Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом:
1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);
2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;
3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;
4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.
Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений.
Выразим х через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х во 2-ое уравнение системы.
Мы получили уравнение: 3· (7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у . Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный .
Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной . у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у в выражение х=7+у и находим х . Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы.
Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр.
Конспект урока алгебры в 9 классе
Тема урока: Определение арифметической и геометрической прогрессии.
Формула n-ого члена арифметической и геометрической
прогрессии.
Тип урока : урок изучения нового материала
Цель урока:
Формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии, как видов числовых последовательностей; вывод формулы n-ого члена арифметической и геометрической последовательности.
Знакомство с характеристическим свойством членов арифметической и геометрической прогрессии.
Формирование умений учащихся использовать полученные знания при решении задач.
Задачи
урока:
Образовательные: ввести понятия арифметической и геометрической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметической и геометрической прогрессий.
Развивающие: повышать сознательное усвоение материала посредством противопоставления; вырабатывать умение сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, видеть закономерности, проводить рассуждения по аналогии, развивать память и логическое мышление.
Воспитательные: создать условия для развития познавательного интереса к предмету .
План урока:
1. Организация начала урока, постановка целей и задач урока.
2. Мотивация к изучению темы («Легенда о шахматной доске»)
3. Изучение нового материала
4. Первичное закрепление
5. Подведение итогов урока
6. Домашнее задание
Ход урока
1. Организация начала урока.
Назвать тему урока, цель урока, поставленные задачи.
2. Мотивация к изучению темы.
«Легенда о шахматной доске».
Шахматы -одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и не удивительно, что с нею связаны предания, правдивость которых за давностью времени невозможно проверить. Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы - достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель - его звали Сета - явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,- сказал царь.
Мудрец поклонился.
Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,- продолжал царь.- Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
Не робей,- ободрил его царь.- Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!
Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
Простое пшеничное зерно? - изумился царь.
Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью - четыре, за четвертую - 8, за пятую- 16, за шестую - 32...
Довольно! - с раздражением прервал его царь.- Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай! Слуги мои вынесут тебе мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
Повелитель,- был ответ,- приказание твое, исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился - он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь Шерам еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
Повелитель,- ответили ему,- математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
Почему медлят с этим делом?! - гневно воскликнул царь.- Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю!
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
Прежде чем скажешь о твоем деле,- объявил Шерам.- я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний" час,- ответил старик.- Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...
Как бы велико оно ни было,- надменно перебил царь,- житницы мои не оскудеют! Награда обещана и должна быть выдана...
Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыри. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам старца.
Назови же мне это чудовищное число,-сказал он в раздумье.
Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель! (18 446 744 073 709 551 615)
Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом.
Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в
12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, то есть вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!
Конечно, индийский царь не в состоянии был выдать подобной награды.
3. Изложение нового материала.
Раздать каждому учащемуся листы, на которых изложен теоретический материал в виде таблицы, показывающей различия в определениях арифметической и геометрической прогрессий, их характеристических свойств, формулах нахождения n-ого члена, формулах для нахождения суммы n-первых членов и для геометрической прогрессии дана формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Арифметическая прогрессия (а/п) | Геометрическая прогрессия (г/п) |
Опр. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Например: -6; -4; -2; 0; 2; 4;… 6; = -4; = -2; =0; = 2… | Опр. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Например: 5; 15; 45; 135, … 5; =15; =45; =135; … |
d = 2 – разность а/п d = - ; d = - | q = 3 – знаменатель г/п q = ; Q = |
Формула n-ого члена а/п D = + 2 d ; D = + 3 d ; = + 4 d ; | Формула n-ого члена г/п Q = ; Q = ; |
Формула среднего члена а/п |
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретические сведения
Теоретические сведения
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
Определение |
Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий) |
Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии) |
Рекуррентная формула |
Для любого натурального n
|
Для любого натурального n
|
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристическое свойство |  |
|
| Сумма n-первых членов |  |
 |
Примеры заданий с комментариями
Задание 1
В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d
По условию:
a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .
Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 2
Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....
1-й способ (с помощью формулы n -члена)
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .
Так как b 1 = -3,
2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)
Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Ответ : b 5 = -48.
Задание 3
В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.
Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид 
.
Из этого следует:
.
Подставим данные в формулу:
Ответ : 95.
Задание 4
В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.
Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:
.
Какую из них в данном случае удобнее применять?
По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.
Ответ : 368.
Задание 5
В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .
По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 6
Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.
Подставив найденные значения в формулу, получим:
.
Ответ : .
Задание 7
Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:
Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:
.
Ответ : 4.
Задание 8
В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.
Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии
Класс : 9
Система подготовки : материал для подготовки изучения темы по алгебре и подготовительный этап для сдачи экзамена ОГЭ
Цель : формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии
Задачи : научить различать виды прогрессии, научить правильно, использовать формулы
Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)
в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.
Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии
Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.
Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей
В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства
Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.
2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.
3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы
4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера. Для этого используйте формулу
Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам
Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых .
Решение:
Запишем формулу сотого элемента прогрессии
и найдем первый
На основе первого находим 50 член прогрессии
Находим сумму части прогрессии
и сумму первых 100
Сумма прогрессии равна 250. Найти число членов арифметической прогрессии, если:
а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.
Решение:
Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их
Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме
Выполняем упрощения
и решаем квадратное уравнение
Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.
Решить уравнение
1+3+5+...+х=307.
Решение:
Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии
Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых
Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение
Выбираем более логичное из двух значений. Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.
Примеры решения задач: Арифметическая прогрессия
Задача1
Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?
Решение
По условию задачи понятно,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть
а1=х, Sn=288, n=16
Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200мм рт. ст.
288=(2х+2*15)*16/2
Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2
288-143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней
145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.
121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака
Ответ:124 коробки
Задача2
После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.
Решение
Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня, нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.
Мы имеем геометрическую прогрессию,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст.
Ответ:200 мм.рт.ст.
Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.
Решение:
Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23,...,, если ее -ый член равен 239.
Решение:
Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15,...,, если ее сумма равна 306 .
Решение:
Найдите х, при котором числа х-1, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию
Решение:
Найдем разность 1 и 2 членов прогрессии:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Найдем разность 2 и 3 членов прогрессии:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
Т.к. разность одинакова, то и члены прогрессии можно приравнять:
При проверке в обоих случаях получается арифметическая прогрессия
Ответ: при х=-1 и х=4
Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом a3=5; a7=13. Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, значит d=2
Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии
Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Ответ: а1=1; S10=100
В арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите пятый и одиннадцатый члены .
Итак, мы знаем, что a1 = -3,4; d = 3. Найти: a5, a11-.
Решение. Для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой: an = a1+ (n – 1)d. Имеем:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6.
Как видим, в данном случае, решение не сложное.
Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 74, а разность равна -4. Найдите тридцать четвертый член данной прогрессии.
Нам сказано, что a12 = 74; d = -4, а найти надо a34-.
В данной задаче сразу применить формулу an = a1 + (n – 1)d не представляется возможным, т.к. не известен первый член a1. Такая задача может быть решена в несколько действий.
1. С помощью члена a12 и формулы n-ого члена находим a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, теперь упростим и подставм d: a12 = a1 + 11 · (-4). Из этого уравнения находим a1: a1 = a12 – (-44);
Двенадцатый член нам известен из условия задачи, поэтому без проблем вычисляем a1
a1 = 74 + 44 = 118. Переходим ко второму действию – вычислению a34.
2. Опять же по формуле an = a1 + (n – 1)d, так как уже известно a1, будем определять a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Ответ: тридцать четвертый член арифметической прогрессии равен -14.
Как видно, решение второго примера более сложное. Два раза используется одна и та же формула для получения ответа. Но все так сложно. Решение можно сократить, если использовать дополнительные формулы.
Как уже отмечалось, если в задаче известно a1, то формулу для определения n-ого члена арифметической прогрессии применять очень удобно. Но, если в условии задан не первый член, то на помощь может прийти формула, которая связывает между собой нужный нам n-ый член и заданный в задаче член ak.
an = ak + (n – k)d.
Решим второй пример, но уже с использованием новой формулы.
Дано: a12 = 74; d = -4. Найти: a34-.
Используем формулу an = ak + (n – k)d. В нашем случае будет:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
Ответ в задаче получен значительно быстрей, потому что не пришлось выполнять дополнительных действий и искать первый член прогрессии.
С помощью приведенных выше формул можно решать задачи по вычислению разности арифметической прогрессии. Так, применяя формулу an = a1 + (n – 1)d можно выразить d:
d = (an – a1) / (n – 1). Однако задачи с заданным первым членом встречаются не так часто, и решать их можно применяя нашу формулу an = ak + (n – k)d, из которой видно, что d = (an – ak) / (n – k). Давайте рассмотрим такую задачу.
Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a3 = 36; a8 = 106.
Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Не будь в арсенале этой формулы, решение задачи заняло бы гораздо больше времени, т.к. пришлось бы решать систему двух уравнений.
Геометрические прогрессии
1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) .
2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле .
3. Формула "среднего геометрического": если , , - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или 
.
