Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений - аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными - основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы. Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы. Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия. Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода. Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии. Правда, позже в Александрии вышел сборник "Начало", автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в "Элементарную геометрию". Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

  • все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
  • геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
  • аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

  • непротиворечивости;
  • полноты;
  • независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным. Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом. Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации - обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам. Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась. Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

  • естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
  • появились неразрешимые формулы;
  • утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

  • логические выводы;
  • термины и определения;
  • частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом. Сегодня аксиома - это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности. Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод - это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы - изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

  • аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
  • теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
  • бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

Одной из характерных особенностей современной науки является все возрастающее применение в научном познании различных методов теоретического исследования. Одним из таких методов, имеющих существенное значение в познавательной деятельности ученых, является формализация.

Формализация (от лат. /огтп1и - относящееся к форме) - метод, с помощью которого мы отвлекаемся от конкретного содержания рассматриваемых явлений и объединяем их на основе сходства формы. При этом предметом дальнейшего исследования становится уже не содержание, а именно форма, выраженная с помощью знаково-символических систем (знаковых моделей), главным образом логико-математических.

Например: S есть Р; некоторые S не есть Р; с = а +в; ~~ Д = 180.

Первые попытки формализации знаний появляются с возникновением математики и формальной логики. Современный этап в развитии формализации связан с применением идей и методов математической логики в различных областях знания. Такое применение позволяет представить эти области знания в виде формальных систем, где вместо естественного языка используется язык символов.

Выразить ту или иную теорию в виде формальной системы можно только на основе глубокого анализа содержания этой теории. Только содержательный анализ позволяет применить к данной области знания те или иные логические формализации.

Было бы неверно думать, что формализация связана только с математикой, математической логикой и кибернетикой. Она пронизывает все формы практической и теоретической деятельности человека, отличаясь лишь характером и уровнем.

Исторически формализация возникла вместе с возникновением труда, мышления и языка. Определенные приемы трудовой деятельности, умения, способы осуществления трудовых операций мысленно выделялись, обобщались, фиксировались и передавались от поколения к поколению. Обычный, естественный язык выражает самый слабый уровень формализации. Крайним полюсом формализации является искусственный язык математики и математической логики с помощью которого, отвлекаясь от содержания, изучают форму рассуждений. Следует заметить, что элементы формализации применяются практически во всех областях познания: любой чертеж, график, схема, диаграмма, формула есть результат формализации некоторых явлений реальной действительности.

Главное в процессе формализации состоит в том, что над формулами искусственных языков можно производить операции, получать из них новые формулы и соотношения. Тем самым операции с мыслями о предметах заменяются действиями со знаками и символами. Формализация в этом смысле представляет собой логический метод уточнения содержания мысли посредством уточнения ее логической формы. Но она не имеет ничего общего с абсолютизацией логической формы по отношению к содержанию.

Таким образом, процесс формализации рассуждений, мыслей стоит в следующем:

Происходит мысленное отвлечение от качественных характеристик изучаемых предметов;

Выявляется логическая форма суждений, в которых зафиксированы схожие утверждения относительно этих предметов;

Само рассуждение из плоскости рассмотрения связи предметов в мысли переводится в плоскость действий с суждениями на основе схожих между ними формальных отношений. Затем логические формы выражаются с помощью той или иной символики.

Символические языки математики, логики, химии и других точных наук преследуют не только цель сокращения записи - это можно сделать и с помощью стенографии. Язык формул искусственного языка становится инструментом познания. Он играет такую же роль в теоретическом познании, как микроскоп и телескоп в эмпирическом исследовании. Именно использование специальной символики позволяет устранить многозначность слов обычного языка. В формализованных рассуждениях каждый символ строго однозначен. В свою очередь, символы позволяют кратко и экономно записывать выражения, которые в обычных языках оказываются громоздкими и потому труднопонимаемыми. Применение символики облегчает выведение логических следствий из данных посылок, проверку истинности гипотез, обоснование суждений науки и т. д. Методы формализации совершенно необходимы при разработке таких научно-технических проблем и направлений, как компьютерный перевод, проблематика теории информации, создание различного рода автоматических устройств для управления производственными процессами и трудовыми коллективами.

Формализация приобретает особую роль при анализе доказательства. Осуществление доказательства с помощью формул придает ему необходимую строгость и точность.

Имея огромное значение в научном исследовании, формализация внутренне ограничена в своих возможностях. Доказано, что не существует всеобщего метода, позволяющего любое рассуждение заменить вычислением. С помощью формализации текущий фрагмент бытия берется односторонне, лишь в относительно устойчивом состоянии. Любой самый богатый по своим возможностям искусственный язык (знаковая модель) не способен отобразить противоречивую и глубокую сущность явлений реальной действительности и быть во всех отношениях адекватным заменителем естественного языка. В этой связи Л. де Бройль вполне обоснованно подчеркивал: "Лишь обычный язык, поскольку он более гибок, более богат оттенками и более емок, при всей своей относительной неточности по сравнению со строгим символическим языком позволяет формулировать истинно новые идеи и оправдывать их введение путем наводящих соображений или аналогий. Итак, даже в наиболее точных, наиболее разработанных областях науки применение обычного языка остается наиболее ценным из вспомогательных средств выражения мысли" .

Из сказанного следует, что формализация есть обобщение форм различных по содержанию процессов, абстрагирование этих форм от их содержания. Она уточняет содержание путем выявления его формы и может осуществляться с разной степенью полноты.

Помимо формализации характерной чертой современной науки является оперирование идеализированными объектами, которые формируются с помощью идеализации.

Идеализация (от фр. ideal - совершенство) - это метод научного исследования, с помощью которого мысленно конструируются понятия о несуществующих объектах, но имеющих прообразы в реальном мире. Этот метод часто рассматривают как специфический вид абстрагирования, тесно связанный с методом моделирования.

Сущность рассматриваемого метода состоит в том, что в процессе идеализации происходит предельное отвлечение от всех реальных свойств предмета с одновременным введением в содержание образуемых понятий несуществующих признаков. В результате этого процесса образуется так называемый идеализированный объект, которым оперирует теоретическое мышление при изучении реальных объектов.

В результате процесса идеализации образуется теоретическая модель, в которой характеристики и стороны познаваемого объекта не только отвлечены от фактического эмпирического материала, но путем мысленного конструирования выступают в более полно выраженном виде, чем в самой действительности. К таким понятиям можно отнести идеальные объекты, например, точку, прямую линию, абсолютно черное тело, идеальный газ, абсолютно твердое тело. В реальном мире невозможно найти объект, представляющий собой точку, т. е. такой, который не имел бы измерений: ширины, высоты, длины. Создавая такой идеальный объект как абсолютно твердое тело, мы абстрагируемся от способности реальных тел деформироваться под воздействием внешних сил. Говоря об абсолютно черном теле, мы абстрагируемся от того факта, что все реальные тела в той или иной степени способны отражать падающий на них свет. Образовав с помощью идеализации подобные идеальные объекты, теоретические конструкты, в дальнейшем с ними можно оперировать как с реально существующей вещью и строить абстрактные схемы, теории реальных процессов, которые служат для более глубокого их понимания.

При построении той или иной теории очень важным является умение определить правильный аспект идеализации исследуемого объекта. Если, например, в квантовой теории можно пренебречь структурой элементарных частиц и рассматривать их как математические точки, то в теории элементарных частиц такая идеализация (точечная модель взаимодействий) уже не может играть существенной эвристической роли. Причем теоретические утверждения, как правило, непосредственно относятся не к реальным объектам, а к идеализированным, познавательная деятельность с которыми позволяет устанавливать существенные связи и закономерности, недоступные при изучении реальных объектов, взятых во всем многообразии их эмпирических свойств и отношений. Идеализированные объекты - результат различных мыслительных экспериментов, направленных на реализацию некоторого не реализуемого в действительности случая. В развитых научных теориях обычно рассматриваются не отдельные идеализированные объекты и их свойства, а целостные системы идеализированных объектов и их структур.

Идеализация как метод познания играет важную роль в научном исследовании. Это выражается в том, что, во-первых, полученные в результате сложной мыслительной деятельности идеальные объекты позволяют значительно упростить сложные системы, благодаря чему возникает возможность применить к ним математические методы исследования, производить вычисления с любой наперед заданной точностью. С помощью идеализации исключаются те свойства и отношения объектов, которые затемняют сущность изучаемого процесса. Сложный процесс представляется как бы в чистом виде, что значительно облегчает обнаружение существенных связей и отношений, формулирование законов.

Во-вторых, использование идеальных объектов позволяет переходить от эмпирических законов к их строгой формулировке на языке математики, значительно облегчает дедуктивное построение целых областей знания. Более того - наука знает немало примеров, когда использование идеальных объектов приводило к выдающимся открытиям, например, мысленный эксперимент Галилея привел к открытию принципа инерции. Указывая на важную роль идеализации в научном исследовании, А. Эйнштейн и Л. Инфельд отмечали, что "закон инерции нельзя вывести непосредственно из эксперимента, его можно вывести лишь умозрительно - мышлением, связанным с наблюдением. Этот идеализированный эксперимент никогда нельзя выполнить в действитель. ности, хотя он ведет к глубокому пониманию действительных экспериментов" .

Таким образом, идеализированные объекты не являются чистыми фикциями, не имеющими отношения к реальной действительности, представляют собой результат весьма сложного и опосредованного ее отражения. Идеальный объект представляет в познании реальньные предметы, но не по всем, а лишь по некоторым жестко фиксированным признакам. Он представляет собой упрощенный и схематизированный образ реального предмета, что и позволяет познавать его более глубоко и эффективно.

Аксиоматический метод (аксиома от греч. axi orna - удостоенное принятое положение) - это метод построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств. Построение теории на основе аксиоматического метод; обычно называют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории вводятся посредством определений, на основе ранее введенных понятий В той или иной степени дедуктивные доказательства, характерны для аксиоматического метода, применяются во многих науках, однако главная область применения этого метода - математика, логика и некоторые разделы физики.

В развитии аксиоматического метода выделяют три этапа и соответственно три его уровня: содержательный, формальный, формализованный. Исторически первым этапом была содержательная аксиоматика, примененная в силлогистике Аристотеля и "Началах" Евклида.

Переход от содержательного рассмотрения аксиоматических теорий к формальной аксиоматике происходит во второй половине XIX - начале ХХ в. Если при содержательной аксиоматике аксиомы и выводимые из них положения относятся к определенной предметной области (области изучаемых объектов) и могут расцениваться как истинные или ложные, то при формальной аксиоматике уже абстрагируются от предметной области и от конкретного содержания терминов. Если в первый период употреблялись очевидные и интуитивно ясные понятия, то в формальной аксиоматике возникло требование строго определить правила получения терминов, употребляемых в данной научной системе, и перечислить все ее исходные положения (аксиомы). Полученная таким образом формальная теория описывала не какую-то конкретную предметную область, а являлась теорией любой системы объектов, удовлетворяющей требованиям этой теории .

