Предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε
при |x| > N
Определение предела по Коши
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > Число a
называется пределом функции
f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0
,
существует такое число N ε > K
,
зависящее от ε
,
что для всех x, |x| > N ε
,
значения функции принадлежат ε
- окрестности точки a
:
|f(x)
- a| < ε
.
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .
Также часто используется следующее обозначение:
.
Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.
Односторонние пределы
Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε
при x < -N
Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.
Левый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к минус бесконечности ()
определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к плюс бесконечности ()
:
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
;
.
Бесконечный предел функции на бесконечности
Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M
при |x| > N
Определение бесконечного предела по Коши
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K
,
где K
- положительное число. Предел функции f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число N M > K
,
зависящее от M
,
что для всех x, |x| > N M
,
значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)
| > M
.
Бесконечный предел при x
стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция f(x)
определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x 0
,
где или или .
Число a
(конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если для любой последовательности {
x n }
,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {
f(x n )}
сходится к a
:
.
Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0 : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.
Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны .
Примеры
Пример 1
Используя определение Коши показать, что
.
Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции .
Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x
кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение . ;
.
Корни уравнения:
;
.
Поскольку ,
то и .
Поэтому функция определена при .
Это мы будем использовать в дальнейшем.
Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на -1
:
.
Пусть .
Тогда
;
;
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
.
Отсюда следует, что
при ,
и .
Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем .
Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .
Пример 2
Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1)
;
2)
.
1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности
Поскольку ,
то функция определена для всех x
.
Выпишем определение предела функции при ,
равного минус бесконечности:
.
Пусть .
Тогда
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M
,
имеется число ,
так что при ,
.
Это означает, что .
2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности
Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:
.
Выпишем определение правого предела функции при :
.
Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Пусть
.
Тогда
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .
Поскольку это выполняется для любого положительного числа ,
то
.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Тема 4.6.Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
1. Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, т.к. предел элементарной функции f (x) при х стремящемся к а , которое входит в область определения, равен частному значению функции при х=а , т.е. lim f(x)=f(a ) .
2. Если х стремится к бесконечности или аргумент стремится к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
Ниже приведены простейшие пределы, основанные на свойствах пределов, которые можно использовать как формулы:
Более сложные случаи нахождения предела функции:
рассматриваются каждый в отдельности.
В этом разделе будут приведены основные способы раскрытия неопределенностей.
1. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет отношение двух бесконечно малых величин
а) Сначала нужно убедится, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой и при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин. Делаются преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к 0. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая.
Вообще если ищется предел функции при х стремящемся к а , то необходимо помнить, что х не принимает значения а , т.е. х не равен а.
б) Применяется теорема Безу. Если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в 0 в предельной точке х=а , то согласно вышеназванной теореме оба многочлена делятся без остатка на х-а .
в) Уничтожается иррациональность в числителе или в знаменателе путем умножения числителя или знаменателя на сопряженное к иррациональному выражение, затем после упрощения дробь сокращается.
г) Используется 1-й замечательный предел (4.1).
д) Используется теорема об эквивалентности бесконечно малых и следующие б.м.:
2. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет отношение двух бесконечно больших величин
а) Деление числителя и знаменателя дроби на наивысшую степень неизвестного.
б) В общем случае можно использовать правило
3. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую
Дробь преобразовывается к виду, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к 0 или к бесконечности, т.е. случай 3 сводится к случаю 1 или случаю 2.
4. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин
Этот случай сводится к виду 1 или 2 одним из следующих способов:
а) приведение дробей к общему знаменателю;
б) преобразование функции к виду дроби;
в) избавление от иррациональности.
5. Случай, когда при х стремящемся к а функция f (x) представляет степень, основание которой стремится к 1, а показатель к бесконечности.
Функция преобразовывается таким образом, чтобы использовать 2-й замечательный предел (4.2).
Пример.
Найти 
.
Так как х стремится к 3 , то числитель дроби стремится к числу 3 2 +3 *3+4=22, а знаменатель- к числу 3+8=11. Следовательно,
Пример
Здесь числитель и знаменатель дроби при х стремящемся к 2 стремятся к 0 (неопределенность вида), разложим числитель и знаменатель на множители, получим lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)
Пример
Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, имеем
Раскрываем скобки в числителе, получим
Пример
Уровень 2. Пример. Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S 0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма S T . Определим величину r относительного роста формулой
r=(S T -S 0)/S 0 (1)
Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.
Из формулы (1) легко определить величину S T :
S T = S 0 (1 + r )
При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S 0 возрастает в (1 + r ) раз, то за второй год в (1 + r ) раз возрастает сумма S 1 = S 0 (1 + r ), то есть S 2 = S 0 (1 + r ) 2 . Аналогично получается S 3 = S 0 (1 + r ) 3 . Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов:
S n = S 0 (1 + r ) n .
В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k . Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка T k составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма S T рассчитывается по формуле
(2)
где - целая часть числа, которая совпадает с самим числом, если, например, T ? целое число.
Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S 0 наращивается до величины, определяемой формулой
(3)
В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции S T и S 1 . Применим эту процедуру к формуле(3):
Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S 0 за 1 год наращивается до величины S 1 * , которая определяется из формулы
S 1 * = S 0 e r (4)
Пусть теперь сумма S 0 предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени. Обозначим r e годовую ставку, при которой в конце года сумма S 0 наращивается до величины S 1 * из формулы (4). В этом случае будем говорить, что r e - это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем
S* 1 =S 0 (1+r e /n) n
Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и r e :
Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.
Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Неопределённость вида
Пример 1.
n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Пример 2. .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Неопределённость вида
Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x
= 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Пример 6.
Вычислить 
Решение: воспользуемся теоремами о пределах
Ответ: 11
Пример 7.
Вычислить 
Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:
; 
. Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.
Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.
Ответ:
Пример 8. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :
Ответ:
Пример 9.
Вычислить 
Решение: х 3 :
Ответ: 2
Пример 10.
Вычислить 
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :
= 
числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.
Ответ:
Пример 11. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :
Ответ: 0
Производная.
Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.
Производные основных элементарных функций:
1. (const)=0
9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Правила дифференцирования:
a) 
в) 
Пример 1.
Найти производную функции 
Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:
, где 
, тогда
При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.
Ответ:
Пример 21.
Найти производную функции 
Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда
Ответ:
Приложения производной.
1. Скорость и ускорение
Пусть функция s(t) описывает положение
объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью
объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение
объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.
3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.
4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при x
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум
в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум
в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).
6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой
функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.
7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала }
