90 градусов, получим точку A 1 (x, y) . Опустим из точки А 1 на ось Ox перпендикуляр A 1 H .

Легко видеть, что в прямоугольном треугольнике угол A 1 OH равен углу поворота α , длина прилежащего к этому углу катета OH равна абсциссе точки A 1 , то есть, |OH|=x , длина противолежащего к углу катета A 1 H равна ординате точки A 1 , то есть, |A 1 H|=y , а длина гипотенузы OA 1 равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. Тогда по определению из геометрии синус острого угла α в прямоугольном треугольнике A 1 OH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А по определению из тригонометрии синус угла поворота α равен ординате точки A 1 , то есть, sinα=y . Отсюда видно, что определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике эквивалентно определению синуса угла поворота α при α от 0 до 90 градусов.

Аналогично можно показать, что и определения косинуса, тангенса и котангенса острого угла α согласуются с определениями косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α .

Список литературы.

Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. М.: Просвещение, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А. В. Погорелов. - 2-е изд - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
Алгебра и элементарные функции : Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы / Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. Головина.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1969.
Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - И.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и неразрывно связаны с определением угла. Владение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому у школьников и студентов тригонометрические вычисления нередко вызывают трудности. Чтобы побороть их, следует подробнее познакомиться с тригонометрическими функциями и формулами.

Понятия в тригонометрии

Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, навигации, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к вычислению соответствующих соотношений её параметров.

Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

Углы треугольника

В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

Единичная окружность

Единичная окружность в геометрии — окружность, радиус которой равен единице. Такая окружность строится в декартовой системе координат, при этом центр окружности совпадает с точкой начала координат, а начальное положение вектора радиуса определено по положительному направлению оси Х (оси абсцисс). Каждая точка окружности имеет две координаты: ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G. Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.

Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

Вычисления и основные формулы

Значения тригонометрических функций

Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов. Значения перечислены в таблице ниже.

Простейшие тригонометрические тождества

Уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции присутствует неизвестное значение, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:

sin х = 0, х = πk.
2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
sin х = -1, х = -π/2 + 2πk.
sin х = а, |a| > 1, нет решений.
sin х = а, |a| ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:

cos х = 0, х = π/2 + πk.
cos х = 1, х = 2πk.
cos х = -1, х = π + 2πk.
cos х = а, |a| > 1, нет решений.
cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:

tg х = 0, х = π/2 + πk.
tg х = а, х = arctg α + πk.

Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:

ctg х = 0, х = π/2 + πk.
ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формулы приведения

Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.

Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:

sin(900 — α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 — α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 — α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 — α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса угла:

cos(900 — α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 — α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 — α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 — α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:

с sin на cos;
с cos на sin;
с tg на ctg;
с ctg на tg.

Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.

Формулы сложения

Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Обычно углы обозначаются как α и β.

Формулы имеют такой вид:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эти формулы справедливы для любых величин углов α и β.

Формулы двойного и тройного угла

Тригонометрические формулы двойного и тройного угла — это формулы, которые связывают функции углов 2α и 3α соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. Выводятся из формул сложения:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 — 2sin^2 α.
tg2α = 2tgα / (1 — tg^2 α).
sin3α = 3sinα — 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α — 3cosα.
tg3α = (3tgα — tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Переход от суммы к произведению

Учитывая, что 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), упростив эту формулу, получаем тождество sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогично sinα — sinβ = 2sin(α — β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα — tgβ = sin(α — β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Переход от произведения к сумме

Эти формулы следуют из тождеств перехода суммы в произведение:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Формулы понижения степени

В этих тождествах квадратную и кубическую степени синуса и косинуса можно выразить через синус и косинус первой степени кратного угла:

sin^2 α = (1 — cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα — sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 — 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Универсальная подстановка

Формулы универсальной тригонометрической подстановки выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при этом х = π + 2πn;
cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 — tg^2 x/2), где х = π + 2πn;
ctg x = (1 — tg^2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π + 2πn.

Частные случаи

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

Частные для синуса:

Значение sin x	Значение x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk

Частные для косинуса:

Значение cos x	Значение х
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Частные для тангенса:

Значение tg x	Значение х
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Частные для котангенса:

Значение ctg x	Значение x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теоремы

Теорема синусов

Существует два варианта теоремы — простой и расширенный. Простая теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При этом, a, b, c — стороны треугольника, и α, β, γ — соответственно, противолежащие углы.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В этом тождестве R обозначает радиус круга, в который вписан заданный треугольник.

Теорема косинусов

Тождество отображается таким образом: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.

Теорема тангенсов

Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a+b) = tg((α — β)/2) / tg((α + β)/2).

Теорема котангенсов

Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладное применение

Тригонометрия — не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, и многие другие.