Третий период в развитии аксиоматического метода начинается с первой половины ХХ в. и продолжается до настоящего времени. Это формализованная аксиоматика, с помощью которой исследуемая теория превращается в формальное исчисление. Аксиоматически построенными системами являются также теория электромагнитного поля Д. Максвелла, теория относительности А. Эйнштейна.

Для теорий, построенных с помощью аксиоматического метода, характерны строгая символизация и формализация. Для построения формализованного искусственного языка подобных теорий в качестве логического языка применяется определенный раздел математической логики, а в качестве аксиоматического исчисления- выраженная в символах та или иная научная дисциплина. В результате научные теории выступают в формализованном виде, а обоснование аксиоматического метода смыкается с учением о формальных системах, развиваемым в математической логике и в математике.

Аксиоматический метод - один из методов дедуктивного построения научных теорий, в процессе реализации которого:

Формулируется система основных терминов науки, например, в геометрии Евклида - это понятия точки, прямой, угла, плоскости и др.;

Из этих терминов образуется некоторое множество аксиом (постулатов) - положений, не требующих доказательств и являющихся исходными, из которых выводятся все другие утверждения данной теории по определенным правилам дедукции, например, в геометрии Евклида: "через две точки можно провести только одну прямую", "целое больше части";

Формулируется система правил вывода, позволяющая преобразовывать исходные положения и переходить от одних положений к другим, а также вводить новые термины (понятия) в теорию;

Осуществляется преобразование постулатов по правилам, дающим возможность из ограниченного числа аксиом получать множество доказуемых положений-теорем.

Таким образом, для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные дедуктивные правила вывода. Все понятия теории, кроме первоначальных, вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные понятия. Следовательно, доказательством в аксиоматическом методе является некоторая последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул по правилам вывода.

К аксиоматически построенной системе знаний предъявляются следующие требования:

Непротиворечивость аксиом (согласно закону логики о непротиворечивости суждений), т. е. в системе аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо предложение и его отрицание.

Полнота, т. е. из аксиом должно быть выводимо или предложение, или его отрицание;

Независимость аксиом, т. е. любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом, иначе она переводится в раздел теорем.

Большой интерес представляет вопрос об истинности аксиоматических теорий. Необходимым условием их истинности является внутренняя непротиворечивость. Однако она свидетельствует с достоверностью лишь о том, что теория построена правильно. Поэтому аксиоматическая теория может быть признана действительно истинной и такой, которая может верно отображать реальную действительность лишь в том случае, когда истинны как ее аксиома, так и правила, по которым получены все остальные утверждения теории.

Изложенное позволяет сделать вывод: основное достоинство аксиоматического метода состоит в том, что аксиоматизация упорядочивает знание, исключает из него ненужные элементы, облегчает процесс построения всей системы знания, устраняет двусмысленность и противоречивость. Иначе говоря, аксиоматический метод всесторонне рационализирует организацию научного знания.

Высоко оценивая аксиоматический метод, необходимо подчеркнуть, что сфера его применимости хотя и возрастает в настоящее время, однако остается пока относительно ограниченной, В нематематических науках этот метод играет вспомогательную роль, и процесс его применении здесь существенно зависит от уровня математизации соответствующей области знания; Отмечая ограниченность этого метода, Л. де Бройль обращал внимание на то, что "аксиоматический метод может быть хорошим методом классификации или преподавания, но он не является методом открытия" .

Тем не менее, аксиоматический метод является важным средством организации современного научного знания. Сейчас аксиоматизация применяется во многих областях математики (в геометрии, теории чисел, теории множеств, теории вероятностей и т. д.), в математической логике, ряде областей физики и биологии. Вопрос об аксиоматизации возникает уже в определенных разделах лингвистики, медицины, социологии и в других науках.

Сущность гипотетико-дедуктивного метода заключается в создании системы дедуктивно связанных между собой гипотез, из которых в конечном счете выводятся утверждения об эмпирических фактах, истинное значение которых неизвестно. Поскольку в дедуктивном рассуждении значение истинности переносится на заключение, а посылками служат гипотезы, то и заключение гипотетико-дедуктивного метода имеет лишь вероятностный характер. Такой характер зак- лючения связан еще и с тем, что в формировании гипотез участвуют и догадка, и интуиция, и воображение, и индуктивное обобщение, не говоря уже об опыте, квалификации и таланте ученого. А все эти факторы почти не поддаются строгому логическому анализу.

Следовательно, исходными понятиями гипотетико-дедуктивного метода являются: во-первых, гипотеза - предположение о существовании некоторых явлений или процессов, истинность такого допущения неопределенна, оно проблематично; во-вторых, дедукция (выведение) - переход в процессе исследования от общего к частному (единичному), выведение последнего из первого, то есть переход по определенным правилам логики от предположений (посылок) к их следствиям (заключениям). Поэтому с логической точки зрения гипотетико-дедуктивный метод представляет собой иерархию гипотез, степень абстрактности и общности которых увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса. На самом верху располагаются гипотезы, имеющие наиболее общий характер и поэтому обладающие наибольшей логической силой. Из них, как посылок, выводятся гипотезы более низкого уровня. На самом низком уровне - гипотезы, которые можно сопоставить с эмпирической действительностью.

