А теперь вычтем из 140 число 60 . Имеем 140−60=(100+40)−60 . Так как 60 больше, чем 40 , то вычитание нужно проводить следующим образом: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .

Отнимем от 10 432 число 300 . Раскладываем уменьшаемое по разрядам и дальше применяем свойство вычитания числа из суммы трех и большего количества чисел:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300= 10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132 .

В заключении этого пункта вычислим разность 231 112−7 000 . Имеем
231 112−7 000= (200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000= 200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2 .

Все свелось к нахождению разности 30 000−7 000 . Так как 30 000=20 000+10 000 , то 30 000−7 000= (20 000+10 000)−7 000= 20 000+(10 000−7 000)= 20 000+3 000=23 000 . Воспользуемся этим результатом и закончим вычисления:
200 000+(30 000−7 000)+ 1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2= 224 112 .

Вычитание произвольных натуральных чисел.

Осталось рассмотреть вычитание натуральных чисел, когда вычитаемое раскладывается в сумму разрядных слагаемых. В этом случае вычитание проводится следующим образом: после представления вычитаемого в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа необходимое количество раз. Причем сначала удобнее вычитать единицы, затем – десятки, далее – сотни и т.д.

Для примера вычислим разность 45−32 . Раскладываем вычитаемое 32 по разрядам: 32=30+2 . Имеем 45−32=45−(30+2) . Для удобства в скобках переставим слагаемые местами 45−(30+2)=45−(2+30) (это мы можем делать в силу переместительного свойства сложения). Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45−(2+30)=(45−2)−30 . Осталось вычислить разность 45−2 , после чего от полученного результата отнять число 30 . Выполнение этих действий не вызовет затруднений, если Вы хорошо усвоили материал предыдущих пунктов. Итак, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . Тогда (45−2)−30=43−30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
45−32=45−(2+30)= (45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30= (40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Немного усложним пример. Вычтем из числа 85 число 18 . Раскладываем по разрядам число 18 , при этом получаем 18=10+8 . Меняем местами слагаемые: 10+8=8+10 . Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85 и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .

Вычисляем разность в скобках:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5= ((70+10)−8)+5= (70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77 .

Тогда (85−8)−10=77−10= (70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Отнимем от числа 23 555 число 715 . Так как 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , то 23 555−715=23 555−(5+10+700) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555−(5+(10+700))= (23 555−5)−(10+700) .

Вычислим разность в скобках:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5= 20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0= 20 000+3 000+500+50=23 550 .

Тогда (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .

Опять вычисляем разность в скобках:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10= 20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540 .

Имеем
(23 550−10)−700= 23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40 .

Вычтем из 3 000 число 700 и этот результат подставим в последнюю сумму: 3 000−700=(2 000+1 000)−700= 2 000+(1 000−700)= 2 000+300=2 300 , тогда 20 000+(3 000−700)+500+40= 20 000+2 300+500+40=22 840 .

В заключение этого пункта необходимо отметить, что для вычитания двух натуральных чисел удобно использовать специальный метод, который получил название вычитание столбиком .

Вычитание натуральных чисел на координатном луче.

Посмотрим, что представляет собой вычитание натуральных чисел с точки зрения геометрии. Для этого нам понадобится . Для удобства будем считать, что он расположен горизонтально и вправо.

Вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче можно истолковать следующим образом. Находим точку, координатной которой является уменьшаемое a . Теперь из этой точки в направлении точки O последовательно друг за другом будем откладывать единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Эти действия нас приведут в точку на координатном луче, координата которой равна разности a−b . Другими словами вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче представляет собой перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , при этом мы попадаем в точку с координатой a−b .

Приведенный ниже рисунок иллюстрирует вычитание на координатном луче из натурального числа 6 натурального числа 4 . После всех необходимых действий мы попадаем в точку с координатой 2 , и убеждаемся, что 6−4=2 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел сложением.

Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением, о которой мы уже упоминали в первом пункте этой статьи. Там мы выяснили, что если c+b=a , то a−b=c и a−c=b . Также достаточно легко показать справедливость следующих обратных утверждений: если a−b=c , то c+b=a ; если a−c=b , то b+c=a . Покажем справедливость первого из них (для второго можно провести аналогичные рассуждения).

Пусть мы из a имеющихся предметов отложили в сторону b предметов, после чего у нас осталось c предметов. Этому действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство a−b=c . Если после этого мы вернем отложенные b предметов на место (добавим их к c предметам), то понятно, что у нас окажется исходное количество предметов, то есть, a . Тогда, обратившись к смыслу сложения натуральных чисел, можно говорить о справедливости равенства c+b=a .

Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее осуществить проверку результата вычитания посредством сложения: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому . Если же получится число, не равное уменьшаемому, то это будет свидетельствовать о том, что при вычитании где-то была допущена ошибка.

Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.

Пример.

Из натурального числа 50 было вычтено натуральное число 42 1 024−11=1 024−(1+10)= (1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .

Теперь выполняем проверку результата вычитания: 1 013+11=(1 000+10+3)+(10+1)= 1 000+10+10+3+1= 1 000+20+4=1 024 . Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно.

Ответ:

1 024−11=1 023 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел вычитанием.

Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность, при этом должно получиться число, равное вычитаемому . Если же получается число, отличное от вычитаемого, то где-то была допущена ошибка.

Немного поясним озвученное правило, позволяющее осуществлять проверку результата вычитания натуральных чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим все яблоки в сторону, то у нас останется только c груш, при этом имеем a−b=c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a−c=b .

Пример.

От натурального числа 543 было отнято натуральное число 343 , в результате было получено число 200 . Выполните проверку полученного результата.

Решение.

Конечно же, проверить результат вычитания можно с помощью сложения: 200+343=543 . Так как полученное число равно уменьшаемому, то вычитание было проведено правильно.

Также можно выполнить проверку вычитания натуральных чисел с помощью вычитания. Для этого от уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543−200=(500+43)−200= (500−200)+43=30+43=343 . Это число равно вычитаемому, поэтому вычитание выполнено верно.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Если сложение связано с объединением двух множеств в одно, то вычитание связано с разъединением данного множества на два или больше множества. Пусть у нас есть некоторое множество пластиков колбасы на тарелке. Возьмем один или несколько пластиков из этого множества и уберем в сторону, а лучше скушаем. Мы убрали, то есть отняли у начального множества пластиков колбасы несколько пластиков, при этом результат на тарелке изменился в меньшую сторону. В этом и заключается смысл вычитания.

Схематически вычитание двух натуральных чисел выглядит следующим образом:

уменьшаемое − вычитаемое = разность.

Для обозначения вычитания на письме используют знак «−» минус.

Сначала записывают уменьшаемое, после этого – знак минус, потом – вычитаемое. Например, запись 9 − 5 означает, что из 9 вычитается 5.

Уменьшаемое – это число, из которого вычитают. В нашем примере это число "9"

Вычитаемое – это число, которое вычитают из уменьшаемого. В нашем примере это число "5"

Разность – это число, которое является результатом вычитания.

Фразы «найти разность» , «вычислить разность» , «вычесть из натурального числа 86 число 9» понимается так: требуется определить число, которое является результатом вычитания данных натуральных чисел.

СВОЙСТВА ВЫЧИТАНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Свойство 1.

Разность двух равных натуральных чисел равна нулю.

a − a = 0, где a – любое натуральное число.

Свойство 2.

Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.

Если a и b неравные натуральные числа, то a − b ≠ b − a

45 − 20 ≠ 20 − 45.

Свойство 3. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое.

a − (b + c) = (a − b) − c, где a, b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a > b + c или a = b+c.

10 - (2+1) = (10 - 2) - 1 = 7

Свойство 4. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое. Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.