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные понятия тригонометрии, с помощью которых математически можно выразить соотношения между углами и длинами сторон в треугольнике, и найти искомые величины через тождества, теоремы и правила.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \(AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \(AB \) и \(BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \(BC \) , то катет \(AB \) – это прилежащий катет, а катет \(BC \) - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

\[ \sin \beta =\dfrac{BC}{AC} \]

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

\[ \cos \beta =\dfrac{AB}{AC} \]

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике:

\[ tg\beta =\dfrac{BC}{AB} \]

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике:

\[ ctg\beta =\dfrac{AB}{BC} \]

Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \(\beta \) . По определению, из треугольника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \(\beta \) и из треугольника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \(ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .

\(\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\dfrac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\dfrac{3}{4}=0,75\end{array} \)

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \(\beta \) .

Ответы: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac{4}{3} \) .

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \(1 \) . Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \(x \) (в нашем примере, это радиус \(AB \) ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \(x \) и координата по оси \(y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \(ACG \) . Он прямоугольный, так как \(CG \) является перпендикуляром к оси \(x \) .

Чему равен \(\cos \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Всё верно \(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC} \) . Кроме того, нам ведь известно, что \(AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \(AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

\(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{AG}{1}=AG \) .

А чему равен \(\sin \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Ну конечно, \(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC} \) ! Подставим значение радиуса \(AC \) в эту формулу и получим:

\(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{CG}{1}=CG \)

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \(C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) - это просто числа? Какой координате соответствует \(\cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \(x \) ! А какой координате соответствует \(\sin \alpha \) ? Всё верно, координате \(y \) ! Таким образом, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \) .

А чему тогда равны \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \(tg \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{x}{y} \) .

А что, если угол будет больше ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник \({{A}_{1}}{{C}_{1}}G \) : угол (как прилежащий к углу \(\beta \) ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \({{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

\(\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\dfrac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\dfrac{x}{y}\end{array} \)

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \(y \) ; значение косинуса угла – координате \(x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \(x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \(360{}^\circ \) или \(2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \(390{}^\circ \) или на \(-1140{}^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \(390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \(30{}^\circ \) или \(\dfrac{\pi }{6} \) .

Во втором случае, \(-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \(-60{}^\circ \) или \(-\dfrac{\pi }{3} \) .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \(360{}^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \(\beta =-60{}^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \(-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \(\beta +360{}^\circ \cdot m \) или \(\beta +2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число)

\(\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array} \)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

\(\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array} \)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg\alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \)

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \(90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2} \) соответствует точка с координатами \(\left(0;1 \right) \) , следовательно:

\(\sin 90{}^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90{}^\circ =x=0 \) ;

\(\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) - не существует;

\(\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{1}=0 \) .

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \(180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ)\ \) соответствуют точки с координатами \(\left(-1;0 \right),\text{ }\left(0;-1 \right),\text{ }\left(1;0 \right),\text{ }\left(0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\(\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\dfrac{0}{-1}=0 \)

\(\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) - не существует

\(\sin \ 270{}^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270{}^\circ =0 \)

\(\text{tg}\ 270{}^\circ =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) - не существует

\(\text{ctg}\ 270{}^\circ =\dfrac{0}{-1}=0 \)

\(\sin \ 360{}^\circ =0 \)

\(\cos \ 360{}^\circ =1 \)

\(\text{tg}\ 360{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \)

\(\text{ctg}\ 360{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) - не существует

\(\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1 \)

\(\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0 \)

\(\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) - не существует

\(\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \) .

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

\(\left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg \alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!} \)

А вот значения тригонометрических функций углов в и \(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4} \) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (\(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\dfrac{\pi }{3} \) ), а также значение тангенса угла в \(30{}^\circ \) . Зная эти \(4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

\(\begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\dfrac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array} \)

\(\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) , зная это можно восстановить значения для \(\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ \) . Числитель «\(1 \) » будет соответствовать \(\text{tg}\ 45{}^\circ \ \) , а знаменатель «\(\sqrt{\text{3}} \) » соответствует \(\text{tg}\ 60{}^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \(4 \) значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \(K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \(1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \(P \) , полученной поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \(x \) точки \(P \) соответствует длина отрезка \(TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \(UK \) соответствует координате \(x \) центра окружности, то есть равна \(3 \) . Длину отрезка \(KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:

\(\cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .

Тогда имеем, что для точки \(P \) координата \(x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .

По той же логике находим значение координаты y для точки \(P \) . Таким образом,

\(y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \) , где

\({{x}_{0}},{{y}_{0}} \) - координаты центра окружности,

\(r \) - радиус окружности,

\(\delta \) - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!