Общая структура гипотетико-дедуктивного метода как способа научного исследования выражается в следующем:

Ознакомление с фактическим материалом, добытым на эмпирическом уровне, с целью теоретического объяснения с помощью уже существующих теорий и законов;

Выдвижение догадки (предположения) о причинах и закономерностях данных явлений с помощью различных логических приемов, и прежде всего - абстрагирования;

Оценка серьезности предположений и отбор из множества догадок наиболее вероятной. При этом гипотеза проверяется на логическую непротиворечивость и совместимость с фундаментальными теоретическими принципами данной науки, например, с законом сохранения и превращения энергии;

Выделение из гипотезы (обычно дедуктивным путем) следствий с уточнением ее содержания;

Экспериментальная проверка выведенных из гипотезы следствий. Тут гипотеза или получает экспериментальное подтверждение, или опровергается. Однако подтверждение не гарантирует ее истинности в целом (или ложности). Лучшая по результатам проверки гипотеза переходит в теорию, как это было, например, с периодическим законом Д. Менделеева.

Теория, создаваемая гипотетико-дедуктивным методом, может шаг за шагом пополняться гипотезами, но до определенных пределов, пока не возникают затруднения в ее дальнейшем развитии. В такие периоды становится необходимой перестройка самого ядра теоретической конструкции, выдвижение новой гипотетико-дедуктивной системы, которая смогла бы объяснить изучаемые факты без введения дополнительных гипотез и, кроме того, предсказать новые факты. Чаще всего в такие периоды выдвигается не одна, а сразу несколько конкурирующих гипотетико-дедуктивных систем. Например, в период перестройки электродинамики Лоренца конкурировали системы самого Лоренца, Эйнштейна и близкая к последней гипотеза Пуанкаре, в период построения квантовой механики- волновая механика Бройля - Шредингера и матричная волновая механика Гейзенберга.

Каждая гипотетико-дедуктивная система реализует особую программу исследования, суть которой выражает гипотеза верхнего яруса. Поэтому конкуренция гипотетико-дедуктивных систем выступает как борьба различных исследовательских программ. Например, постулаты Лоренца формулировали программу построения теории электромагнитных процессов на основе представлений о взаимодействии электронов и электромагнитных полей в абсолютном пространстве - времени. Ядро гипотетико-дедуктивной системы, предложенной Эйнштейном для описания тех же процессов, содержало программу, связанную с релятивистскими представлениями о про- странстве - времени.

В борьбе конкурирующих исследовательских программ побеждает та, которая наилучшим образом вбирает в себя опытные данные и дает предсказания, являющиеся неожиданными с позиций других программ.

Разновидностью гипотетико-дедуктивного метода можно считать математическую гипотезу, которая используется как важнейшее эвристическое средство для открытия закономерностей в естествознании. Обычно гипотезами здесь являются уравнения, представляющие собой модификацию ранее известных и проверенных соотношений. Изменяя эти соотношения, на их основе составляют новое уравнение, выражающее гипотезу, которая относится к исследуемым явлениям.

Таким образом, гипотетико-дедуктивный метод является не столько методом открытия, сколько методом построения и обоснования научного знания, поскольку показывает, каким именно путем можно прийти к новой гипотезе, а затем и к новой теории. В то же время он является необходимым элементом метода восхождения от абстрактного к конкретному.

Восхождение от абстрактного к конкретному - это метод научного исследования, выражающий движение теоретической мысли ко все более полному, всестороннему и целостному воспроизведению предмета в мысли. Он характеризует направленность научно - исследовательского процесса в целом, т. е. движение мысли от менее содержательного к более содержательному знанию. Применяя данный метод, исследователь вначале находит главную связь (отношение) изучаемого объекта, а затем, шаг за шагом прослеживая, как она видоизменяется в различных условиях, открывает новые связи, устанавливает их взаимодействия и таким путем отображает во всей полноте сущность изучаемого объекта.

Рассмотрим термины "абстрактное" и "конкретное". Абстрактное (от лат. abstractio - удаление, отвлечение) это результат процесса абстрагирования, который заключается в мысленном отвлечении от ряда свойств, связей, отношений изучаемого объекта и в мысленном выделении тех свойств и отношений, которые необходимы исследователю при изучении объекта на данном этапе. Конкретное (от лат. concretus - сросшийся) употребляется для выражения самих предметов и явлений реальной действительности, взятых во всей сложности и многогранности их свойств, связей и отношений. Термин "конкретное" употребляется также для обозначения всестороннего, систематического знания о конкретном предмете (объекте). Конкретное знание выступает как противоположность абстрактного знания, т. е. знания, одностороннего по содержанию.

В чем же сущность метода восхождения от абстрактного к конкретному? Данный метод представляет собой всеобщую форму движения научного знания, закон отображения реальной действительности в мышлении исследователя. Согласно этому методу процесс познания как бы разбивается на два относительно самостоятельных этапа.

На первом этапе осуществляется переход от чувственно-конкретного, от конкретного в реальной действительности к его абстрактным определениям. Единый объект расчленяется, описывается с помощью множества понятий, суждений и определений. Он как бы "испаряется", превращаясь в совокупность зафиксированных мышлением абстракций, односторонних определений.