В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Ясно, что добавить и отнять - это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание - это взаимопротивоположные действия.

Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 - это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание - это нахождение неизвестного числа разложения.

Еще раз рассмотрим пример. Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

Если из числа нужно вычесть число :

Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Или еще вот такое рассуждение: вычесть - значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.

Но пока договоренность следующая: из числа вычитаем число , только если не меньше, чем . Результатом будет новое число .

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 - это и есть разница между ними.

Таким образом, с одной стороны разность - это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны - это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа и .

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков - неизвестное количество.

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого - это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.

В классе 11 мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.

Синим цветом выделены известные и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого - это и есть вычитание.

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач - задачи на сравнение.

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

Петя взял 4, Маша - 3, всего они взяли яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму - это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

Понятие вычитания лучше всего рассмотреть на примере. Вы решили попить чай с конфетами. В вазе лежало 10 конфет. Вы съели 3 конфеты. Сколько конфет осталось в вазе? Если мы от 10 вычтем 3 то, в вазе останется 7 конфет. Запишем задачу математически:

Подробно разберем запись:
10 – это число от которого мы отнимаем или которое уменьшаем, поэтому его называют уменьшаемым .
3 – это число, которое мы вычитаем. Поэтому его называют вычитаемым .
7 – это число результат вычитания или еще его называют разностью . Разность показывает на сколько первое число (10) больше второго числа (3) или насколько второе число (3) меньше первого числа (10).

Если вы сомневаетесь правильно ли нашли разность, нужно сделать проверку . К разности прибавить второе число: 7+3=10

При вычитании л уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.

Делаем вывод из сказанного. Вычитание – это действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находится второе слагаемое.

В буквенном виде это выражение будет выглядеть так:

a — b = c

a – уменьшаемое,
b – вычитаемое,
c – разность.

Свойства вычитания суммы из числа.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Пример можно решить двумя способами. Первый способ, найти сумму чисел (3+4), а потом вычесть от общего числа (13). Второй способ, от общего числа (13) вычесть первое слагаемое(3), а потом из полученной разности отнять второе слагаемое(4).

В буквенном виде свойство вычитания суммы из числа будет выглядеть так:
a — (b + c) = a — b — c

Свойство вычитания числа из суммы.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Чтобы вычесть из суммы число, можно это число вычесть из одного слагаемого, а потом к полученному результату разности прибавить второе слагаемое. При условии слагаемое будет больше вычитаемого числа.

В буквенном виде свойство вычитания числа из суммы будет выглядеть так:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a + b) — c= a + (b — с) , при условии b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) — c=(a — c) + b , при условии a > c

Свойство вычитания с нулем.

10 — 0 = 10
a — 0 = a

Если из числа вычесть нуль то, будет тоже самое число.

10 — 10 = 0
a — a = 0

Если из числа вычесть тоже самое число то, будет нуль.

Вопросы по теме:
В примере 35 — 22 = 13 назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность.
Ответ: 35 – уменьшаемое, 22 – вычитаемое, 13 – разность.

Если числа одинаковые, чему равна их разность?
Ответ: нуль.

Сделайте проверку вычитания 24 — 16 = 8?
Ответ: 16 + 8 = 24

Таблица вычитания натуральных чисел от 1 до 10.

Примеры на задачи по теме «Вычитание натуральных чисел».
Пример №1:
Вставьте пропущенное число: а)20 — … = 20 б) 14 — … + 5 = 14
Ответ: а) 0 б) 5

Пример №2:
Можно ли выполнить вычитание: а) 0 — 3 б) 56 — 12 в) 3 — 0 г) 576 — 576 д) 8732 — 8734
Ответ: а) нет б) 56 — 12 = 44 в) 3 — 0 = 3 г) 576 — 576 = 0 д) нет

Пример №3:
Прочитайте выражение: 20 — 8
Ответ: “От двадцати отнять восемь” или “из двадцати вычесть восемь”. Правильно произносить слова