Второй этап процесса познания и является восхождение от абстрактного к конкретному. Суть его состоит в движении мысли от абстрактных определений объекта, т. е. от абстрактного в познании, к всестороннему, многогранному знанию об объекте, к конкретному в познании. На этом этапе как бы восстанавливается исходная целостность объекта, он воспроизводится во всей своей многогранности - но уже в мышлении.

Рассматриваемые этапы научного исследования тесно взаимосвязаны. Восхождение от абстрактного к конкретному невозможно без предварительного "анатомирования" объекта мыслью, без восхождения от конкретного в реальной действительности к абстрактным его определениям. При этом собственно процесс формирования абстракций не является нечто абсолютно самостоятельное. Он осуществляется и продолжается при развертывании знаний об объекте в систему, т. е. в процесс собственно восхождения от абстрактного к конкретному. В то же время сведение конкретного объекта к совокупности абстракций не производится без осознанной цели познания, общей идеи исследования, без представления о том, к чему стремится, восходит мышление. В противном случае будут получены ненужные, ничему не служащие абстракции.

Таким образом, рассматриваемый метод представляет собой закон научного исследования, согласно которому мышление восходит от конкретного в реальной действительности к абстрактному в мышлении и от него - к конкретному в мышлении. Но почему же этот метод называется методом восхождения от абстрактного к конкретному? Нет ли здесь ошибки по существу или хотя бы термино- логической неточности? Дело в том, что процесс теоретического мышления в познании - это движение от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному, которые выступают как процессы разной "весомости". Форма движения мысли, которую мы называем восхождением от абстрактного к конкретному, является определяющей, доминирующей по отношению к восхождению от конкретного к абстрактному. Задачи получения абстракций, односторонних определений подчинены общей задаче восхождения к конкретному. Получение конкретного знания - это цель, которая как закон определяет способ действия исследователя. В этом плане абстрактное предстает лишь как средство достижения поставленной цели. Восхождение от конкретного к абстрактному обретает смысл лишь в данной своей включенности в общее движение мысли к конкретному. Именно потому рассматриваемый метод и называется именно восхождением от абстрактного к конкретному. Разумеется, все изложенное отнюдь не означает, что восхождение от конкретного к абстрактному может недооцениваться. Без этого этапа познания невозможно постижение объекта во всей его конкретности, но тем не менее на данном этапе познания достигаются лишь его промежуточные цели.

Метод восхождения от абстрактного к конкретному впервые в общей форме был рассмотрен Г. Гегелем. Он первый усмотрел в восхождении от абстрактного к конкретному проявление действия закона, управляющего всем историческим процессом развития знания; однако рассматривал этот закон с позиций идеализма.

Таким образом, можно сделать вывод, что метод восхождения от абстрактного к конкретному широко применяется в процессе развития познания и знания, при построении различных научных теорий и концепций, поэтому должен активно использоваться как в общественных, так и в естественных науках, во всех формах и видах научно-исследовательской деятельности.

Аксиоматический метод представляет собой один из довольно распространенных способов организации научного знания. Особенно широко применяется он в математике и математизированных науках.

Под аксиоматическим методом понимается такой метод, когда ряд утверждений принимается без доказательства, а все остальные знания выводятся из них по определенным логическим правилам. Принимаемые без доказательства положения называются аксиомами, а выводное знание фиксируется в виде теории, законов и т.д.

Аксиома (греч. axioma -- отправное, исходное положение) - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной утвержденности, исходное положение теории .

Аксиоматический метод широко применялся еще в глубокой древности. Элементы аксиоматики встречались в трудах Платона, Аристотеля, Гиппократа. По мере развития науки этот метод проник в самые разные области знания. Примерами аксиоматически построенных систем знания могут служить и теория электромагнитного поля Д.К. Максвелла, и эйнштейновская теория относительности, и целый ряд других научных теорий.

К аксиоматически построенной системе знания предъявляется ряд требований, важнейшими из которых являются:

 требование непротиворечивости, согласно которому в системе аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо положение и его отрицание;

 требование полноты, согласно которому любое положение, которое можно сформулировать в данной системе аксиом, можно в ней доказать или опровергнуть, т.е., иначе говоря, из аксиом должно быть выводимо или это предположение, или его отрицание;

 требование независимости, согласно которому любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом (иначе она переводится в разряд теорем).

Большой интерес представляет вопрос об истинности аксиоматических теорий. Необходимым условием их истинности является внутренняя противоречивость. Однако она свидетельствует с достоверностью лишь о том, что теория построена правильно.

Аксиоматически построенная теория может быть признана действительно истинной лишь в том случае, когда истинны как ее аксиомы, так и правила, по которым получены все остальные утверждения теории. Только в этом случае такая теория может верно отражать действительность. Основные достоинства аксиоматического метода:

 аксиоматизация науки требует, во-первых, точного определения используемых понятий и, во-вторых, строгости рассуждений. Обычно в эмпирическом знании то и другое не всегда находится на должной высоте, применение аксиоматического метода требует дальнейшего развития, в первую очередь в этом отношении;

 аксиоматизация упорядочивает знания, исключает из них ненужные элементы, облегчает процесс построения всей системы знания, устраняет двусмысленности и противоречия. Она всесторонне рационализирует организацию научного исследования.

Сфера применения аксиоматического метода расширяется, но остается пока весьма ограниченной. В нематематических науках этот метод играет подсобную роль, и прогресс в его применении здесь существенно зависит от уровня математизации соответствующей области исследования.

Подчеркивая это, В.Н. Садовский писал: "Вопрос о применимости аксиоматического метода в нематематических науках тесно связан с вопросом о возможности использования в этих дисциплинах математических методов вообще. Если в какой-либо дисциплине начинают широко использоваться математические методы, то совершенно неизбежно наступает момент в развитии этой дисциплины, когда актуальной становится проблема * аксиоматизации" (цит. по ).

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, которые называют аксиомами теории, а все остальные положения теории вытекают как логические следствия аксиом. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика, ряд разделов физики построены на основе аксиоматического метода. В математике аксиоматический метод дает возможность создания законченных, логичнозавершиних научных теорий. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, часто находит применение в других науках.
В математике аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом его применения вплоть до XIX в. была геометрическая система, известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Хотя в то время не стоял еще вопрос об описании логических средств, применяемых для получения содержательных последствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко прослеживается идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем, с определенного, относительно небольшого, числа утверждений – аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
Открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Бойяи стало толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых его отрицанием, можно развивать чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков XIX в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что привело к возникновению связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла так называемая теория доказательств как основной раздел современной математической логики.
Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более или менее отчетливой форме уже в XIX в. Уточнение основных понятий анализа и сведения сложных понятий к простейшему на точной и логически все более прочной основе, а также открытие неевклидовых геометрий стимулировали развитие аксиоматического метода и возникновения проблем общего математического характера, таких, как непротиворечивость, полнота и независимость той или системы аксиом.
Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций, который может быть описан следующим образом. Пусть каждому выходному понятию и соотношению данной аксиоматической теории Т поставлен в соответствие определенный конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению U теории Т естественным образом ставится в соответствие определенное высказывание U * об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждения U теории Т соответствии истинное или ложное в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства обычно сами являются объектом рассмотрения определенной математической теории T 1, которая, в частности, может быть тоже аксиоматической.
Метод интерпретаций позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, то есть доказать утверждения типа: «если теория T 1 непротиворечива, то непротиворечивая и теория Т». Пусть теория Т проинтерпретированы в теории T 1 таким образом, что все аксиомы А и теории Т интерпретируются истинными утверждениями А и * теории Т 1. Тогда всякая теорема теории Т, то есть всякое утверждение А, логически выведено из аксиом А и в Т, интерпретируется в T 1 определенным утверждением А *, которое можно вывести в Т из интерпретаций А * и аксиом А и, и следовательно истинным. Последнее утверждение опирается на еще одно предположение, что делается неявно нами, определенного сходства логических средств, применяемых в теориях Т и Т 1. Практически это условие обычно выполняется. Пусть теперь теория Т противоречива, то есть некое утверждение А этой теории выведено в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказанного следует, что утверждение А * и «не А *» будут одновременно истинными утверждениями теории Т 1, т.е. теория Т 1 противоречива. Этим методом была, например, доказано (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечивая геометрия Евклида, а вопрос о непротиворечивость гильбертово аксиоматизациы евклидовой геометрии был возведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечивости арифметики.
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не виводима из других аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в которой аксиома А была бы ошибочна, а все остальные аксиомы данной теории истинны. Вышеупомянутое возведения проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней – к вопросу о непротиворечивость арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не виводимий из других аксиом геометрии, если только непротиворечивой является арифметика натуральных чисел.
Слабая сторона метода интерпретаций заключается в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать только результаты, носят относительный характер. Важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была обнаружена особая роль арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.
Дальнейшее развитие – в известном смысле это была вершина – аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было произведено дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а само понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом привлекательной представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченное класс выражений формул, в котором определенным точным образом выделяется подкласс формул, называют теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы сами не несут в себе никакой смысловой смысла, их можно строить по произвольным знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технической удобства. На самом деле способ построения формул и понятия теоремы той или формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применять для как можно более адекватного и полного выражения той или конкретной математической (или не математической) теории, точнее, как ее фактического содержания, так и ее дедуктивной структуры. Всякую конкретную математическую теорию Т можно перевести на язык пригодной формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) выражения теории Т выражается известной формулой системы S.
Естественно ожидать, что метод формализации позволит строить весь положительный смысл математических теорий на такой точной и, казалось бы, надежной основе, как понятие выведенной формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математических теорий решать форме доказательств соответствующих утверждений формальных систем, которые формализуют эти теории. Чтобы получить доказательства утверждений о непротиворечивость, не зависящих от тех мощных средств, которые в классических математических теориях раз и является причиной осложнений их обоснования, Д. Гильберт предлагал исследовать формальные системы т.н. финитными методами (см. метаматематики).
Однако результаты К. Геделя начале 30-х г. XX в. привели к краху основных надежд, что связывались с этой программой. К. Гедель показал следующее.
1) Всякая естественная, непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику (напр., теории множеств), неполная и непополняемые в том смысле, что: а) в S содержатся (содержательно истинные неразрешимые формулы, есть такие формулы А, ни А, ни отрицания А не виводими в S (неполнота формализованной арифметикы), б) какой бы конечным множеством дополнительных аксиом (напр., неразрешимыми в S формулам) расширять систему S, в новой, усиленной таким образом формальной системе неизбежно появятся свои неразрешимые формулы (непоповнюванисть; см. также Геделя теорема о неполноте).
2) Если формализованная арифметика действительности непротиворечива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивость может быть выражено ее собственным языком, доведение этого утверждения невозможно провести средствами, формализуются в ней самой.
Это означает, что уже для арифметики принципиально невозможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом виводимих формул какой бы формальной системой и что нет никакой надежды получить какое-либо финитных доведение непротиворечивости арифметики, потому что, очевидно, всякое разумное уточнение понятия финитного доведение оказывается формализуемим в формальной арифметике.
Все это ставит определенные границы можливстям А. м. в том его виде, который он приобрел в рамках гильбертовського формализма. Однако и в этих границах он сыграл и продолжает играть важную роль в основании математики. Так, например, уже после описанных результатов К. Геделя им же в 1938-40 гг, а затем П. Коэном в 1963 г. на основе аксиоматического подхода с применением метода интерпретаций были получены фундаментальные результаты о совместимости (т.е. относительную непротиворечивость) и независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств. Что касается такого основного вопроса основ математики, как проблема непротиворечивости, и после результатов К. Геделя стало ясно, что для его решения, очевидно, не обойтись без других, отличных от финитистських, средств и идей. Здесь оказались возможными различные подходы, учитывая существование различных взглядов на допустимость тех или иных логических средств.
Из результатов о непротиворечивость формальных систем следует указать на доведение непротиворечивости формализованной арифметики, опирающегося на бесконечную индукцию к определенному счетно трансфинитной числа.
По П. С. Новиковым.

Аксиомой называют отправное, исходное положение какой-либо теории, находящееся в основе доказательств других положений (например, теорем) этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств. В обыденном сознании и языке аксиомой называют некую истину, настолько бесспорную, что она не требует доказательств.

Итак, аксиоматический метод – это один из способов дедуктивного построения научной теории, при котором выбирается некоторое множество принимаемых без доказательства положений, называемых «началами», «постулатами» или «аксиомами», а все остальные предложения теории получается как логическое следствие этих аксиом.

Аксиоматический метод в математике берет начало по меньшей мере от Евклида, хотя термин «аксиома» часто встречается и у Аристотеля: «… Ибо невозможны доказательства для всего: ведь доказательство должно даваться исходя из чего-то относительно чего-то и для обоснования чего-то. Таким образом, выходит, что все, что доказывается, должно принадлежать к одному роду, ибо все доказывающие науки одинаково пользуются аксиомами. <…> Аксиома обладает наивысшей степенью общности и суть начала всего. <…> Началами доказательства я называю общепринятые положения, на основании которых все строят свои доказательства. <…> О началах знания не нужно спрашивать «почему», а каждое из этих начал само по себе должно быть достоверным. Правдоподобно то, что кажется правильным всем или большинству людей или мудрым – всем или большинству из них или самым известным и славным». (См., например, Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т. 2. Топика. М.: Мысль, 1978. С. 349).

Как видно из последнего фрагмента «Топики» Аристотеля, основанием принятия аксиомы служит некая «достоверность» и даже авторитет «известных и славных» людей. Но в настоящее время это не считается достаточным основанием. Современные точные науки, в том числе сама математика, не прибегают к очевидности как к аргументу истинности: аксиома просто вводится, принимается без доказательств.

Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик и физик, указывал, что термин аксиоматический употребляется иногда в более широком, а иногда и в более узком смысле слова. При самом широком понимании этого термина построение какой-либо теории мы называем «аксиоматическим». В этом отношении Д. Гильберт различает содержательную аксиоматику и формальную аксиоматику .

Первая «…вводит свои основные понятия со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует их как итог определенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что нам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить эту уверенность успехом развиваемой теории. Формальная аксиоматика тоже нуждается в признании очевидности за вещами определенного рода – это необходимо как для осуществления дедукции, так и для установления непротиворечивости самой аксиоматики – однако с тем существенным различием, что этот род очевидности не основывается на каком-либо особом гносеологическом отношении к рассматриваемой конкретной области науки, а остается одним и тем же в случае любой аксиоматики: мы имеем здесь в виду столь элементарный способ познания, что он вообще является предварительным условием любого точного теоретического исследования. <…> Формальная аксиоматизация по необходимости нуждается в содержательной как в своем дополнении, поскольку именно эта последняя поначалу руководит нами в процессе выбора соответствующих формализмов, а затем, когда формальная теория уже имеется в нашем распоряжении, она подсказывает нам, как эта теория должна быть применена к рассматриваемой области действительности. С другой стороны, мы не можем ограничиться содержательной аксиоматикой по той простой причине, что в науке – если не всегда, то все же по преимуществу – мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не может быть обоснована путем ссылки на очевидность ее аксиом или опыт. Более того, ее обоснование и может быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, т.е. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опыта» (курсив мой, – Ю.Е.). (Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. С. 23.)


Таким образом, современно понимаемый аксиоматический метод сводится к следующему: а) выбирается множество принимаемых без доказательств аксиом; б) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; в) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие логически выводить одни предположения из других; г) все остальные теоремы выводятся из «а» на основе «в». Таким методом в настоящее время построены различные разделы математики (геометрия, теория вероятностей, алгебра и др.), физики (механика, термодинамика); делаются попытки аксиоматизации химии и биологии . Гёделем доказана невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (например, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания. При исследовании естественнонаучного знания аксиоматический метод выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода . Употребление в обыденной речи понятия «аксиома» как некоей априорной очевидности уже не отражает сути этого понятия. Такое аристотелевское понимание данного термина в математике и естествознании в настоящее время преодолено. Обсуждение аксиоматики уместно сопроводить фрагментом классического сочинения Карла Раймунда Поппера:

«Теоретическую систему можно назвать аксиоматизированной, если сформулировано множество высказываний-аксиом, удовлетворяющее следующим четырем фундаментальным требованиям: (а) система аксиом должна быть непротиворечивой (то есть в ней не должно быть ни самопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами). Это эквивалентно требованию, что не всякое произвольное высказывание выводимо в такой системе. (b) Аксиомы данной системы должны быть независимыми, то есть система не должна содержать аксиом, выводимых из остальных аксиом. (Иными словами, некоторое высказывание можно назвать аксиомой только в том случае, если оно не выводимо в оставшейся после его удаления части системы). Эти два условия относятся к самой системе аксиом. Что же касается отношения системы аксиом к основной части теории, то аксиомы должны быть: (c) достаточными для дедукции всех высказываний, принадлежащих к аксиоматизируемой теории, и d) необходимыми в том смысле, что система не должна содержать излишних предположений. <…> Я считаю допустимыми две различные интепретации любой системы аксиом. Аксиомы можно рассматривать либо (1) как конвенции , либо (2) как эмпирические, или научные гипотезы » (Поппер К. Р. Логика научного исследования. М.: Республика, 2005. С. 65).

В истории науки можно найти ряд примеров перехода на аксиоматический способ изложения теории. Более того, последовательное применение этого метода к логике доказательства теорем в геометрии позволило переосмыслить эту древнюю науку, открыв мир «неевклидовых геометрий» (А. И. Лобачевский, Я. Бойаи, К.Гаусс, Г. Ф. Б. Риман и др.). Этот метод оказался удобным и продуктивным, позволяющим выстраивать научную теорию буквально как монокристалл (так, в частности, излагается сейчас теоретическая механика и классическая термодинамика). Несколько позже, уже в 30-х годах XX столетия отечественный математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей, которая, как уверенно полагают историки науки, до этого опиралась на эмпирические образы азартных игр («орлянка», кости, карты). В связи с этим есть смысл предложить вниманию читателя два фрагмента из текстов классиков науки и педагогики, которые умели писать, как говорил Бердяев, не только «о чем-то», но и «что-то».

Р. Курант и Г. Роббинс: «В системе Евклида имеется одна аксиома, относительно которой – на основе сопоставления с эмпирическими данными, с привлечением туго натянутых нитей или световых лучей – никак нельзя сказать, является ли она «истинной». Это знаменитый постулат о параллельных , утверждающий, что через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Своеобразной особенностью этой аксиомы является то, что содержащееся в ней утверждение касается свойств прямой на всем ее протяжении , причем прямая предполагается неограниченно продолженной в обе стороны: сказать, что две прямые параллельны, – значит утверждать, что у них нельзя обнаружить общей точки, как бы далеко их ни продолжать, Вполне очевидно, что в пределах некоторой ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была обширна, напротив, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. Так как максимально возможная длина линейки, нити, даже светового луча, прослеживаемого с помощью телескопа, непременно конечна и так как внутри круга конечного радиуса существует много прямых, проходящих через данную точку и в пределах круга не встречающихся с данной прямой, то отсюда следует, что постулат Евклида никогда не может быть проверен экспериментально. <…> Венгерский математик Бойаи и русский математик Лобачевский положили конец сомнениям, построивши во всех деталях геометрическую систему, в которой аксиома параллельности была отвергнута. Когда Бойаи послал свою работу «королю математики» Гауссу, от которого с нетерпением ждал поддержки, то получил в ответ уведомление, что самим Гауссом открытие было сделано раньше, но он воздержался в свое время от публикации результатов, опасаясь слишком шумных обсуждений.

Посмотрим, что же означает независимость аксиомы параллельности. Эту независимость следует понимать в том смысле, что возможно свободное от внутренних противоречий построение «геометрических» предложений о точках, прямых и т.д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена противоположной. Такое построение называется неевклидовой геометрией (курсив мой, – Ю.Е.). Нужно было интеллектуальное бесстрашие Гаусса, Бойаи и Лобачевского, чтобы осознать, что геометрия, основанная не на евклидовой системе аксиом, может быть абсолютно непротиворечивой (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Мы умеем теперь строить простые «модели» такой геометрии, удовлетворяющие всем аксиомам Евклида, кроме аксиомы параллельности» (Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 250).

Различные варианты неевклидовых геометрий (например, геометрия Римана, а также геометрия в пространстве более чем трех измерений) позже нашли применение в построении теорий, относящихся к микромиру (релятивистская квантовая механика, физика элементарных частиц) и, напротив, к мегамиру (общая теория относительности).

Наконец, мнение отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова: «Теория вероятностей или математическая дисциплина может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Всякая аксиоматическая (абстрактная) теория допускает, как известно, бесконечное число конкретных интерпретаций. Таким образом, и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. <…> Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения из нее дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятий случайного события и его вероятности. Существуют также другие системы аксиоматического построения теории вероятностей, а именно такие, в которых понятие вероятностей не относится к числу основных понятий, а само выражается через другие понятия [сноска: Ср., например, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Wien, Fr. Deuticke, 1931; Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 2-е изд., Москва, ГТТИ, 1934.]. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятности» (Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. С. 9).